1、2014年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2014辽宁）已知全集U=R，A=x|x0，B=x|x1，则集合U（AB）=（）Ax|x0Bx|x1Cx|0x1Dx|0x12（5分）（2014辽宁）设复数z满足（z2i）（2i）=5，则z=（）A2+3iB23iC3+2iD32i3（5分）（2014辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（）AabcBacbCcabDcba4（5分）（2014辽宁）已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，
2、mn，则nD若m，mn，则n5（5分）（2014辽宁）设，是非零向量，已知命题p：若=0，=0，则=0；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（）ApqBpqC（p）（q）Dp（q）6（5分）（2014辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A144B120C72D247（5分）（2014辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A82B8C8D88（5分）（2014辽宁）设等差数列an的公差为d，若数列为递减数列，则（）Ad0Bd0Ca1d0Da1d09（5分）（2014辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A在
3、区间，上单调递减B在区间，上单调递增C在区间，上单调递减D在区间，上单调递增10（5分）（2014辽宁）已知点A（2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）ABCD11（5分）（2014辽宁）当x2，1时，不等式ax3x2+4x+30恒成立，则实数a的取值范围是（）A5，3B6，C6，2D4，312（5分）（2014辽宁）已知定义在0，1上的函数f（x）满足：f（0）=f（1）=0；对所有x，y0，1，且xy，有|f（x）f（y）|xy|若对所有x，y0，1，|f（x）f（y）|k恒成立，则k的最小值为（）ABCD二、
4、填空题：本大题共4小题，每小题5分。考生根据要求作答13（5分）（2014辽宁）执行如图的程序框图，若输入x=9，则输出y=_14（5分）（2014辽宁）正方形的四个顶点A（1，1），B（1，1），C（1，1），D（1，1）分别在抛物线y=x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是_15（5分）（2014辽宁）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=_16（5分）（2014辽宁）对于c0，当非零实数a，b满足4a22ab+4b2c=0且使|2a+b|最大时，
5、+的最小值为_三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）（2014辽宁）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且ac，已知=2，cosB=，b=3，求：（）a和c的值；（）cos（BC）的值18（12分）（2014辽宁）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立（）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）19（12
6、分）（2014辽宁）如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2ABC=DBC=120，E、F分别为AC、DC的中点（）求证：EFBC；（）求二面角EBFC的正弦值20（12分）（2014辽宁）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C1：=1过点P且离心率为（）求C1的方程；（）若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程21（12分）（2014辽宁）已知函数f（x）=（cosxx）（+2x）（sinx+1）g（x）=3（x）cos
7、x4（1+sinx）ln（3）证明：（）存在唯一x0（0，），使f（x0）=0；（）存在唯一x1（，），使g（x1）=0，且对（）中的x0，有x0+x1四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑选修4-1：几何证明选讲.22（10分）（2014辽宁）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F（）求证：AB为圆的直径；（）若AC=BD，求证：AB=ED选修4-4：坐标系与参数方程23（2014辽宁）将圆x2+y2=1上每
8、一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C（）写出C的参数方程；（）设直线l：2x+y2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程不等式选讲24（2014辽宁）设函数f（x）=2|x1|+x1，g（x）=16x28x+1记f（x）1的解集为M，g（x）4的解集为N（）求M；（）当xMN时，证明：x2f（x）+xf（x）22014年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。考生根据要求作答13（5分）（2014辽宁）执行如图的程序框图，若输入x=9，则输出y=1
9、4（5分）（2014辽宁）正方形的四个顶点A（1，1），B（1，1），C（1，1），D（1，1）分别在抛物线y=x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是15（5分）（2014辽宁）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=1216（5分）（2014辽宁）对于c0，当非零实数a，b满足4a22ab+4b2c=0且使|2a+b|最大时，+的最小值为2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）（2014辽宁）在ABC中，内角A、B、C的对边分
10、别为a，b，c，且ac，已知=2，cosB=，b=3，求：（）a和c的值；（）cos（BC）的值解答：解：（）=2，cosB=，cacosB=2，即ac=6，b=3，由余弦定理得：b2=a2+c22accosB，即9=a2+c24，a2+c2=13，联立得：a=3，c=2；（）在ABC中，sinB=，由正弦定理=得：sinC=sinB=，a=bc，C为锐角，cosC=，则cos（BC）=cosBcosC+sinBsinC=+=18（12分）（2014辽宁）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立（
11、）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）解答：解：（）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P（A1）=（0.006+0.004+0.002）50=0.6，P（A2）=0.00350=0.15，P（B）=0.60.60.152=0.108，（）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：，随机变量X的分
12、布列为因为XB（3，0.6），所以期望E（X）=30.6=1.8，方差D（X）=30.6（10.6）=0.7219（12分）（2014辽宁）如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2ABC=DBC=120，E、F分别为AC、DC的中点（）求证：EFBC；（）求二面角EBFC的正弦值解答：（）证明：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B（0，0，0），A（0，1，），D（，1，0），C（0，2，0），因而E（0，），F（，0），所以=（，0，），=（0，2
13、，0），因此=0，所以EFBC（）解：在图中，设平面BFC的一个法向量=（0，0，1），平面BEF的法向量=（x，y，z），又=（，0），=（0，），由得其中一个=（1，1），设二面角EBFC的大小为，由题意知为锐角，则cos=|cos，|=|=，因此sin=，即所求二面角正弦值为20（12分）（2014辽宁）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C1：=1过点P且离心率为（）求C1的方程；（）若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程解答：解：
14、（）设切点P（x0，y0），（x00，y00），则切线的斜率为，可得切线的方程为，化为x0x+y0y=4令x=0，可得；令y=0，可得切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形的面积S=4=，当且仅当时取等号此时P由题意可得，解得a2=1，b2=2故双曲线C1的方程为（）由（）可知双曲线C1的焦点（，0），即为椭圆C2的焦点可设椭圆C2的方程为（b10）把P代入可得，解得=3，因此椭圆C2的方程为由题意可设直线l的方程为x=my+，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为，x1+x2=，x1x2=，+，解得m=或m=，因此直线l的方程为：或21（12分）（2014辽宁）已知函数f（x）=
15、（cosxx）（+2x）（sinx+1）g（x）=3（x）cosx4（1+sinx）ln（3）证明：（）存在唯一x0（0，），使f（x0）=0；（）存在唯一x1（，），使g（x1）=0，且对（）中的x0，有x0+x1解答：证明：（）当x（0，）时，f（x）=（1+sinx）（+2x）2xcosx0，函数f（x）在（0，）上为减函数，又f（0）=0，f（）=20；存在唯一的x0（0，），使f（x0）=0；（）考虑函数h（x）=4ln（3x），x，令t=x，则x，时，t0，记u（t）=h（t）=4ln（1+t），则u（t）=，由（）得，当t（0，x0）时，u（t）0；在（0，x0）上u（x）是增函
16、数，又u（0）=0，当t（，x0时，u（t）0，u（t）在（0，x0上无零点；在（x0，）上u（t）是减函数，由u（x0）0，u（）=4ln20，存在唯一的t1（x0，），使u（t1）=0；存在唯一的t1（0，），使u（t1）=0；存在唯一的x1=t1（，），使h（x1）=h（t1）=u（t1）=0；当x（，）时，1+sinx0，g（x）=（1+sinx）h（x）与h（x）有相同的零点，存在唯一的x1（，），使g（x1）=0，x1=t1，t1x0，x0+x1四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂
17、黑选修4-1：几何证明选讲.22（10分）（2014辽宁）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F（）求证：AB为圆的直径；（）若AC=BD，求证：AB=ED解答：证明：（）PG=PD，PDG=PGD，PD为切线，PDA=DBA，PGD=EGA，DBA=EGA，DBA+BAD=EGA+BDA，NDA=PFA，AFEP，PFA=90BDA=90，AB为圆的直径；（）连接BC，DC，则AB为圆的直径，BDA=ACB=90，在RtBDA与RtACB中，AB=BA，AC=BD，RtBDARtACB，DAB=CBA，DCB
18、=DAB，DCB=CBA，DCAB，ABEP，DCEP，DCE为直角，ED为圆的直径，AB为圆的直径，AB=ED选修4-4：坐标系与参数方程23（2014辽宁）将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C（）写出C的参数方程；（）设直线l：2x+y2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程解答：解：（）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，x2+=1，即曲线C的方程为 x2+=1，化为参数方程为 （02，为参数）（）由，可得 ，不妨设P1（1，
19、0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y1=（x），即x2y+=0再根据x=cos、y=sin 可得所求的直线的极坐标方程为cos2sin+=0，即 =不等式选讲24（2014辽宁）设函数f（x）=2|x1|+x1，g（x）=16x28x+1记f（x）1的解集为M，g（x）4的解集为N（）求M；（）当xMN时，证明：x2f（x）+xf（x）2解答：解：（）由f（x）=2|x1|+x11 可得 ，或 解求得1x，解求得 0x1综上，原不等式的解集为0，（）由g（x）=16x28x+14，求得x，N=，MN=0，当xMN时，f（x）=1x，x2f（x）+xf（x）2 =xf（x）x+f（x）=，故要证的不等式成立
