1、第六节 椭圆 强化训练当堂巩固1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 答案:B 解析:由2a,2b,2c成等差数列,所以2b=a+c. 又 所以. 所以.所以. 2.已知椭圆0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且轴,直线AB交y轴于点P.若,则椭圆的离心率是( ) A.B. C.D. 答案:D 解析:对于椭圆,则, a=2c. 3.已知椭圆0)的左、右焦点分别为、若椭圆上存在一点P使则该椭圆的离心率的取值范围为 . 答案: 解析:因为在中,由正弦定理得 则由已知,得即a|=c|. 由椭圆的定义知|+|=2a, 则|+|=2
2、a,即| 由椭圆的几何性质知|0)的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为则此椭圆的方程为( ) A.B. C.D. 答案:B 解析:由题意可知:c=2,且焦点在x轴上.由可得m=4,.故选B. 题组二 椭圆的定义 4.设P是椭圆上的点.若是椭圆的两个焦点,则|+|等于( ) A.4B.5 C.8D.10 答案:D 解析:因为a=5,所以|+|=2a=10. 5.设直线l:2x+y-2=0与椭圆的交点为A、B,点P是椭圆上的动点,则使PAB面积为的点P的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 答案:D 解析:联立方程组 消去y整理解得: 或 |AB| 结合图象知P的个数为4. 题组三 椭圆的综合应
3、用 6.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为 . 答案: 解析:6,b=3,则所求椭圆方程为. 7.已知、是椭圆C:0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若的面积为9,则b= . 答案:3 解析:依题意,有 可得即b=3. 8.在平面直角坐标系xOy中为椭圆0)的四个顶点,F为其右焦点,直线与直线相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为 . 答案: 解析:直线的方程为:; 直线的方程为:;二者联立解得点 则OT中点在椭圆0)上, 10e-3=0, 解得. 9.已知椭圆C:的两焦点为点满足则|
4、+|的取值范围为,直线与椭圆C的公共点个数为 . 答案: 0 解析:延长交椭圆C于点M,故|+|b0)过点离心率为左 、右焦点分别为F 、F.点P为直线l:x+y=2上且不在x轴上的任意一点,直线和与椭圆的交点分别为A (1)求椭圆的标准方程. (2)设直线,PF的斜率分别为,k. ()证明:. ()问直线l上是否存在点P,使得直线OA k,k,k,k满足?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;存不存在,说明理由. 解:(1)因为椭圆过点 所以. 又 所以1. 故所求椭圆的标准方程为. (2)()证明:方法一:由于,F,PF的斜率分别为,k且点P不在x轴上, 所以. 又直线的方程分别为 联立方程解得 所以. 由于点P在直线x+y=2上, 所以. 因此 即结论成立. 方法二:设则. 因为点P不在x轴上,所以. 又 所以. 因此结论成立. ()设. 联立直线与椭圆的方程得 化简得 因此 由于OA,OB的斜率存在, 所以因此. 因此 . 相似地,可以得到 故 . 若须有或. 当时,结合()的结论,可得,所以解得点P的坐标为(0,2); 当时,结合()的结论,解得或此时不满足舍去),此时直线CD的方程为y=3(x-1),联立方程x+y=2得. 因此. 综上所述,满足条件的点P的坐标分别为(0.
