1、数学分析题库（1-22章）四计算题、解答题求下列极限 解：. .这是型，而故 原极限56 因， 故原极限.7 用洛必达法则8. 9. ; 解法1： 解法2：10 解因， （3分）故原式=求下列函数的导数 解 11 12 13 14 . 15 16 17 18 .19；20.求下列函数的高阶微分：设，求解 因为所以 所以 21. 解：22. 解： 令,两边对两边对求导有, 两边对求导有23. 求由参量方程所确定的函数的二阶导数解法1：由含参量方程的求导法则有 求即求参量方程的导数 解法2：由含参量方程的求导法则有 求即求参量方程的导数 24设, 试求.解 基本初等函数导数公式，有, 应用莱布尼兹
2、公式（）得. 25试求由摆线方程 所确定的函数的二阶导数.解 26 .求到项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式.解 因为, 所以到项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为. 27(2,1)(1,0)不存在递减，凹极小值递增，凹递增，凹极大值递减，凹28解 （1），故对任意正整数m，在连续.（2），故当时，在可导.（3）先计算的导函数.，由（2）知，于是当时，有，所以当时，在连续.29解 因为，故当时，不满足柯西中值定理的条件，所以在区间-1, 1上不能用柯西中值定理.30证明 （1）对任何，有，故是极小值点.（2）当时，有，作数列，则，.即在的任何右邻域内，既有数列中的点，也有数列中的点.并且，所以在内
3、的符号是变化的，从而不满足极值的第一充分条件.又因为，所以用极值的第二充分条件也不能确定的极值.31答：能推出在内连续.证明如下：，取，于是，由题设，在上连续，从而在连续.由的任意性知，在内连续.32.试求函数在上的最值和极值.解 在闭区间上连续, 故必存在最大最小值. 令,得稳定点为. 又因 故在处不可导. 列表如下不存在00递减极小值递增极大值递减极小值递增所以和为极小值点, 极小值分别为和,为极大值点, 极大值为. 又在端点处有, 所以函数在处取最小值,在处取最大值. 33.求函数在上的最大最小值：解：令令解得函数在的稳定点为, 而， 所以函数在的最大值和最小值分别为 .34. 确定函数
4、 的凸性区间与拐点:解：令 解得， 当时，从而区间为函数的凹区间,当时，从而区间为函数的凸区间. 并且，所以为曲线的拐点.35.设,则是有理数列.点集非空有界,但在有理数集内无上确界.数列递增有上界,但在有理数集内无极限.36.设,则是有理数列.点集有界无限,但在有理数集内无不存在聚点.数列满足柯西准则,但在有理数集内不存在极限.37.不能从中选出有限个开区间覆盖.因为中任意有限个开区间,设其中左端点最小的为,则当时,这有限个开区间不能覆盖.38.39.令,则40.41.42.令,则有,43. 令,则有,.44.45.46.47.其中和式是函数在上的一个积分和,所以.48.于是.49.以平面截
5、椭球面,得一椭圆.所以截面积函数为.于是椭球面的体积.50.化椭圆为参数方程: .于是椭圆所围的面积为.51.,于是所求摆线的弧长为.52.根据旋转曲面的侧面积公式可得所求旋转曲面的面积为.53.因为.于是无穷积分收敛,其值为.54.因为于是无穷积分收敛,其值为.55.因为,从而级数的部分和为.于是该级数收敛,其和为.56.因为,且级数收敛,所以级数收敛.57.因为,由根式判别法知级数收敛.58.因为,且级数发散,故原级数不绝对收敛.但单调递减,且,由莱布尼茨判别法知级数条件收敛.59. 因为,当时,于是.所以级数的部分和数列当时有界,从而由狄利克雷判别法知级数收敛;同法可证级数在上收敛.又因
6、为,级数发散, 收敛,于是级数发散,由比较判别法知级数发散.所以级数在条件收敛.60. 判断函数项级数在区间上的一致收敛性. 解 记. 则有 级数收敛; 对每个, ； 对 和成立. 由Abel判别法, 在区间上一致收敛.61. , . 讨论函数列的一致收敛性.解 0, . | 0| . 可求得 . 函数列在区间上非一致收敛.62. 函数列 在上是否一致收敛？解：由于，故.当时，只要，就有，故在上有.于是函数列（8）在上的极限函数，又由于 ，所以函数列（8）在0，1上不一致收敛.63. 在R内是否一致收敛？解 显然有, 在点处取得极大值,. 由系2 , 不一致收敛.64. 函数列 在上是否一致收
7、敛？解 时, 只要, 就有. 因此, 在上有. , .于是, 在上有. 但由于, ,因此 , 该函数列在上不一致收敛.65. 求幂级数的收敛域 . 解 是缺项幂级数 . 收敛区间为. 时,通项. 因此 , 该幂级数的收敛域为.66. 计算积分, 精确到.解 .因此, .上式最后是Leibniz型级数 , 其余和的绝对值不超过余和首项的绝对值 . 为使,可取.故从第项到第项这前7 项之和达到要求的精度.于是 .67. 把函数展开成的幂级数.解, . 而 , .68. 求幂级数的和函数.解法一 收敛域为,设和函数为, 则有 .因此, =, .解法二 , .69. 展开函数.解 .70. 在指定区间
8、内把下列函数展开成傅里叶级数（i）（ii）解 （1）（i）函数及其周期延拓后的图象所示. 显然是按段光滑的，故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数. 由于.当时，有所以在区间上 （ii）函数及其周期延拓后的图象所示. 显然是按段光滑的，故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数. 由于.当时,.所以在区间上 .71. 设是以为周期的分段连续函数, 又设是奇函数且满足试求的Fourier系数的值，.解 由是奇函数，故是偶函数，再由，故有 . 作变换，则 . 所以, 72. 设以为周期，在区间内, 试求的Fourier级数展开式。解 由Fourier系数的计算公式， . 又满足Fourier级数收敛的Di
9、richlet条件， 故.73.设 ,求在内的以为周期的Fourier级数展开式.解 注意到是奇函数，故的Fourier系数 . 因此 . 由在内分段单调，连续，且 故在内 .74. 设是以为周期的连续函数,其Fourier系数为.试用表示函数的Fourier 系数解 由Fourier系数的计算公式， 75. 试求极限 解 . 76. 试求极限 解 由 . 77. 试求极限解 由于 , 又 ,所以 ， , 所以 . 78. 试讨论解 当点沿直线趋于原点时， . 当点沿抛物线线趋于原点时， . 因为二者不等，所以极限不存在. 79. 试求极限解 由 = .80. ,有连续的偏导数，求 解 令 则
10、 81 . 求解 由 . 82. 求抛物面 在点 处的切平面方程与法线方程。解 由于 ,在处 ， 所以, 切平面方程为 . 即 法线方程为 . 83. 求在处的泰勒公式.解 由 . 得. 84. 求函数的极值.解 由于 解得驻点， 所以 是极小值点, 极小值为 85. 叙述隐函数的定义.答: 设，函数 对于方程, 若存在集合与，使得对于任何，恒有唯一确定的，使得满足方程 ,则称由方程确定了一个定义在上，值域含于的隐函数。一般可记为 且成立恒等式86. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容.答: 若满足下列条件:（i）函数F在以为内点的某一区域上连续;（ii）（通常称为初始条件）;（iii）在D内存在
11、连续的偏导数;（iv）0,则在点的某邻域内，方程=0唯一地确定了一个定义在某区间内的函数（隐函数），使得1 ,时且；2 在内连续.87. 叙述隐函数可微性定理的内容.答: 若满足下列条件:（i）函数F在以为内点的某一区域上连续;（ii）（通常称为初始条件）;（iii）在D内存在连续的偏导数;（iv）0,又设在D内还存在连续的偏导数，则由方程所确定的隐函数在在其定义域内有连续导函数，且88. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.答: 设在的某邻域内有连续的导函数，且; 考虑方程由于, , 所以只要，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程能确定出在的某邻域内的连续可微隐函数，并称它为函数的反函数
12、.反函数的导数是89. 解: 显然及在平面上任一点都连续，由隐函数定理知道，在使得的点附近，方程都能确定隐函数；所以，它的一阶与二阶导数如下：对方程求关于的导数（其中是的函数）并以3除之，得,或 （1）于是 （2）再对（1）式求导，得： 即 （3）把（2）式代入（3）式的右边，得再利用方程就得到 90. 解: 由于处处连续，根据隐函数定理18.3，在原点附近能惟一确定连续可微得隐函数，且可求得它得偏导数如下：91. 解: (1)令, 则有.由于均连续,且,故在点附近由上述方程能确定隐函数和.(2)当时, 由定理知;同理, 当时, 由定理知.于是求得并且有, .92. 解: 首先，即满足初始条件
13、. 再求出F，G的所有一阶偏导数容易验算，在点处的所有六个雅可比行列式中只有因此，只有难以肯定能否作为以为自变量的隐函数. 除此之外，在的近旁任何两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数.如果我们想求得的偏导数，只需对方程组分别关于求偏导数，得到 （1） （2）由（1）解出由（2）解出93. 解: 设,.(1) 关于的雅可比行列式是,当时, 在满足方程组的任何一点的一个邻域内, 由方程组可以唯一确定是的可微函数;(2) 关于的雅可比行列式是,当时, 在满足方程组的任何一点的一个邻域内, 由方程组可以唯一确定是的可微函数.94. 解: 设 ，. 它们在处的偏导数和雅可比行列式之值为： 和，
14、 ， .所以曲线在处的切线方程为：，即法平面方程为 ，即.95. 解: 令, 则,故, 因此曲面在点处的法向量为,所求切平面方程为,即.法线方程为即96. 解: 这个问题实质上就是要求函数（空间点到原点的距离函数的平方）在条件及下的最大、最小值问题. 应用拉格朗日乘数法，令.对求一阶偏导数，并令它们都等于0，则有求得这方程组的解为与 （1）（1）就是拉格朗日函数的稳定点，且所求的条件极值点必在其中取得.由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数在有界闭集上连续，从而必存在最大值与最小值），故由所求得的两个值，正是该椭圆到原点的最长距离与最短距离.97. 叙述含参量的正常积分定义.答: 用积分形式
15、所定义的这两个函数 （1）与 , （2）通称为定义在上含参量的（正常）积分，或简称含参量积分.（1）式的意义如下：设是定义在矩形区域上的二元函数。当取上某定值时，函数则是定义在上以y为自变量的一元函数.倘若这时在可积，则其积分值是在上取值的函数，记它为，就有.（2）式的意义如下：一般地，设为定义在区域上的二元函数，其中为定义在上的连续函数，若对于上每一固定的值，作为的函数在闭区间上可积，则其积分值是在上取值的函数，记作时，就有 98. 叙述含参量的正常积分的连续性定理的内容.答: 设二元函数在区域上连续，其中为上的连续函数，则函数 （6）在上连续.99. 叙述含参量的无穷限反常积分定义.答:
16、设二元函数定义在无界区域上，若对于上每一固定的值，反常积分 (1)都收敛, 则它的值是在上取值的函数, 当记这个函数为时, 则有,称(1)式为定义在上的含参量的无穷限反常积分, 或简称含参量反常积分.100. 叙述含参量的无穷限反常积分的一致收敛性定义.答: 若含参量反常积分 与函数对任给的正数，总存在某一实数使得当时，对一切，都有 即 则称含参量反常积分 在上一致收敛于，或简单地说含参量积分 在上一致收敛.101. 叙述含参量的无穷限反常积分的一致收敛的柯西收敛准则.答: 含参量反常积分 在上一致收敛的充要条件是：对任给正数，总存在某一实数，使得当时，对一切，都有.102. 叙述含参量反常积
17、分一致收敛的狄利克雷判别法.答: 设对一切实数Nc，含参量正常积分对参量在上一致有界，即存在正数M，对一切Nc及一切，都有对每一个，函数关于y是单调递减且当时，对参量一致地收敛于0. 则含参量反常积分在上一致收敛103. 叙述含参量反常积分一致收敛的阿贝尔判别法.答: 设在上一致收敛；对每一个，函数为的单调函数，且对参量，在上一致有界，则含参量反常积分在上一致收敛。104. 叙述含参量反常积分的可积性定理内容.答: 设在上连续，若在上一致收敛，则在上可积，且设在上连续.若关于在任何闭区间上一致收敛，关于在任何区间上一致收敛； 积分 （18）中有一个收敛， 则（18）中另一个积分也收敛，且105
18、. 解: 因为所以 由于函数在上满足定理的条件，所以交换积分顺序得到106. 解: 因为,所以该积分是正常积分.交换积分次序, 得.在上面的内层积分中作变换,有,于是.解法二: 取为参量, 利用积分号下求导数的方法,有积分上式,可得由于,即有,于是有.107. 解: 因为，所以 （21）由于及反常积分收敛，根据魏尔斯特拉斯M判别法，含参量反常积分在上一致收敛.由于在上连续，根据定理19.11交换积分（21）的顺序，积分I的值不变.于是 在上述证明中，令，则有, (22)由阿贝耳判别法可得上述含参量反常积分在上一致收敛.于是由定理19.9，在上连续，且又由（22）式在上式中，令，则有.108.
19、解: 由于对任一实数成立及反常积分收敛，所以原积分在上收敛. 考察含参量反常积分, (24)由于对一切成立及反常积分收敛，根据魏尔斯特拉斯M判别法，含参量积分（24）在上一致收敛. 综合上述结果由定理19.10即得 于是有,.从而，又由原积分，所以，因此得到109. 解: 把含参数的反常积分.中的被积函数关于求偏导数, 可得,当时, 有,因此,由M判别法, 关于参量是一致收敛的,因此对可以在积分号下求导,即.因为,所以.于是.令,有.110.解：. 111.解： 直线段的参数方程是：， 于是， .112.解:原式 113.解: .114.解： 由于，因此，全微分的原函数是. 115.解:().画出积分区域 ().116.解:.117.解: (). 由,得.于是,故是抛物线.令,得.故与轴相交于.().令 ,则，故 .().118.解: .119.解:.120.解：因为,故,.于是 .121.解：S是分解为两部分:,.故 .122.解：原式= . 123.解:().画出积分区域 ().原式=.124.解：由Gauss公式，得，由广义球坐标变换 , ，得 36
