1、 高二理科数学 第 1 页 ；共 8 页 程溪中学 2015-2016 学年上学期 期末 考 试卷 高二数学试题（ 理 科） （ 时间： 120分钟 总分： 150分） 第 卷 (选择题 共 60 分 ) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 且仅 有一项是符合题目要求的。 1 若复数 z 满足 iz 2 4i，则在复平面内， z 对应的点的坐标是 ( ) A (2,4) B (2， 4) C (4， 2) D (4,2) 2 已知命题“如果 -1 a 1，那么关于 x 的不等式 (a2-4)x2+(a+2)x-1 0 的解 集为 ”，它的
2、逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.4 个 3. “ 10)的顶点到渐近线的距离为 ，则双曲线的离心率 e=( ) 高二理科数学 第 2 页 ；共 8 页 A.2 B. C.3 D. 9 A 是圆上固定的一定点 ,在圆上其他位置任取一点 B,连接 A、 B 两点 ,它是一条弦 ,它的长度大于等于半径长度的概率为 （ ） A. 12 B. 23 C. 32 D. 14 10. 下列命题中的假命题是 ( ) A x R,2x-10 B x R， lgx0 D x R， tanx 2 11 如下图所示 ,程序执行后的输出结果为 ( ) A
3、. 0 B. -1 C. 1 D. 2 12.点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD-A1 B1C1D1 的底面 A1 B1C1D1 上一点，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. -1， 0 D. 第 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的相应位置 13 已知 ba, 是 空 间 二 向 量 ， 若 bababa 与则,7|,2|,3| 的夹角为 . 14.已知 x、 y 之间的一组数据如下： 开始 5n 0s 15?s 1nn s s n 输出 n 结束 是 否 高二理科数学 第 3 页 ；共 8 页 x 0 1
4、 2 3 y 8 2 6 4 则线性回归方程 bxay 所表示的直线必经过点 _ 15. 在三棱柱 ABC- A1 B1C1 中 ,底面为棱长为 1 的正三角形 ,侧棱 AA1底面 ABC,点 D 在棱 BB1 上 ,且 BD=1,若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 ,则 sin的值 是 . 16. 曲线 C 是平面内到直线 1l ： x=-1 和直线 2l ： y=1 的距离之积等于常数 k2 的点的轨迹 .给出下列四个结论： 曲线 C 过点 (-1， 1)； 曲线 C 关于点 (-1， 1)对称； 若点 P 在曲线 C 上，点 A， B 分别在直线 1l ， 2l 上，则 + 不小
5、于 2k. 设 P0 为曲线 C 上任意一点，则点 P0 关于直线 x=-1、点 (-1， 1)及直线 y=1 对称的点分别为 P1， P2， P3，则四边形 P0P1P2P3 的面积为定值 4k2. 其中，所有正确结论的序号是 . 三、解答题：本 大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 10 分） 已知 a0， a1，设 p：函数 y loga(x 3)在 (0， )上单调递减， q：函数 y x2 (2a 3)x 1 的图象与 x 轴交于不同的两点如果 p q 为 真， p q 为 假，求实数 a 的取值范围 18（本小题满分 12 分）
6、已知关于 x 的二次函数 f(x) ax2 bx 1(a0)，设集合 P 1,2,3， Q 1,1,2,3,4，分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数 a 和 b得到的数对 (a， b) (1)列举出所有的数对 (a， b)，并求函数 y f(x)有零点的概率； (2)求函数 y f(x)在区间 1， )上是增函数的概率 19. （本小题满分 12 分） 如图 ,在长方体 ABCD-A B C D中 ,AB=2,AD=1,AA =1 (1)证明直线 BC 平面 D AC. (2)求直线 BC到平面 D AC 的距离 . 高二理科数学 第 4 页 ；共 8 页 20. （本小题满分 12 分）
7、已知 抛物线 C： y2=2px(p0)过点 A(1， -2). (1)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程 . (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点 )的直线 l ，使得直线 l 与抛物线 C 有公共点，且直线OA与 l 的距离等于 ？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，说明理由 . 21. （本小题满分 12 分） 如图所示，在正方体 ABCD- A1B1C1D1中， E是棱 DD1的中点 . (1)求直线 BE 和平面 ABB1A1所成角的正弦值 . (2)在棱 C1D1上是否存在一点 F，使 B1F平面 A1BE？证明你的结论 . 22. （本小题满分 12 分） 已知直线 :
8、 9 0l x y ，椭圆 22:112 3xyE ， （ 1）过点 M （ 12 , 12 ）且被 M 点平分的弦所在直线的方程； （ 2） P 是椭圆 E 上的一点， 12,FF是椭圆 E 的两个焦点，当 P 在何位置时， 12FPF 最大，并说明理由； （ 3）求与椭圆 E 有公共焦点，与直线 l 有公共点，且长轴长最小的椭圆方程 高二理科数学 第 5 页 ；共 8 页 程溪中学 2015-2016 学年上学期 期末 考 试卷 高二数学试题（ 理 科） （考试时间： 120 分钟 总分： 150 分） 一、选择题： (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ) 题号 1 2
9、3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题： (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ) 13、 14、 15、 16、 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18、 17、 （本 小 题满分 10 分） 高二理科数学 第 6 页 ；共 8 页 18、 （本 小 题满分 12 分 ） 19、 （本 小 题满分 12 分 ） 高二理科数学 第 7 页 ；共 8 页 20、 （本 小 题满分 12 分 ） 21、 （本 小 题满分 12 分 ） 高二理科数学 第 8 页 ；共 8 页 22、 （本 小 题满分 12 分
10、 ） 高二理科数学 第 9 页 ；共 8 页 程溪中学 2015-2016 学年上学期 期末 考 试卷 高二（ 理 科）数学参考答案及评分标准 一、选择题 : 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C B D A B A B B C A D 二、填空题： 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13、314、 1.5,5 15、 16、 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17 解 对于命题 p：当 01 时，函数 y loga(x 3)在 (0， )上单调递增，所以如果 p 为真命题，那么
11、 01.对 于命题 q：如果函数 y x2 (2a 3)x 1 的图象与 x 轴交于不同的两点，那么 (2a 3)2 40，即 4a2 12a 50a52. 又 a0，所以如果 q 为真命题，那么 052. 如果 q 为假命题，那么 12a1，052， a52. a 的取值范围是 12， 1) (52， ) 18.解 (1)(a， b)共有 (1， 1)， (1,1)， (1,2)， (1,3)， (1,4)， (2， 1)， (2,1)， (2,2)， (2,3)，(2,4)， (3， 1)， (3,1)， (3,2)， (3,3)， (3,4)， 15 种情况 函数 y f(x)有零点，
12、b2 4a0，有 (1,2)， (1,3)， (1,4)， (2,3)， (2,4)， (3,4)共 6 种情况 。 所以函数 y f(x)有零点的概率为 615 25. (2)函数 y f(x)的对称轴为 x b2a，在区间 1， )上是增函数，则有 b2a1，即 b 2a0. 因此 有 (1， 1)， (1,1)， (1,2)， (2， 1)， (2,1)， (2,2)， (2,3)， (2,4)， (3， 1)， (3,1)，(3,2)， (3,3)， (3,4)，共 13 种情况满足条件， 所以函数 y f(x)在区间 1， )上是增函数的概率为 1315. 18、 高二理科数学 第
13、10 页 ；共 8 页 19（ 1） 解析 如图 ,建立空间直角坐标系 ,可得有关点的坐标为 A(1,0,1),B(1,2,1), C(0,2,1),C(0,2,0),D (0,0,0). 则 =(1,0,1), =(0,2,1),设平面 D AC 的法向量 n=(u,v,w), 由 n ,n ,所以 n =0,n =0,即 解得 u=2v,w=-2v, 取 v=1,得平面 D AC 的一个法向量 n=(2,1,-2).因为 =(-1,0,-1), 所以 n =0,所以 n .又 BC不在平面 D AC 内 ,所以直线 BC与 面 D AC 平行 . （ 2） 由 =(1,0,0),得点 B
14、到平面 D AC 的距离 d= = = ,所以直线 BC到平面 D AC 的距离为 . 20. 解 (1)将 A(1， -2)代入 y2=2px，得 (-2)2=2p 1，所以 p=2. 故所求抛物线 C的方程为 y2=4x，其准线方程为 x=-1. (2)假设存在符合题意的直线 l ，其方程为 y=-2x+t. 由 得 y2+2y-2t=0. 因为直线 l 与抛物线 C 有公共点，所以 =4+8t 0，解得 t - . 由直线 OA与 l 的距离 d= ，可得 = ，解得 t= 1. 因为 -1 ， 1 ，所以符合题意的直线 l 存在，其方 程为 2x+y-1=0. 21. 设正方体的棱长为 1.如图所示，以 ， ， 为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz.
