1、绵阳南山中学(实验校区)2011年自主招生考试数 学 试 题 卷本试卷满分150分，考试时间120分钟。第I卷（选择题，共36分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、等于( )A、B、C、D、2、计算( )A、B、C、D、3、下列属于必然事件的是( )A、度量三角形的内角和，结果是3600B、2011年6月19日绵阳是雨天C、掷一枚正方体骰子,向上的点数不小于1D、从一副扑克牌中抽取一张，其点数是54、下列图形具有稳定性的是( )A、矩形B、平行四边形C、菱形D、直角三角形5、下列四边形：等腰梯形，正方形，矩形，菱形，其
2、中对角线一定相等的是( )A、B、C、D、6、右图所示的三角形绕虚线旋转一周所得的几何体是( )7、右图是小明用八块相同的小正方体搭建的一个积木,它的俯视图是( )8、如图，一次函数的图象过点A、B,则的解集是( ) A、 B、 C、 D、9、南山中学高二某英才班40名学生为“希望小学”捐款，共捐1000元，捐款情况如下表：捐款（元）10203040人数67表中捐款20元和30元人数不小心被墨水污染，已经看不清楚，请你根据表中信息计算出捐款20元和30元的人数分别为( )A、15人，12人B、13人，14人C、12人，15人D、14人，13人10、如图,在RtABC中，ACB=900，CDAB
3、于点D，ACD=3BCD，点E是AB中点，AB=10，线段DE的长度为( ) A、3 B、5 C、D、11、如图,点C是线段BD上一点,在BD同侧作正三角形ABC和正三角形ECD,BE交AC于点M,AD交CE于点N,连结MN,则下列关系中不正确的是( ) A、BE=AD B、DC=DN C、CM=CND、MN/BD12、如图,在RtABC中，C=900，A=300，点O在斜边AB上,半径为2的圆O过点B，切AC于点D,交BC于点E,则图中阴影部分的周长为( )A、 B、 C、 D、第II卷（非选择题，共114分）二、填空题：本大题共6个小题,每小题4分,共24分. 将答案填写在答题卷相应的横线
4、上.13、分解因式： ；14、如图,与、分别交于点、,平分，若，则 ；15、2011年4月，第六次全国人口普查结果公布，中国内地人口已达13.39亿人，用科学记数法表示这一数据应为 人；16、中任意一点经平移后对应点为点，将作同样平移得到，若点，则点的坐标为 ；17、如图,南山中学数学研究性学习小组制作了一个脸谱,它的上半部分是半圆,眉心在圆心处,两眼在直径上;下半部分是一段抛物线,下鄂恰好在顶点处. 经过测量，两眼所在的直径长24，下鄂点到头顶中点长24.请你计算，过眉心且与直径成角的线段的长约为 .(参考数据:,结果精确到0.01)18、如图,四边形为矩形,把矩形沿对角线折叠,点落在点处,
5、点、分别是、中点,交、于点、,则线段的长度为 。 三、解答题：本大题7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、(本题共2个小题，每小题8分，共16分) （1）计算：； （2）计算：.20、(本题满分12分)如图，用一长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间有三道篱笆（均平行于墙CD）的矩形饲养场ABCD. （1）若围成的饲养场面积为，求边AB的长；（2）能否围成面积为的饲养场?若能，求出边AB的长；若不能，请说明理由.21、(本题满分12分)南山中学今年高一某班进行了体能测试，根据成绩绘制了下列统计图1和图2：（1）请在原图上补全统计图1和图2（图2中，请标
6、明各部分的圆心角的度数）；（2）分别计算该班本次体能测试成绩的平均数和中位数；（3）你能得出哪些结论？（只要求写出其中两条）22、(本题满分12分)一次函数的图象与反比例的图象交于点和.（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）设一次函数图象与轴、轴分别交于C、D两点，点C关于轴对称点为点E,求和面积之比。23、(本题满分12分)如图，AB为O的直径，点C是O上一点，AC平分DAB，ADCD，线段AB与DC的延长线交于点P。（1）求证：CD是O的切线；（2）若PB=BO=1，求图中阴影部分的面积（结果保留根号）。 24、(本题满分12分)已知二次函数的图象过点A（-1，0）和点B（5，12）
7、。（1）求此函数的解析式及图象的对称轴；（2）在对称轴上是否存在点P，使得PA=PB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在二次函数的图象上求点Q，使得QAB是以AB为直角边的直角三角形。25、(本题满分14分)已知正方形ABCE，一等腰直角三角形的一个锐角顶点与点A重合，将此三角形绕点A旋转，两边分别与线段BC、CD（或其延长线上）交于点M、N。（1）当点、在边、上时，如图1，求证：；（2）当点、在边、延长线上时，如图2，线段、间又有何数量关系？并证明；（3）在(2)中作直线分别交直线、直线于、两点，若，求.绵阳南山中学(实验校区)2011年自主招生考试数学试卷参考答案及评分
8、意见说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准相应给分.2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不在给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确地做到这一步就得的累加分数.一.选择题： 本大题共12个小题，每小题3分，共36分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. B 2.C 3.C 4.D 5.A 6.B7. D 8.C 9.A 10.D 11.B 12.
9、C二.填空题：每小题4分，共24分13. 14. 15. 16. 17. 18. 三.解答题：本大题7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19 (本题共2个小题，每小题8分，共16分) 解:（1）原式= .6分 .8分（2）原式= .2分.6分 8分20(本题满分12分)解: （1）设,由题意得.1分可列方程:4分解得或6分又 .7分即9分（2）由题意得 整理得,此方程无解.11分不能围成面积为的饲养场. .12分21. (本题满分12分)解：（1）设高一某班总人数为人，38分的人数为（人） .2分补全统计图1如下. .3分 30分： 35分： 36分： 38分： 40分
10、： 5分补全统计图2见上. .6分(2)平均数为 .7分中位数为：36 8分(3)答案不唯一，可参考如下：可估计高一年级35分人数最多，占30% ；可估计高一年级30分人数最少，占10% ；从平均数和中位数看高一年级有45% 的人超过36分；因为年级有55%的学生未达到平均成绩，故以后学生必须加强体育锻炼. 12分22. (本题满分12分)解：（1）设反比例函数的解析式为，即由题意得解得反比例函数的解析式为 3分设一次函数的解析式为，由题意得解得一次函数的解析式为 6分(2)由得由点是点关于轴对称点知，点与点的横坐标相同,轴. 9分和高相同,和面积之比为与的长度之比.和面积之比为 12分23.
11、(本题满分12分)(1)证明:连结 由得 又平分，于是 .3分由,得是圆的切线. 6分（2）设交圆于，连结在中, ,由,得在中, 在中, .9分阴影部分的面积: .12分24. (本题满分12分)解:（1）由题意得解得 二次函数的解析式为 对称轴方程为 3分（2）设点,对称轴交轴于点,作垂直于对称轴,垂足为.于是 在中, 在中, 解得点的坐标为 .7分（3）设点若为直角，作轴于,轴于,于. 在中, 在中, 在中, 即 展开整理得解得(舍去)或 点 .9分若为直角,由同理可求 .11分综上所述,点的坐标为或 12分25. (本题满分14分) 证明：（1）延长到,使连结如右图. 即, 由得又又. 4分（2）在线段上截取，使，连结，易得即由得又即. 9分(3)连结,如右图. 在中, 由(2)知,即 整理得即 在中, .14分14
