1、无锡市普通高中2017年秋学期高三期终调研考试试卷数学一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.）1. 已知集合，若，则实数_【答案】3【解析】 ,故 2. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数_【答案】6【解析】 为纯虚数，故 3. 某高中共有学生2800人，其中高一年级960人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为_【答案】47【解析】由已知，高二年级人数为 ，采用分层抽样的方法 ，则抽取高二的人数为 .4. 已知，直线，则直线的概率为_【答案】【解析】由已知 ，若直线 与直线 垂直，
2、则 ，使直线的 ，故直线的概率 5. 根据如图所示的伪代码，当输入的值为3时，最后输出的的值为_【答案】21【解析】由图中的伪代码逐步运算：，;是，,，;是，,，;是，,，;否，输出。6. 直三棱柱中，已知，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_【答案】【解析】是直三棱柱， ，又三棱柱的所有顶点都在同一球面上， 是球的直径， ； ， ， ；故该球的表面积为 7. 已知变量满足，目标函数的最小值为5，则的值为_【答案】5【解析】如图 为满足条件的可行域，由得，当直线 过点 时 有最小值5，此时 ，解得坐标为 ，代入 得 .【点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：1.
3、在坐标系中作出可行域；2.根据目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；3. 确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从面确定最优解；4.求最值：将最解代入目标函数即可求最大值与最小值.8. 函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则_【答案】【解析】平移后的函数的解析式为 ，此时图像与函数 的图像重合，故, 即 .9. 已知等比数列满足，且，成等差数列，则的最大值为_【答案】1024【解析】由已知得； 当 或 时得最大值 .【点睛】本题有以下几个关键之处：1.利用方程思想求得首项和公比，进而求得通项；2.利用转化化归思想将问题转化为二次函数最值问题；3.本题易错点是忽视 的取
4、值是整数，而误取 .10. 过圆内一点作两条相互垂直的弦和，且，则四边形的面积为_【答案】19【解析】根据题意画出上图，连接 ，过 作 ， ， 为 的中点， 为 的中点，又 ， ，四边形 为正方形，由圆的方程得到圆心，半径 ， 【点睛】本题的关键点有以下：1.利用数形结合法作辅助线构造正方形；2.利用勾股定理求解.11. 已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为_【答案】8【解析】由已知， ， ； 又双曲线与椭圆焦点重合，离心率互为倒数， ，则双曲线 ； 在右支上 ，根据双曲线的定义有 ， ，故的最小值为 .【点睛】解答本题有3个关
5、键步骤：1、利用双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数求出曲线方程；2、利用双曲线定义求出；3、将代入整理后再利用基本不等式求出最小值.12. 在平行四边形中，为的中点，为平面内一点，若，则_【答案】6【解析】13. 已知函数 ，.若存在，使得，则实数的取值范围是_【答案】【解析】当 时， 在 恒成立在 为减函数 ，当 时 ；当 时， .综上，欲使成立需： .【点睛】本题的解题关键是利用导数工具和函数的单调性取得函数，再利用图像的对称原原理将问题转化为，从而求得正解.14. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由已知可得 ，当 时， 要使得原命题成立需： ；当 时， 要
6、使得原命题成立需：.综上 .二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 如图，是菱形，平面，.（1）求证：平面；（2）求证：平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析.试题解析：（1）证明：因为平面，所以.因为是菱形，所以，因为所以平面.（2）证明：设，取中点，连结，所以，且.因为，所以且，从而四边形是平行四边形，.因为平面，平面，所以平面，即平面.16. 在中，角的对边分别为，.（1）求的值；（2）若，求的周长.【答案】（1）.（2）15.【解析】试题分析：（1）由三角形内角关系结合两角和与差公式有，所以根据已知条件求出即可求出 . （2）根据正弦
7、定理结合，即可求出 的值，再利用余弦定理，求出 的值.试题解析：（1）因为，所以.在中，因为，所以，因为，所以，所以.（2）根据正弦定理，所以，又，所以，.，.所以的周长为15.17. 如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：（1）利用扇形弧长公式求出 ，利用直角三角形边角关系求出 ，则总
8、长为 ，求出 为减函数，命题得证.（2）设单位成本为 ，则总成本为，求出，求出，分两区间 讨论的单调性，以证明为极小值点.试题解析：（1）由题意，所以，又，所以观光专线的总长度 ，因为当时，所以在上单调递减，即观光专线的总长度随的增大而减小.（2）设翻新道路的单位成本为，则总成本 ，令，得，因为，所以，当时，当时，.所以，当时，最小.答：当时，观光专线的修建总成本最低.【点睛】在一定条件下“成本最低”、“用料最省”、“面积最大”、“效率最高“等问题，在生产、生活中经常遇到，在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外，还可用求导法求函数的最值，但无论采取何种方法都必须在
9、函数的定义域内进行.18. 已知椭圆的离心率为，分别为左，右焦点，分别为左，右顶点，原点到直线的距离为.设点在第一象限，且轴，连接交椭圆于点.（1）求椭圆的方程；（2）若三角形的面积等于四边形的面积，求直线的方程；（3）求过点的圆方程（结果用表示）.【答案】（1）.（2）.（3） .【解析】试题分析：（1）由离心率为，得，利用 两点坐标可得的方程为，由圆心到时直线的距离公式求得，则.（2）设，由 两点的坐标可得直线 的方程，与椭圆的方程联立可得 的坐标（ 的横、纵坐标分别是 的高），代入三角形的面积公式结合面积相等的条件即得关于 的方程求出 ，最后再将代入PA方程即可得所求. （3）所求圆的圆
10、心为 的垂直平分线的交点，利用 三点的坐标即可得的垂直平分线的方程，两个方程联立即可求得圆心的坐标，再代入圆的标准方程即可得所求. 试题解析：（1）因为椭圆的，所以，所以直线的方程为，又到直线的距离为，所以，所以，所以椭圆的方程为.（2）设，直线的方程为，由，整理得，解得：，则点的坐标是，因为三角形的面积等于四边形的面积，所以三角形的面积等于三角形的面积，则，解得.所以直线的方程为.（3）因为，所以的垂直平分线，的垂直平分线为，所以过三点的圆的圆心为，则过三点的圆方程为 ，即所求圆方程为 .19. 已知数列满足，是数列的前项的和.（1）求数列的通项公式；（2）若，成等差数列，18，成等比数列，
11、求正整数的值；（3）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）.（2），.（3）或14.【解析】试题分析：（1）当时，当时，由 列是首项为2，公差为1的等差数列 .（2）建立方程组，或.当 ，当 无正整数解，综上，.（3）假设存在正整数，使得， ，或，（舍去） 或14.试题解析：（1）因为，所以当时，当时，由 和，两式相除可得，即所以，数列是首项为2，公差为1的等差数列.于是，.（2）因为，30，成等差数列，18，成等比数列，所以，于是，或.当时，解得，当时，无正整数解，所以，.（3）假设存在满足条件的正整数，使得，则，平方并化简得，则，所
12、以，或，或，解得：，或，或，（舍去），综上所述，或14.20. 已知函数，其中.（1）求过点和函数的图像相切的直线方程；（2）若对任意，有恒成立，求的取值范围；（3）若存在唯一的整数，使得，求的取值范围.【答案】（1），.（2）.（3）.【解析】试题分析：（1）先设切点为，切线斜率为，再建立切线方程为，将代入方程可得，即，进而求得切线方程为：或.（2）将问题转化为对任意有恒成立，当时，利用导数工具求得，故此时；当时，恒成立，故此时；当时，利用导数工具求得，故此时.综上：.（3）因为，由（2）知，当，原命题等价于存在唯一的整数成立，利用导数工具求得；当，原命题等价于存在唯一的整数成立，利用导数工
13、具求得.综上：.试题解析：（1）设切点为，则切线斜率为，所以切线方程为，因为切线过，所以，化简得，解得.当时，切线方程为，当时，切线方程为.（2）由题意，对任意有恒成立，当时，令，则，令得，故此时.当时，恒成立，故此时.当时，令，故此时.综上：.（3）因为，即，由（2）知，令，则当，存在唯一的整数使得，等价于存在唯一的整数成立，因为最大，所以当时，至少有两个整数成立，所以.当，存在唯一的整数使得，等价于存在唯一的整数成立，因为最小，且，所以当时，至少有两个整数成立，所以当时，没有整数成立，所有.综上：.数学（加试题）说明：解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21. 选修4-2：矩阵与变换
14、已知矩阵，若矩阵属于特征值的一个特征向量为 ，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.【答案】.【解析】试题分析：先由和求得和求得，从而求得，可得.试题解析：由矩阵属于特征值的一个特征向量为可得，即；得，由矩阵属于特征值的一个特征向量为，可得 ，即；得，解得.即，22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆的极坐标方程是，且直线与圆相交，求实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：由，得的方程为，求出圆心 半径 ；由的参数方程得 ；与圆相交,则圆心到直线 的距离 ，即可得.试题解析：由，得，所以，即圆的方程为，
15、又由，消，得，由直线与圆相交，所以，即.【点睛】已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离 与半径 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围.23. 某公司有四辆汽车，其中车的车牌尾号为0，两辆车的车牌尾号为6，车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车.已知两辆汽车每天出车的概率为，两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相互独立的.该公司所在地区汽车限行规定如下：（1）求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率；（2）设表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求的分布列和数学期望.【答案】（1）.（2）见解析.试题解析：（1）记该公司
16、在星期四至少有两辆汽车出车为事件，则：该公司在星期四最多有一辆汽车出车 .答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为.（2）由题意，的可能值为0，1，2，3，4； ； ； ；.答：的数学期望为.【点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥人事件的和；二是先求对立事件的概率，进而求所求事件的概率，本题词的第（1）题采用的是法二.24. 在四棱锥中，是等边三角形，底面是直角梯形，是线段的中点，底面，已知.（1）求二面角的正弦值；（2）试在平面上找一点，使得平面.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）为坐标原点，建立空间直角坐标系，即可得到 各点的坐标及平面的法向量为，并求得，进而求出平面的法向量为，即可求出，最后求出.（2）设，根据平面法向量定义得，即， ,再利用 建立方程求得，进而求得点的坐标.试题解析：（1）因为底面，过作，则，以为坐标原点，方向为轴的正半轴，方向为轴的正半轴，方向为轴的正半轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，解得，又平面的法向量为，所以，所以.（2）设点的坐标为，因为平面，所以，即，也即，又，所以 ，所以得，即，所以，所以点的坐标为.
