1、梯度、散度和旋度 (2011-09-12 20:36:08)转载标签：旋度散度梯度矢量场拉普拉斯算子波动方程分类：电子技术梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。这里假设读者已经了解了三者的定义。它们的符号分别记作如下：从符号中可以获得这样的信息：求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。这里称为势函数；求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度
2、”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式(1)其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：(2)(3)(4)旋度公式略显复杂。这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。I.梯度的散度：根据麦克斯韦方程有：而(5)则电势的梯度的散度为这是一个三维空间上的标量函数，常记作(6)称为泊松方程，而算符2称为拉普拉斯算符。事实上因为定义所以有当然，这只是一种记忆方式。当空间内无电荷分布时，即=0，则称为拉普拉斯方程当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布
3、的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。II.散度的梯度：散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。这就好比说清水中滴入一滴红墨水，起初水面红色浓度最高，杯底浓度最低，这样水面与杯底形成一个浓度梯度，红墨水由水面向杯底扩散，最后均匀。在半导体中，载流子分布的不均匀会导致扩散电流。散度
4、的梯度这个概念其实不常用，因为计算复杂，但在后面讲用它来推导一个矢量恒等式。III.梯度的旋度：对于梯度的旋度，直接把(2)式代入(4)式中，有由于势函数在空间一点的领域内往往是有二阶连续混合偏导数的，因此上式的结果为0.所以说梯度的旋度为零，它的物理意义也是很明确的。比如一个人从海平面爬到一座山上，无论它是从山的陡坡爬上去还是从缓坡爬上去，亦或者坐直升机上去，重力对他所做的功总是相等的，即力场的做工只与位移有关，而与路径无关，这样的场称为保守场，而保守场是无旋场。再比如绘有等高线的地图，如果某点只有一个一根等高线穿过，那么该点有一个确定的相对高度。如果该点有两条或以上的等高线穿过，则这个点处
5、在悬崖边上，这个点处是不可微，也就没有求梯度的意义。IV.旋度的散度：求旋度的散度也是将(4)式代入(3)式即可。若令(7)则从而将上面三式相加结果也为零。所以说旋度的散度为零，这就意味着一个散度场任意叠加上一个有旋场不会改变其散度，也就是说光凭矢量场的散度无法唯一地确定这个矢量场。而光凭矢量场的旋度也无法唯一地确定这个矢量，这是因为有旋场可以叠加上这么一个矢量场而不改变其旋度，而这个矢量场是一个标量函数的梯度。V.旋度的旋度：旋度的旋度将是本文的重点。若所研究的空间范围内是无源的，即=0，J=0，则根据麦克斯韦方程有：(8)(9)(10)(11)对(9)式两端取旋度(12)再将(8)式代入(
6、12)式有(13)看到这里容易让人想到式(1)，前面说式(1)的方程为一维波动方程，那么跟(13)式有什么联系呢？棘手的问题是算旋度已经够复杂了，算旋度的旋度岂不是更费周折？幸好有矢量恒等式可以利用来帮助简化计算，这里要用到前面所讲的散度的梯度。即有：(14)这里拉普拉斯算子作用于一个矢量函数时，意义变得不明确了，它和前面的几个“X度的X度”都不一样，实际上它有这样的定义：(15)为了验证式(14)还是要对计算“旋度的旋度”，但以后可以直接利用该式。还是做(7)式那样的处理，即令则于是(16)而令(17)两式相减有(18)类似地有由于所关心的空间内是无源的，所以式(13)变成(19)这个方程很
7、重要，称为三维波动方程，这也从理论上揭示了电磁波的存在。它的各分量展开后比较复杂，实际上我们无法绘制出一个向四面八方传播的波的振动图像，但好在可以画出一维和二维的波，从而了解波的性质。有些事物我们无法在现实世界中呈现，或绘制出图形，但是数学上却可以计算且有确切的物理意义，比如高于三维的空间，不得不感叹数学的神奇，感叹我们生活的世界的神奇。VI.几个矢量恒等式：前面已经介绍了一个矢量恒等式，还有其他几个重要的恒等式。由于三种“度”是三种不同微分算法，虽然有些场合可以把当做一个普通的矢量来处理，但并不总是正确的，这一点需要引起注意。这里“”乘的优先级高于“”乘对于普通三个不共面的矢量A、B、C则有
8、ABC=CAB=BCA。得到的结果是令三个矢量共起点，以三个矢量的模为棱构成的六面体的体积或它的负值。但是对于算子，则一般但是一般有实际上上面的矢量恒等式就是上式的扩展上两式相减有记忆上式的方法是记住下标的顺序是xyz，yzx和zxy。这个等式相对容易证明，但前提是要在直角坐标下。旋度为了反映某一点处是否存在涡旋源以及涡旋面的方向和涡旋源的强度，定义了旋度。下面给出旋度的计算公式，希望对你有所帮助。方法/步骤1. 旋度计算公式：注：图片格式，请耐心加载2. 度量系数h及其满足关系：3. 3旋度的性质1）矢量场的旋度师一个矢量场。2）旋度的量纲师环量面密度，表示涡旋面单位面积上的环量3）rot（
9、A） = 0 表示该场为无旋场，也称为保守场梯度，散度，旋度的形象解释梯度: 运算的对像是纯量,运算出来的结果会是向量在一个纯量场中,梯度的计算结果会是在每个位置都算出一个向量,而这个向量的方向会是在任何一点上从其周围(极接近的周围,学过微积分该知道甚么叫极限吧?)纯量值最小处指向周围纯量值最大处.而这个向量的大小会是上面所说的那个最小与最大的差距程度举例子来讲会比较简单,如果现在的纯量场用一座山来表示,纯量值越大的地方越高,反之则越低.经过梯度这个运操作数的运算以后,会在这座山的每一个点上都算出一个向量,这个向量会指向每个点最陡的那个方向,而向量的大小则代表了这个最陡的方向到底有多陡.散度:
10、 运算的对像是向量,运算出来的结果会是纯量散度的作用对像是向量场,如果现在我们考虑任何一个点(或者说这个点的周围极小的一块区域),在这个点上,向量场的发散程度,如果是正的,代表这些向量场是往外散出的.如果是负的,代表这些向量场是往内集中的.一样,举例子:因为散度的作用对像是向量场,所以就不能用上面所讲的山来想象,这次要想象一个大广场里挤了很多人,如果每个人都在到处走动,是不是可以把每个人的行动都看成是一个向量,假如现在某人放了一个屁,周围的人(可能包含他自己)都想要赶快闪远一点,就会发现,在这块区域的人都往这小块区域以外的方向移动.对啦.这就是散度(你也可以想说是闪远一点的闪度.冷.),大家如
11、果散得越快,散得人越多,这个散度算出来就就越大.旋度: 运算的对像是向量,运算出来的结果会是向量旋度的作用对象也是向量场,这次直接用上面的例子来讲:如果现在散开的众人都是直直的往那个屁的反方向散开,这时候你看到这些人的动线是不是就是一个标准的幅射状?不过事实上,每个人在闻到屁的时候是不会确切的知道屁到底是来自哪个方向的.而可能会走错方向,试过之后才发现不对劲,越找越臭.这时候你看到众人的走向不见得就是一个幅射状(大家都径向移动),而可能有一些切向移动的成份在(以屁发点为中心来看)旋度对应的就是这些切向移动的情况,相对来讲,散度对应的其实就是径向移动的情况.而一个屁,虽然可能会像上述的造成一些切
12、向的移动,但理论上来讲,并不会使散开的众人较趋向于顺时钟转,或逆时钟转.在这种情况,顺时钟转的情况可以看作与逆时钟转的情况抵消,因此,在这情况下,旋度仍然是零.也就是说,一个屁能造成散度,而不会造成旋度.而甚么时候是有旋度的呢?如果这时候音乐一放,大家开始围着中间的营火手拉手跳起土风舞(当然是要绕着营火转的那种啦)这时候就会有旋度没有散度啦.(刚刚一直放屁的那位跑出去找厕所的除外)以上这三个,有一点一定要记得的.不论是梯度,散度,旋度,都是一种local的量(纯量,向量),所考虑的都是任何一点(其周围极接近,极小的小范围)的情况.以上举的例子因为要容易了解,所以都是针对二度空间向量为例,而且都是很大的东西,但广场是一个点,营火晚会也是一个点,纳须弥于芥子,这就请自行想象吧.
