1、椭圆典型题型归纳题型一. 定义及其应用例1.已知一个动圆与圆相内切，且过点，求这个动圆圆心的轨迹方程； 练习：1.方程对应的图形是（ ）A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆2.方程对应的图形是（ ）A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆4.如果方程表示椭圆，则的取值范围是 5.过椭圆的一个焦点的直线与椭圆相交于两点，则两点与椭圆的另一个焦点构成的的周长等于 ；6.设圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任意一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为 ；题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线例1.方程的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹；（二）分情况求椭圆的方程例
2、2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点，求椭圆的方程；（三）用待定系数法求方程例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点、，求椭圆的方程；例4.求经过点且与椭圆有共同焦点的椭圆方程；注：一般地，与椭圆共焦点的椭圆可设其方程为；（四）定义法求轨迹方程；例5.在中，所对的三边分别为，且，求满足且成等差数列时顶点的轨迹；（五）相关点法求轨迹方程；例6.已知轴上一定点，为椭圆上任一点，求的中点的轨迹方程； （六）直接法求轨迹方程；例7.设动直线垂直于轴，且与椭圆交于两点，点是直线上满足的点，求点的轨迹方程； （七）列方程组求方程例8.中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截
3、得的弦的中点的横坐标为，求此椭圆的方程； 题型三.焦点三角形问题例1.已知椭圆上一点的纵坐标为，椭圆的上下两个焦点分别为、，求、及；题型四.椭圆的几何性质例1.已知是椭圆上的点，的纵坐标为，、分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为，则的最大值与最小值之差为 例2.椭圆的四个顶点为，若四边形的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为 ；例3.若椭圆的离心率为，则 ；例4.若为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，则椭圆的离心率为 题型七.求离心率例1. 椭圆的左焦点为，是两个顶点，如果到直线的距离为，则椭圆的离心率 例2.若为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，则椭圆的离心率为 例3. 、为椭圆的两个焦点，过的直
4、线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为 ；题型八.椭圆参数方程的应用例1. 椭圆上的点到直线的距离最大时，点的坐标 例2.方程()表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；题型九.直线与椭圆的关系（1）直线与椭圆的位置关系例1. 当为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离？例2.曲线（）与连结，的线段没有公共点，求的取值范围。例3.过点作直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。例4.求直线和椭圆有公共点时，的取值范围。 （二）弦长问题例1.已知椭圆，是轴正方向上的一定点，若过点，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求点的坐标。例2.椭圆与直线相交于两点，是的中点，若，为坐标
5、原点，的斜率为，求的值。例3.椭圆的焦点分别是和，过中心作直线与椭圆交于两点，若的面积是20，求直线方程。（三）弦所在直线方程例1.已知椭圆，过点能否作直线与椭圆相交所成弦的中点恰好是；例2.已知一直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标为，求直线的方程；例3. 椭圆中心在原点，焦点在轴上，其离心率,过点的直线与椭圆相交于两点，且C分有向线段的比为2.（1）用直线的斜率表示的面积；（2）当的面积最大时，求椭圆E的方程例4.已知是椭圆上的三点，为椭圆的左焦点，且成等差数列，则的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。（四）关于直线对称问题例1.已知椭圆，试确定的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线
6、对称； 例2.已知中心在原点，焦点在轴上，长轴长等于6，离心率，试问是否存在直线，使与椭圆交于不同两点，且线段恰被直线平分？若存在，求出直线倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。题型十.最值问题F2F1M1M2例1若，为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值。结论1：设椭圆的左右焦点分别为,为椭圆内一点，为椭圆上任意一点，则的最大值为,最小值为；例2,为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值。论2设椭圆的左右焦点分别为，为椭圆外一点，为椭圆上任意一点，则的最大值为，最小值为;2.二次函数法例3求定点到椭圆上的点之间的最短距离。结论3：椭圆上的点到定点A(m,0)或B(
7、0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式表示MA或MB，通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。3.三角函数法例4求椭圆上的点到直线的距离的最值；结论4：若椭圆上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。4.判别式法例4的解决还可以用下面方法结论5：椭圆上的点到定直线l距离的最值问题,可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。例5.已知定点，点为椭圆的右焦点，点在该椭圆上移动时，求的最小值，并求此时点的坐标；（第二定义的应用）题型十一.轨迹问题例1到两定点，的距离之和为定值5的点的轨迹是 ( ) A椭圆 双曲线 直线 线段例2已知点，点在圆的上半圆周上(即y0)，AOP的平分线交于Q，求点Q的轨迹方程。例3.已知圆及点，是圆C上任一点，线段的垂直平分线l与PC相交于Q点，求Q点的轨迹方程。题型十二.椭圆与数形结合例1关于的方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围.例2求函数的最值。第8页
