1、1 1不等式的性质： 二不等式大小比较的常用方法： 1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2作商（常用于分数指数幂的代数式） ；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化； 6利用函数的单调性；7寻找中间量或放缩法 ；8图象法。其中比较法（作差、作商）是最 基本的方法。 三重要不等式 1.（1）若 ，则 (2)若 ，则 （当且仅当 时取“=”）Rba, ab22R,2baba 2. (1)若 ，则 (2)若 ，则 （当且仅当 时取“=” ）* * (3)若 ，则 (当且仅当 时取“=” ）*,Rba2baba 3.若 ，则 (当且仅当 时取“=” ）;0x1x1x 若
2、，则 (当且仅当 时取“=” ）2 若 ，则 (当且仅当 时取“=” ）x-2xx即 或 ba 若 ，则 (当且仅当 时取“=” ）0ababba 若 ，则 (当且仅当 时取“=” ）2-2即 或 ba 4.若 ，则 （当且仅当 时取“=” ）Rba,)(bba 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以 求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广 泛的应用 5.a3+b3+c33abc（a,b,c R +）, （
3、当且仅当 a=b=c 时取等号） ； a+b+c3 3a 6. (a1+a2+an) (ai R+,i=1,2,，n)，当且仅当 a1=a2=an 取等号； 1n 12na 变式：a 2+b2+c2ab+bc+ca; ab( )2 (a,b R+) ; abc( )3(a,b,c R+) a+b2 a+b+c3 a b.(0n0,m0; b na n ba b+ma+m 应用一：求最值 例 1：求下列函数的值域（1）y3x 2 （2）yx 12x 2 1x 解题技巧： 技巧一：凑项 例 1：已知 ，求函数 的最大值。5445 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二
4、：凑系数 例 1. 当 时，求 的最大值。(82)yx 技巧三： 分离 例 3. 求 的值域。710()x 技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令 t=x1，化简原式在分离求最值。22(1)7(+054=5ttty t） 当 ,即 t= 时, （当 t=2 即 x1 时取“”号）。9yt 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 的单()afx 调性。例：求函数 的值域。 254xy 解：令 ，则24()xt2x2214(2)tx 因 ，但 解得 不在区间 ，故等号不成立，考虑单调性。10,tt1tt, 因为 在区间 单调递增，所以在其子区
5、间 为单调递增函数，故 。y,2,52y 所以，所求函数的值域为 。5,2 2已知 ，求函数 的最大值.； 3 ，求函数 的最大值.01x(1)yx20x(23)yx 条件求最值 1.若实数满足 ，则 的最小值是 .2baba3 分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且 定值，因此考虑利用均值定理求最小值，ba3 解： 都是正数， ba3和 ba36baba 3 当 时等号成立，由 及 得 即当 时， 的最小值是ba32baba311baba3 6 变式：若 ，求 的最小值.并求 x,y 的值44loglxy1xy 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则
6、就会出错。 。 2：已知 ，且 ，求 的最小值。0,xy19xyxy 技巧七、已知 x，y 为正实数，且 x 2 1，求 x 的最大值. y 22 1 y 2 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 ab 。 a 2 b 22 同时还应化简 中 y2 前面的系数为 ， x x x1 y 2 12 1 y 2 2 下面将 x， 分别看成两个因式： x 即 x x 34 1 y 2 2 342 技巧八：已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数 y 的最小值. 1ab 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题， 再用单调性或基本不等式求解，对本
7、题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本 题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等 式放缩后，再通过解不等式的途径进行。 法一：a ， ab b 由 a0 得，0b15 30 2bb 1 30 2bb 1 2 b 2 30bb 1 令 tb+1，1t16，ab 2（t ）34t 2 8 2t 2 34t 31t 16t 16t ab18 y 当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。 118 法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab22 ab 2 ab 令 u 则 u22 u300， 5 u3 ab 2 2 2 3 ，ab1
8、8，yab 2 118 点评：本题考查不等式 的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已ab）（ R, 4 知不等式 出发求得 的范围，关键是寻找到 之间的关系，由230ab）（ Rba,abab与 此想到不等式 ，这样将已知条件转换为含 的不等式，进而解得 的范）（ ab 围. 变式：1.已知 a0，b0 ， ab(ab)1，求 ab 的最小值。 2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。 技巧九、取平方 5、已知 x，y 为正实数， 3x2y10，求函数 W 的最值.3x 2y 解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系， ，本题很简单 a b2 a 2 b 22 2 3x 2y 2
9、 23x 2y 5 解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式， 再向“和为定值”条件靠拢。 W0， W2 3x2y2 102 10( )2( )2 10(3x2y)203x 2y 3x 2y 3x 2y W 2 20 5 应用二：利用基本不等式证明不等式 1已知 为两两不相等的实数，求证：cba, cabcba22 1）正数 a，b，c 满足 a bc 1，求证：(1a)(1 b)(1 c )8abc 例 6：已知 a、b、c ，且 。求证：R11 分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又 ，可由此变形入手
10、。1aa 解： a、b、c ， 。 。同理 ， 。R1bc2abc12acb12abc 上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 。当且仅当 时取等号。1128aabcbcA 3ac 应用三：基本不等式与恒成立问题 例：已知 且 ，求使不等式 恒成立的实数 的取值范围。0,xy91xyxym 解：令 ，,0,k91.k091yxk 。 ， 103216,16m 应用四：均值定理在比较大小中的应用： 5 例：若 ，则 的大小关系是 .)2lg(),l(g21,lg,1 baRbaQbaPba RQP, 分析： （0lplg RQRll)2lg( 四不等式的解法. 1.一元一次不等式的解法。2.一元
11、二次不等式的解法 3.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每 一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上 方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回 ；（3）根据曲线显现 的符号变化规律，()fx 写出不等式的解集。如 （1）解不等式 。2(1)0x （答： 或 ） ；|12 （2）不等式 的解集是_23 （答： 或 ） ；|3x （3）设函数 、 的定义域都是 R，且 的解集为 ， 的解集()fxg()0fx|2()0g 为 ，则不等式 的解集为_0A （答： ） ；,1, （4）要使满足关于 的不等式 （
12、解集非空）的每一个 的值至少满足不等式92ax x 中的一个，则实数 的取值范围是 _.860322 xx和 （答： ）87,) 4分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分 解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正 ，最后用标根法求解。解分式不等式时，一 般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如 （1）解不等式 2513x （答： ） ；(1,)2,3 （2）关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为x0bax),1(x02xba _ （答： ）.),(),( 5.指数和对数不等式。 6绝对值不等式的解法： （1）含绝对值的不等
13、式|x|a 与|x|a 的解集 （2）|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法 |ax+b|c -cax+bc; | ax+b|c ax+bc 或 ax+b-c. （3）|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法 6 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。 方法四：两边平方。 例 1：解下列不等式： 2(1).x1(2). -3x 或 x2-2x3 或 x0 或 0x1 原不等式的解集为xx
14、0 或 0x3 解法 2（数形结合法） 作出示意图，易观察原不等式的解集为xx0 或 0x3 第（1）题图 第（2）题图 【解析】：此题若直接求解分式不等式组，略显复杂，且容易解答错误；若能结合反比例函 数图象，则解集为 ,结果一目了然。|2x或 -3 例 2：解不等式： 1| 【解析】作出函数 f(x)=|x|和函数 g(x)= 的 1x图象， 易知解集为 0（ ， ） ， ） 例 3： 。 .|1|32x解 不 等 式 【解法 1】令 2(1)()|1|xgx 令 ，分别作出函数 g(x)和 ()32hx h(x)的图象，知原不等式的 7 解集为 3,)4 【解法 2】原不等式等价于 |1
15、|32x 令 3()|1|,()|2gxhx 分别作出函数 g(x)和 h(x)的图象，易求出 g（x）和 h（x）的图象的交点坐标为 37(,)4 所以不等式 的解集为 |1|32x,)4 【解法 3】 由 的几何意义可设1 （，） ，（，） ，（x，y） ， | 若 ，可知的轨迹是以1、2 为焦点的双曲线的右支，其中右顶点为（ ，） ，1 3MF 由双曲线的图象和x+1x-1 知 x . 7含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键 ” 注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是” 。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分 别说明其解集；但若按未知数讨论
16、，最后应求并集. 如 （1）若 ，则 的取值范围是_（答： 或 ） ；2log13a 1a203 （2）解不等式 ()xaR （答： 时， ； 时， 或 ； 时， 或 ）0|01|xa01|0xax 提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的 端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于 的不等式 b 的解集为 ，则不等式 的解集为_（答：（1,2） ）),(2bax 五绝对值三角不等式 定理 1：如果 a,b 是实数，则|a+b|a|+|b|,当且仅当 ab0 时，等号成立。 注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当 a，
17、 b不共线时， |a+b| |+|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。 （2）不等式|a|-|b|ab|a|+|b|中“=”成立的条件分别是：不等式|a|- |b|a+b|a|+|b|，在侧“=”成立的条件是 ab0，左侧“=”成立的条件是 ab0 且 8 |a|b|;不等式|a|-|b|a-b|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是 ab0，左侧“=”成立的 条件是 ab0 且|a|b|。 定理 2：如果 a,b,c 是实数，那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)时，等号成立。 例 1.已知 ， ， ，求证0axby .532 例 2.(1)求函数 的最大和
18、最小值；1xy (2)设 ，函数 .Ra)1(2xaf 若 ，求 的最大值1x 例 3.两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第 10km 和第 20km 处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工 地点之间往返一次.要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？ 6柯西不等式221nbaba 221221 nnbba niRai2,1 等号当且仅当 01 或 iik时成立（k 为常数， ,） 类型一：利用柯西不等式求最值 1求函数 的最大值 一： 且 ， 函数的定义域为 ，且 ， 即 时函数取最大值，最大值为
19、二： 且 ， 函数的定义域为 由 ， 得 即 ，解得 时函数取最大值，最大值为 .当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解 类型二：利用柯西不等式证明不等式 9 2设 、 、 为正数且各不相等，求证： 又 、 、 各不相等，故等号不能成立 。 类型三：柯西不等式在几何上的应用 6ABC 的三边长为 a、b、c，其外接圆半径为 R，求证： 证明：由三角形中的正弦定理得 ，所以 ， 同理 ， 于是左边= 。 七证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过 分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与 1 的大小，然后作出结论。). 常用的放缩技巧有： 21
20、1()()nnn121k kkk 如（1）已知 ，求证： ；cba 222cabacba (2) 已知 ，求证： ；R, )( （3）已知 ，且 ，求证： ；xy1,xyxy (4)若 a、b、 c 是不全相等的正数，求证： ；lgllglgl22abcabc （5）已知 ，求证： ；R,22abc() (6)若 ，求证： ；*nN(1)()n1n (7)已知 ，求证： ；|ab| （8）求证： 。2213n 八不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数 方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形 结合法） 1).恒成
21、立问题 若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上AxfDDminfxA 10 若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上BxfDDmaxfB 如（1）设实数 满足 ，当 时， 的取值范围是_,y22(1)xy0xyc （答： ） ；21, （2）不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围_ax34 a （答： ） ；a （3）若不等式 对满足 的所有 都成立，则 的取值范围_)1(22xm2mx （答：（ , ） ） ；7123 （4）若不等式 对于任意正整数 恒成立，则实数 的取值范围是_nan1)()(na （答： ） ；,) （5）若不等式 对 的所有实数 都成立，求 的取
22、值范围.210xm1xxm 若不等式 恒成立，则实数 a 的取值范围是 log,(,)2a对 此题直接求解无从着手，结合函数 21y=log0,2axx及 在 （ ） 上 的 图 象 易知，a 只需满足条件： 0a1，且 从而解得 1log24a即 可 1,)6a 2). 能成立问题 若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 上 ；DxAxfDmaxfA 若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 上的 .如BinB 已知不等式 在实数集 上的解集不是空集，求实数 的取值范围_ax34R （答： ）1 3). 恰成立问题 若不等式 在区间 上恰成立, 则等价于不等式 的解集为 ；AfDAxfD 若不等式 在区间 上恰成立, 则等价于不等式 的解集为 .Bx B 例：若不等变 恰有一解，求实数 a 的值 2-a+6 引导分析：此题若解不等式组，就特别麻烦了。结合二次函数的图形就会容易得多。 图解： 11 由图象易知：a=2 或者 a=-2 九线性规划
