讲义_直线与圆的位置关系.doc

1、 Page 1 of 11 考试要求 板块 A 级要求 B 级要求 C 级要求 直线与圆的 位置关系 了解直线与圆的位置关 系；了解切线的概念， 理解切线与过切点的半 径之间关系；会过圆上 一点画圆的切线 能判定一条直线是否为圆的切线；能 利用直线和圆的位置关系解决简单问 题 能解决与切线有关的 问题 切线长 了解切线长的概念 会根据切线长知识解决简单问题 一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定 1、设 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，则直线和圆的位置关系如下表：O rOld 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 _l _O _d _r 直线与圆没有公共点 直线 与 相离drlO 相

2、切 _l_O_d _r 直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，唯一公共点叫做切点 直线 与 相切drl 相交 _l_O_d _r 直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线 直线 与 相交rlO 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 Page 2 of 11 二、切线的性质及判定 1 切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 2 切线的判定： 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经

3、过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 3 切线长和切线长定理： 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线 长 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条 切线的夹角 切线的判定定理 设 OA 为O 的半径，过半径外端 A 作 OA，则 O 到 的距离 d=r， 与O 相切因此，我们lll 得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 注：定理的题设“经过半径外端”，“ 垂直于半径”，两个条件缺一不可结论是“直线是圆的切线” 举例说明：只满足题设的一个条件不是O 的切线 公共点个数

4、 210 圆心到直线的距离 与半径 的关系drdrdrdr 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 割线 切线 无 _O _A _l Page 3 of 11 _A _O _l 证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直； （2 ）作垂线，证垂足 在圆上 切线的性质定理及其推论 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：（1）垂直于切线（2 ）过切点 （3）过圆心 三、三角形内切圆 1 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角 形叫做圆的外切三角形 2 多边形内切圆：和多边形的各

5、边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边 形 3直角三角形的内切圆半径与三边关系 _O _F _E _D _C_B _A _C_B _A _C _B _A _c_b _a _c _b _a （1 ） （2 ） 图（1）中，设 分别为 中 的对边，面积为abc， ， AC， ， S _T_M _O _B _A _l_A _O _T _O _A 定理：过圆心，过切点 垂直于切线 过圆心， 过切点 ，则OAAOT 经过圆心，垂直于切线 过切点12BMT过 圆 心 为 切 点 经过切点，垂直于切线 过圆心A过 圆 心为 切 点 Page 4 of 11 则内切圆半径（1） ，其中 ；

6、 图（ 2）中， ，则srp12abc90C12rabc 四、典例分析：切线的性质及判定 【例 1】 如图， 是 的直径，点 在 的延长线上，过点 作 的切线，切点为 ，若ABODABDOAC ，则 _25 例 1 例 2 巩固 【例 2】 如图，直线 与 相切于点 ， 的半径为 ，若 ，则 的长为( )ABO AO 30OBAB A B C D43423 【巩固】如图， 与 相切于点 ，线段 与弦 垂直于点 ， ， ，则切O OABC60AOB4cmC 线 ABcm 【例 3】 如图，若 的直径 与弦 的夹角为 ，切线 与 的延长线交于点 ，且 的半OABAC30CDABDOA 径为 2，则

7、 的长为（ ）CD A B C2 D443 例 2 巩固 【巩固】如图， 为半圆 的直径，点 在 的延长线上， 切半圆 于点 ， 于点 ，EBOAEBADOBCAD ，半圆 的半径为 ，则 的长为_2A2C 【例 4】 如图，已知以直角梯形 的腰 为直径的半圆 与梯形上底 、下底 以及腰 均ABDABA 相切，切点分别是 求证：以 为直径的圆与 相切E， ， ABCD O A C BD O BA O D C B A _A _C _D_B_O OE D C B A _O _D _C_B _A _O _D _C_B _A Page 5 of 11 例 4 巩固 【巩固】如图，已知以直角梯形 中，以

8、 为直径的圆与 相切，求证：以 为直径的圆与ABCDCDCD 相切AB 【例 5】 已知：如图，在 中， ，以 为直径的半圆 与边 相交于点 ，切线ABCABCOABD ，垂足为点 求证：（1） 是等边三角形；（2） DEE13EC 【巩固】如图， 切 于点 ，直线 交 于点 ，弦 ，求证： MPO PO ABCMPOBC M P O C B A 【例 6】 如图， 中， ， 是 的中点，以 为圆心的圆与 相切于点 。ABCAOBCOAD 求证： 是 的切线。 【例 7】 如图，已知 是 的直径， 为 的切线，切点为 ， 平行于弦 ， 。ABOBCOABOCADOr （1）求证： 是 的切线；

9、CD （2）求 的值； （3）若 ，求 CD 的长。92AOr 【巩固】 如图，已知 是 的直径， 是和 相切于点 的切线，过 上 点的直线 ，ABOBCOABOAADOC _E _A _C_O_B OD CB A OD CBA C OD BA Page 6 of 11 M OADCB 若 且 ，则 。2OA6DC 【巩固】 如图， AB 是半圆（圆心为 O）的直径， OD 是半径，BM 切半圆于 B， OC 与 弦 AD 平行且交 BM 于 C。 （1）求证： CD 是半圆的切线； （2）若 AB 长为 4，点 D 在半圆上运动，设 AD 长为 ，点 A 到直线 CD 的距x 离为 ，试求出

10、 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围。yyx 【例 8】 如图， 为 的直径， 是 外一点， 交 于 点，过 点作 的切线，交ACOBOABOAEOA 于 点， ，作 于 点，交 于 点。BDEFCDM （1）求证： 是 的切线； （2） 。MF 【例 9】 如图，割线 与 相交于 、 两点， 为 上一点， 为 的中点， 交 于 ，ABCOBCDOAEABCOEBCF 交 于 ， 。DEGDA （1）求证： 是 的切线； （2）如果 ，求 的半径。242ABE， ， O 【例 10】 如图，已知点 在 的边 上，以 为直径的 与 相切于点 ，且 平分EABCAEO BCDA 求证：

11、 BAC 【巩固】 是圆的直径， 是它的弦，过 作圆的切线 ，过 作 交 于 ，则BCDBEE M OFEDCBA OGFE D C BA _O _E _D _C_B _A _A _O _B _C _D _E Page 7 of 11 ABCE 【例 11】 如图，已知 中， ，以 为直径作 交 于 ，过 作 的切RtABC90ABO ACDO 线 交 于 求证： DEE 【巩固】如图，已知 的弦 垂直于直径 ，垂足为 ，点 在 上，且 ，延长 到点O ABCDFEABECE ，连结 ，若 ，试判断 与 的位置关系，并说明理由PPEPBO 【例 12】 如图，点 在 的直径 的延长线上， ，

12、切 于点 ，连结 POAB2ABPCOABC （1）求 的正弦值； （2）若 的半径 ，求 的长度2cmrC 【巩固】在 中， ， 是 边上一点，以 为直径的 与边 相切于点 ，RtABC 90DABBDO ACE 连结 并延长，与 的延长线交于点 DEF （1）求证： ；F （2）若 ，求 的面积64BCA， O 【例 13】 如图所示， AB 是 直径， 弦 于点 ，且交 于点 ， OD BCFO E 若 AECB （1）判断直线 和 的位置关系，并给出证明；D _O _P _F _E _D_C _B _A D O E C BA _P _C _O _B_A O F E D CB A FEC

13、O D BA Page 8 of 11 （2）当 时，求 的长108ABC， BD 【巩固】已知：如图，O 的直径 =8cm， 是 延长线上的一点，过点 作 O 的切线，切点为 ，ABPABPC 连接 AC （1）若 ，求阴影部分的面积；120P （2）若点 在 的延长线上运动， 的平分线交 于点 ，BCPAC4tan603P 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出 83OPCSS阴 影 扇 形 的度数12 【例 14】 在平行四边形 中， ，以 为直径作 ，ABCD1060ADm， ， ABO （1）求圆心 到 的距离(用含 的代数式来表示) ；O （2）当 取何值时， 与 相

14、切mO 【例 15】 已知：如图， 的直径 与弦 相交于 ， ， 的切线 与弦 的延O ABCDEABCDO BFAD 长线相交于点 F （1）求证： CD （2）连结 ，若 的半径为 ， ，求线段 的长BO 43cos4BCDACD、 【巩固】如图，在 中， ， 为 边上一点，以 为圆心， 为半径ABC9034ACB， OCOB 作半圆与 边和 边分别交于点 ，连结 DE， O PB C A O A BC D _E _O _F _D_C _B _A Page 9 of 11 （1）当 时，求线段 的长；3BDE （2）过点 作半圆 的切线，当切线与 边相交时，设交点为 求证： 是等腰三角EO

15、ACFAE 形 典例分析：切线长定理及切线性质的应用 【例 16】 在 中， ，点 在 上，以 为圆心的 分别与 、 相切于 、RtABC90OBCOABACE ，若 ， ，则 的半径为（ ）FabA A、 B、 C、 D、baab2ab 【例 17】 如图， ， ， 与以 为直径的 相切于点 ， ， ，CDDOAE9AB4CD 则四边形 的面积为 。 【例 18】 如图，过 外一点 作 的两条切线 、 ，切点分别为 、 ，连结 ，在 、OAPAPABABAB 、 上分别取一点 、 、 ，使 ， ，连结 、 、 ，则PBDEFDEFDEF （ ）EDF A、 B、 C、 D、90 1902P1

16、80P1452P- 【例 19】 如图，已知 中， ， （定值） ， 的圆心 在 上，并分别与ACABOAAB 、 相切于点 、 。CQ （1）求 ；PO （2）设 是 延长线上的一个动点， 与 相切于点 ，点 在 的延长线上，试判DDEMEC 断 的大小是否保持不变，并说明理由。E O F E DC B A EOF BA CE OD B A P EO FDB A NQPOD CBA Page 10 of 11 【例 20】 如图， 为 的内切圆，点 、 、 为切点，若 ， ，则 的OARtBCDEF6AD4BAC 面积为 。 【例 21】 正方形 中， 切以 为直径的半圆于 ，交 于 ，则

17、（ ）ABCDEBCECDF:D A、12 B、13 C、14 D、25 【巩固】 如图，以正方形 的边 为直径，在正方形内部作半圆，圆心为 ， 切半圆于 ，交ABCDOCGE 于 ，交 的延长线于 ， 。ADFG8A （1） 求 的余弦值；（2）求 的长。E 【例 22】 如图， 是半 的直径，点 是半径 的中点，点 在线段 上运动（不与点ABOMOAPAM 重合） ，点 在半 上运动，且总保持 ，过点 作 的切线交 的延长线于点MQPQOB 。C （1）当 时，请你对 的形状做出猜想，并给予证明；60PC （2）当 时， 的形状是 三角形；ABP （3）则（1） （2 ）得出的结论，请进一步猜想，当点 在线段 上运动到任何位置时，PA 一定是 三角形。Q CEOFDB A E OF DCBA GEOF D CB A PQMC OBA Page 11 of 11 【巩固】 如图， AB 是 O 的直径，点 C 在 O 的半径 AO 上运动， PCAB 交 O 于 E， PT 切 O 于 T， PC=2.5。 （1）当 CE 正好是 O 的半径时， PT=2，求 O 的半径； （2）设 ， ，求出 与 之间的函数关系式；2PyAxyx （3） PTC 能不能变为以 PC 为斜边的等腰直角三角形？若能，请求 出 PTC 的面积；若不能，请说明理由。 TEP OAC B