1、从勾股定理寻找勾股数指导教师：崔兆玉摘要：通过认识勾股定理，列举能够构成勾股定理的常见勾股数组，并逐步讨论满足勾股定理条件的勾股数的构造方法，从简单的倍数关系到奇偶性讨论，最后从完全平方公式探寻特殊的勾股数。关键词：勾股定理、勾股数、自然数、奇偶性 我在奥数培训班上学到了勾股定理，觉得非常神奇！勾股定理表示了直角三角形三条边的数量关系的一个特性：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么。 我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三、股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四
2、、弦五”。它被记载于我国古代数学著作周髀算经中。在国外，相传两千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。在自然数里，我们容易找到常见的满足勾股定理的勾股数组，简称勾股数，详见表1。 表1 最常见的勾股数组表编号自然数（勾）自然数（股）自然数（弦）134525121336810481517572425 美国哥伦比亚大学普林顿收藏馆收藏了一块很奇怪的巴比伦泥板。泥板上有三列文字，直到1945年之前没有人能解释它，后来学者们经过细心研究才发现，它们竟然是15组勾股数！古人如此着迷勾股数，那么它们之间有什么规律吗？如何寻找到更多的勾股数呢？ 下面我
3、们来逐步分析探索一下： 从倍数关系寻找勾股数。按照表1不难发现，从最常见的勾股数乘以给定的倍数，所得结果还是勾股数，如表2所示。 表2 倍数关系的勾股数组表编号勾股数2倍3倍k倍13，4，56，8，109，12，153k，4k，5k25，12，1310，24，2615，36，395k，12k，13k38，15，1716，30，3424，45，518k，15k，17k 从奇偶性寻找勾股数从表2看到，每一组勾股数里至少都有一个偶数，这个结论对于任何勾股数都成立吗？答案显然是成立的，因为假设勾股数均为奇数，根据勾股定理，等式左边是两个奇数之和为偶数，等式右边是奇数，这与假设矛盾。那么从奇偶性方面得到
4、启发，我们不妨分奇数和偶数两方面讨论并寻找更多的勾股数。根据上面的结果，我们找到了奇数的勾股数构造规律：将奇数的平方数分解为两个连续自然数之和。按此规律构造的勾股数如表3所示。 表3 奇数规律的勾股数组表编号奇数（勾）自然数（股）自然数（弦）分解13453*3=4+52512135*5=12+133724257*7=24+254940419*9=40+41511606111*11=60+61根据上面的结果，我们找到了偶数的勾股数构造规律：将偶数除以2的商的平方数分解为相差2的两个自然数之和。按此规律构造的勾股数如表4所示。 表4 偶数规律的勾股数组表编号偶数（勾）自然数（股）自然数（弦）分解1
5、68103*3-1，3*3+12815174*4-1，4*4+131024265*5-1，5*5+141235376*6-1，6*6+151448507*7-1，7*7+1综合上面奇偶数的勾股数构造方法，如果补充上特殊的两种情况：和，我们找到了勾或股取任意自然数的勾股数组的一种简单构造方法。然而，除了上述的方法，对于勾股数是否还有其他的构造方法？或者说，通过上述方法寻找到全部的勾股数组了吗？答案是否定的，因为可以找到反例，它不能由前述的方法构造出来。 从完全平方公式寻找更多勾股数从表2看到，每一组勾股数里至少都有一个偶数，而且通过观察，偶数也出现在勾或股中，基于这个观察，我们借助完全平方公式来配方得到更多的勾股数。根据上面的结果，我们找到了构造更多勾股数的规律：。按此规律构造出更多特殊的勾股数，如表5所示。 表5 更多特殊的勾股数组表编号自然数（勾）自然数（股）自然数（弦）m，n取值12021295，222845537，233356657，443677859，256572979，4参考文献1. 北京师范大学出版社. 数学（八年级 上册）. 2006.2. 百度百科. 勾股数. http:/ 2012.4/4
