1、1 高中数学数列常见、常考题型总结 题型一 数列通项公式的求法 1前 n 项和法（知 求 ） nSa1nnS)2( 例 1、已知数列 的前 n 项和 ，求数列 的前 n 项和a21|naT 变式：已知数列 的前 n 项和 ，求数列 的前 n 项和n 练习： 1、若数列 的前 n 项和 ，求该数列的通项公式。答案：nS212n)( 2、若数列 的前 n 项和 ，求该数列的通项公式。答案：a3aa3 3、设数列 的前 n 项和为 ，数列 的前 n 项和为 ，满足 ，nnT2Sn 求数列 的通项公式。 4. 为 的前 n 项和， =3（ 1） ，求 （nN +）nSanSa 5、设数列 满足 ，求数
2、列 的通项公式（作差法）2 *13()3-+na 2.形如 型（累加法）)(1fan （1）若 f(n)为常数,即： ,此时数列为等差数列，则 = .dan1 nd)1(1 （2）若 f(n)为 n 的函数时，用累加法. 例 1. 已知数列 an满足 ,证明)2(3,11nn 23na 例 2.已知数列 的首项为 1，且 写出数列 的通项公式.*1aN 例 3.已知数列 满足 ， ，求此数列的通项公式.na31 )(1nn 3.形如 型（累乘法）)(1fn （1）当 f(n)为常数，即： （其中 q 是不为 0 的常数） ，此数列为等比且 = .an1 na1nq （2）当 f(n)为 n 的
3、函数时,用累乘法. 例 1、在数列 中 ，求数列的通项公式。答案：11,nn)2(2n 练习： 1、在数列 中 ，求 。答案：na11,nna)(nSa与 )1(an 2、求数列 的通项公式。23 4.形如 型（取倒数法）srapn1 例 1. 已知数列 中， ， ，求通项公式 )2(21nan na 2 练习：1、若数列 中， , ,求通项公式 .答案：na113nnana231n 2、若数列 中， ， ，求通项公式 .答案：12 5形如 ,其中 )型（构造新的等比数列）0(,1cdn1 （1）若 c=1 时，数列 为等差数列 ;（2）若 d=0 时，数列 为等比数列;ana （3）若 时，
4、数列 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.且cn 方法如下：设 ,利用待定系数法求出 A)1An 例 1已知数列 中， 求通项 .,2111nnan 练习：1、若数列 中， , ,求通项公式 。答案：na2a12n 2、若数列 中， , ,求通项公式 。答案：131nn n )3(n 6.形如 型（构造新的等比数列）)(1fpn (1)若 一次函数(k,b 是常数，且 )，则后面待定系数法也用一次函数。bkf)( 0k 例题. 在数列 中， ， ,求通项 .na21 361anna 解：原递推式可化为 b()( 比较系数可得：k=-6,b=9,上式即为 1nb 所以 是一个
5、等比数列，首项 ,公比为 .nb 2961a1 即： ，故 .1)2(9nn)(996)(na 练习：1、已知数列 中， ， ，求通项公式a3141a (2)若 (其中 q 是常数，且 n 0,1)nf) 若 p=1 时，即： ，累加即可n1 若 时，即： ，后面的待定系数法也用指数形式。pp 两边同除以 . 即： ,n qaqnn11 令 ,则可化为 .然后转化为类型 5 来解，nqabb 例 1. 在数列 中， ，且 求通项公式n521a)(31Nnnna 1、已知数列 中， ， ，求通项公式 。答案：a)2(1n12 2、已知数列 中， ， ，求通项公式 。答案：n1 nn nn37 题
6、型二 根据数列的性质求解（整体思想） 1、已知 nS为等差数列 的前 项和， 106a，则 1S ；na 2、设 、 T分别是等差数列 、 的前 n项和， 327nT，则 5ba . 3 3、设 nS是等差数列 na的前 n 项和，若 5935,Sa则 （ ） 5、在正项等比数列 中， 15722，则 35a_。 6、已知 n为等比数列 前 项和， 4nS， 60n，则 n .n 7、在等差数列 a中，若 ,84，则 219817的值为（ ） 8、在等比数列中，已知 910()a， 920ab，则 10a . 题型三：证明数列是等差或等比数列 A)证明数列等差 例 1、已知数列a n的前 n
7、项和为 Sn，且满足 an+2SnSn1 =0（n2） ，a 1= .求证： 是等差数列；2nS1 B）证明数列等比 例 1、已知数列 n满足 *1221,3,().nnaN 证明：数列 1是等比数列； 求数列 a的通项公式； 题型四：求数列的前 n 项和 基本方法：A）公式法， B）分组求和法 1、求数列 的前 项和 nS.n23 2. )12(75Sn 3.若数列a n的通项公式是 an(1) n(3n2)，则 a1a 2a 10( ) A15 B12 C12 D15 4.求数列 1，2+ ，3+ ，4+ ，2481n 5.已知数列a n是 321,62 21,92 31,122 41，
8、，写出数列a n的通项公式并求其前 n 项和 Sn. C）裂项相消法，数列的常见拆项有： ； 11；()()kk 例 1、求和：S=1+ n 321321 例 2、求和： 14 . D）倒序相加法， 例、设 21)(xf，求： ).201()9()2()()()( 132091201 ffffff E）错位相减法， 1、若数列 na的通项 nn3)(，求此数列的前 n项和 nS. 2. （将分为 和 两种情况考虑）2130nSxx 1x 4 题型五：数列单调性最值问题 例 1、数列 中， 492na，当数列 的前 n项和 nS取得最小值时， n . n a 例 2、已知 S为等差数列 的前 项
9、和， .16,2541当 为何值时， S取得最大值； 例 3、设数列 n的前 项和为 nS已知 ， 3nn， *N （）设 3b，求数列 b的通项公式；（）若 1a ， ，求 a的取值范围 题型六：总结规律题 1 已知数列 na满足 ),2(5*1Nnan，且 n前 2014 项的和为 403，则数列 1n的前 2014 项的和为？ 2 数列a n满足 an+1(1) n an 2n1，则a n的前 60 项和为？ 常见练习 1方程 2640x的两根的等比中项是（ ） A 3 B 2 C 6 D 2 2、已知等比数列 na的前三项依次为 1a， ， 4a，则 n A 4 n B 43 n C
10、132n D 13n 3一个有限项的等差数列，前 4 项之和为 40，最后 4 项之和是 80，所有项之和是 210，则此数列的项数为（ ） A12 B 1 C16 D18 4a n是等差数列， 101,0S，则使 0na的最小的 n 值是（ ） A5 B 6 C7 D8 5.若数列 231,cos,cos, 前 100 项之和为 0，则 的值为（ ） A. ()3kZ B. ()kZ C. 2()3kZ D.以上的答案均不对 6.设 2a=3,2b=6,2c=12,则数列 a,b,c 成 A.等差 B.等比 C.非等差也非等比 D.既等差也等比 7如果等差数列 n中， 34512a，那么 1
11、27.a( ) （A）14 （B）21 （C）28 （D）35 8.设数列 na的前 n 项和 ，则 的值为( ) 3S4 （A） 15 (B) 37 (C) 27 （D）64 9.设等比数列 的公比 ，前 n 项和为 ，则 （ ）n2qnS2a 5 A B C D242157 10.设 nS为等比数列 na的前 项和，已知 342Sa， 32Sa，则公比 q（ ） （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 11已知 n是等比数列， 2， 51，则 231n （ ） A 2(1)3 B 6(4)n C ()n D 2(4) 12.若数列 na的通项公式是 ，则 ( ) 13na1220a （A）
12、30 （B）29 （C）-30 （D）-29 13.已知等比数列 n满足 0,2,n ，且 25(3)n，则当 1n时，212321logllogaa （ ） A. ()n B. () C. 2n D. 2() 14巳知函数 (cs,0fx有两个不同的零点 12,x,且方程 fxm有两个不同的实根 34,x.若 把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数 m的值为 ( ) A B C D 15已知等比数列a n的前 n 项和 Snt 5n2 ，则实数 t 的值为( ) 15 A4 B5 C. D. 45 15 16已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 4+a7+a10=9，S 14S
13、3=77，则使 Sn 取得最小值时 n 的值为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 17若a n是等差数列，首项 a10，公差 d2 B 3 C2 D3 19、由正数构成的等比数列a n，若 13242349aa，则 23a 20已知数列 na的前 项和为 ,S某三角形三边之比为 :，则该三角形最大角为 6 21、给定 (1)log2na（nN* ） ，定义乘积 12ka 为整数的 k（kN* ）叫做“理想数”，则区间 1，2008内的所有理想数的和为 22设 1,d为实数，首项为 1a，公差为 d的等差数列 n的前项和为 nS，满足 34150，则 d的取值 范围为 23设正整数数列 满足
14、： ，且对于任何 ，有 ，则 na24*nN1122nnaa10 24.已知 n为等比数列, , 568a,则 10a_. 47 25.设等差数列 的公差 不为 0， 若 是 与 的等比中项，则 _.ad19dk2kk 26、已知函数 ()fx是一次函数，且 (),f()5,(4)ff成等比数列，设 ()naf，( N)（1） 求 1 nia ；（2）设 2nb，求数列 nab的前 n 项和 nS。 27、已知数列 n中， 1， 23，其前 项和 n满足 121nS（ 2n， *） （1）求 数列 na的通项公式；（2）设 14()2(anb为非零整数， *N） ，试确定 的值，使得对任意*N
15、 ，都有 nb1成立 28已知数列 中 2215, .3nnnaaa满 足 （I）设 ，求证数列 是等比数列；（）求数列 的通项公式1nnbn 29已知等差数列 满足： 4,9625. （）求 na的通项公式；（）若 nanq( 0)，求数列 nb的前 n 项和 nS. 30已知数列 的前 项和为 ，且 .S1,4*1()6ntStN,为 常 数 若数列 为等比数列，求 的值； 若 ，数列 前 项和为 ，()nt()1,lgtannnT 时 取最小值，求实数 的取值范围当 且 仅 当 =6T 31 是一个公差大于 0 的等差数列, 成等比数列, .()求数列 的通项公式; ()若521a462
16、 数列 和数列 满足等式: = ,求数列 的前 n 项和 32已知数列 na满足 11,4nna,其中 N*.()设 21nba,求证:数列 b是等差数列,并求 7 出 na的通项公式 na;()设 41nac,数列 2nc的前 项和为 nT,是否存在正整数 m,使得1nmTc 对于 N*恒成立,若存在,求出 m的最小值,若不存在,请说明理由. 33 已知各项均为正数的数列 前 n 项和为 ，首项为 ，且 成等差数列.（1）求数列 的通anS1anS,2na 项公式；（2）若 ，设 ，求数列 的前 n 项和 .nbna)2(n bccT 34一个等比数列 中， ，求这个数列的通项公式.n142
17、381aa， 35有四个数：前三个成等差数列，后三个成等比数列。首末两数和为 16，中间两数和为 12.求这四个数. 36.已知等差数列 na满足： ， 576，数列 n的前 n 项和为 nS2 （）求 n及 S；（）设 nba是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列 b的前 项和 nT. 37.设 是公比为正数的等比数列， 1， 324a.（）求 na的通项公式； （）求数列 的前 项和 . (21)nan 38已知数列 的前 n 项和为 ，点 在直线 上.nS,n1yx （）求数列 na的通项公式；（）设 ，求数列 nb的前 n 项和为 ，并求使不13(2)()nnba nT 等式 对一切 都成立的最大正整数 k 的值20nkT*N
