1、2011年上海市浦东新区高三练习数学试卷（理科）一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1函数的定义域为 . 2若行列式，则 . 3若椭圆的一个焦点与圆的圆心重合，且经过，则椭圆的标准方程为 . 4若集合，则 . 5已知一个关于的二元一次方程组的增广矩阵是，则 . 6已知（其中为常数），则 .7样本容量为200的频率分布直方图如图所示. 根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在内的频数为 8 展开式中不含项的系数的和为 . 9在中，若，,且，则 . 10 某年级共有210名同学参加数学期中考试，随机抽取
2、10名同学成绩如下：成绩（分）506173859094人数221212则总体标准差的点估计值为 （结果精确到0.01）. 11甲乙射击运动员分别对一目标射击一次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，则两人中至少有人射中的概率为 . 12在极坐标系中，定点，动点B在曲线上移动，当线段AB最短时，点B的极径为 13在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”。则原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是 .14如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动，设顶点的轨迹方程是，则在其两个相邻零点间的图像与轴所围区域的面积为 . xyODCBA二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案
3、,选对得5分，答案代号必须填在答题纸上注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应,不能错位.二. 选择题 15右图给出了一个程序框图，其作用是输入的值，输出相应的值若要使输入的值与输出的值相等，则这样的值有 答（ ）（A）1个. （B）2个.（C）3个. （D）4个.16若的面积，且，则与夹角的取值范围是 答（ ）（A）. （B）.（C）. （D）.AA1DCBD1C1B1EFPQ17如图，正方体的棱长为，动点在棱上，动点分别在棱上，若,，则四面体的体积 答（ ） （A）与都无关. （B）与有关，与无关.（C）与都有关. （D）与无关，与有关.18已知关于的方程，其中、都是非零向量，且、不共线，则
4、该方程的解的情况是 答（ ） （A）至多有一个解 （B）至少有一个解 （C）至多有两个解 （D）可能有无数个解三、解答题19（本题满分12分）第一题满分6分，第二题满分6分已知虚数， ，（1）若，求的值；（2）若是方程的两个根，求实数的值。20.（本题满分14分）第一题满分7分，第二题满分7分如图，用一平面去截球，所得截面面积为，球心到截面的距离为，为截面小圆圆心，为截面小圆的直径。（1）计算球的表面积；（2）若是截面小圆上一点，M、N分别是线段和的中点，求异面直线与所成的角(结果用反三角函数表示).21（本题满分14分）第一题满分4分，第二题满分4分，第三题满分6分某企业投入81万元经销某产
5、品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第个月的利润（单位：万元）。为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中。记第个月的利润率为，例如. （1）求； （2）求第个月的当月利润率； （3）求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率。22.（本题满分16分）第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分6分某同学将命题“在等差数列中，若，则有（）”改写成：“在等差数列中，若，则有（）”，进而猜想：“在等差数列中，若，则有（）.”（1）请你判断以上同学的猜想是否正确，并说明理由；（2）请你提出一个更一般的命题，使得上面这位同学猜想的
6、命题是你所提出命题的特例，并给予证明.（3）请类比（2）中所提出的命题，对于等比数列，请你写出相应的命题，并给予证明.23.（本题满分18分）第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分8分已知椭圆的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为、，抛物线的准线与轴交于，椭圆与抛物线的一个交点为.（1）当时，求椭圆的方程；（2）在（1）的条件下，直线过焦点，与抛物线交于两点，若弦长等于的周长，求直线的方程；（3）由抛物线弧和椭圆弧（）合成的曲线叫“抛椭圆”,是否存在以原点为直角顶点，另两个顶点落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形，若存在，求出两直角边所在直线的斜率；若不存在，说明理由.2011年上海市浦东新
7、区高三练习数学试卷（理科）一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1函数的定义域为 . 2若行列式，则 . 23若椭圆的一个焦点与圆的圆心重合，且经过，则椭圆的标准方程为 . 4若集合，则 . 5已知一个关于的二元一次方程组的增广矩阵是，则 . 66已知（其中为常数），则 . 17样本容量为200的频率分布直方图如图所示. 根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在内的频数为 64 8 展开式中不含项的系数的和为 . 229在中，若，,且，则 . 10 某年级共有210名同学参加数学期中考试，随机抽取10
8、名同学成绩如下：成绩（分）506173859094人数221212则总体标准差的点估计值为 （结果精确到0.01）. 17.6011甲乙射击运动员分别对一目标射击一次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，则两人中至少有人射中的概率为 . 0.9812在极坐标系中，定点，动点B在曲线上移动，当线段AB最短时，点B的极径为 13在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”。则原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是 .14如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动，设顶点的轨迹方程是，则在其两个相邻零点间的图像与轴所围区域的面积为 . xyODCBA二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只
9、有一个正确答案,选对得5分，答案代号必须填在答题纸上注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应,不能错位.二. 选择题 15右图给出了一个程序框图，其作用是输入的值，输出相应的值若要使输入的值与输出的值相等，则这样的值有 答（ ）（A）1个. （B）2个.（C）3个. （D）4个.16若的面积，且，则与夹角的取值范围是 答（ ）（A）. （B）.（C）. （D）.AA1DCBD1C1B1EFPQ17如图，正方体的棱长为，动点在棱上，动点分别在棱上，若,，则四面体的体积 答（ ） （A）与都无关. （B）与有关，与无关.（C）与都有关. （D）与无关，与有关.18已知关于的方程，其中、都是非零向量，
10、且、不共线，则该方程的解的情况是 答（ ） （A）至多有一个解 （B）至少有一个解 （C）至多有两个解 （D）可能有无数个解三、解答题19（本题满分12分）第一题满分6分，第二题满分6分已知虚数， ，（1）若，求的值；（2）若是方程的两个根，求实数的值。解（）， 2分， 5分cos()=. 6分 （2）由题意可知cosa=cosb，sina=-sinb 8分且 10分 ，经检验满足题意。 12分20.（本题满分14分）第一题满分7分，第二题满分7分如图，用一平面去截球，所得截面面积为，球心到截面的距离为，为截面小圆圆心，为截面小圆的直径。（1）计算球的表面积；（2）若是截面小圆上一点，M、N分
11、别是线段和的中点，求异面直线与所成的角(结果用反三角函数表示).解：（1）连接OA，由题意得，截面小圆半径为 （2分）在中，,的由勾股定理知， （4分）所以，球的表面积为：（）. （7分）（2）由得，为异面直线AC与MN所成的角（或补角）. （9分）在中，AB=8, 则AC=4， （10分）连接OC,在中，OA=OC=5,由余弦定理知：， （12分）故异面直线AC与MN所成的角为. （14分）21（本题满分14分）第一题满分4分，第二题满分4分，第三题满分6分某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第个月的利润（单位：万元）。为了获得更多的利润，
12、企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中。记第个月的利润率为，例如. （1）求； （2）求第个月的当月利润率； （3）求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率。解：（1）依题意得所以4分（2）当时，当时，则也符合上式。故当时，6分当时， 6分所以第个月的当月利润率为8分（3）当时，是减函数，此时的最大值为10分当时，当且仅当，即时，有最大值.12分因为，所以，当时，有最大值.即该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，其当月利润率为。14分22.（本题满分16分）第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分6分某同学将命题“在等差数列中，若，则有（）”改写
13、成：“在等差数列中，若，则有（）”，进而猜想：“在等差数列中，若，则有（）.”（1）请你判断以上同学的猜想是否正确，并说明理由；（2）请你提出一个更一般的命题，使得上面这位同学猜想的命题是你所提出命题的特例，并给予证明.（3）请类比（2）中所提出的命题，对于等比数列，请你写出相应的命题，并给予证明.解：（1）命题“在等差数列中，若，则有（）”正确.证明：设等差数列的首项为，公差为，由得:=，所以命题成立. （4分）（2）解法一：在等差数列中，若，则有（）.显然，当时为以上某同学的猜想. （7分）证明：设等差数列的首项为，公差为，由得，所以命题成立. （10分）（3）解法一：在等比数列中，若，则
14、有（）.（13分）证明：设等比数列的首项为，公比为，由（）得，所以命题成立.（16分）（2）解法二：在等差数列中，若，且则有（）.显然，当时为某同学的猜想（7分）证明：设等差数列的首项为，公差为，由，且得=，所以命题成立。 （10分）（3）解法二：在等比数列中，若，且，则有（）. （13分）证明：设等比数列的首项为，公比为，由，且得，=，所以命题成立. （16分）得到以下一般命题不得分（）：（1）在等差数列中，若，则有.类比：在等比数列中，若，则有.（2）在等差数列中，若，则有.类比：在等比数列中，若，则有.（3）在等差数列中若,则有.类比：在等比数列中，若，则有.（4）在等差数列中，若，则有
15、.类比：在等比数列中，若，则有.23.（本题满分18分）第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分8分已知椭圆的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为、，抛物线的准线与轴交于，椭圆与抛物线的一个交点为.（1）当时，求椭圆的方程；（2）在（1）的条件下，直线过焦点，与抛物线交于两点，若弦长等于的周长，求直线的方程；（3）由抛物线弧和椭圆弧（）合成的曲线叫“抛椭圆”,是否存在以原点为直角顶点，另两个顶点落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形，若存在，求出两直角边所在直线的斜率；若不存在，说明理由.解：（1）设椭圆的实半轴长为a,短半轴长为b，半焦距为c,当=1时，由题意得，a=2c=2, 所以椭圆的方程
16、为.（4分）（2）依题意知直线的斜率存在，设，由得，由直线与抛物线有两个交点，可知.设，由韦达定理得，则（6分）又的周长为，所以， （8分）解得，从而可得直线的方程为 （10分）（3）由题意得，“抛椭圆”由抛物线弧和椭圆弧合成，且、。假设存在为等腰直角三角形，由所在曲线的位置做如下3种情况讨论：当同时在抛物线弧上时，由、的斜率分别为，比为钝角，显然与题设矛盾. 此时不存在 （12分） 当同时在椭圆弧上时，由椭圆与等腰直角三角形的对称性知，则两直角边关于x轴对称.即直线的斜率为1，直线的斜率为，得符合题意；此时存在（15分） 不妨设当在抛物线弧上，在椭圆弧上时，于是设直线的方程为（其中），将其代入得；由，直线的方程为，同理代入椭圆弧方程得,由得,解得与矛盾，此时不存在。因此，存在以原点为直角顶点，另两个顶点落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形，两直角边所在直线的斜率分别为1和.（18分）第 12 页 共 12 页
