1、中山大学硕士学位论文光学膜系的最优化设计及其算法Algorithms for Optimal Design of Optical Coatings专 业：计算机技术作 者：陈培武导 师：李 磊 教授论文答辩委员会（签名）主席：委员：二五年五月光学膜系的最优化设计及其算法计算机技术硕士生：陈培武指导教师：李 磊 教授摘 要光学膜系不仅是现代光学仪器与光子学器件的重要组成部分，而且在光通信尤其是波分复用光通信系统中有重要应用。本论文研究光学膜系的最优化设计及其算法，主要包括以下内容与结果：1研究了经典最优化方法中的单纯形方法在光学膜系优化设计上的应用，并计算了具有5层光学薄膜的近红外波段高反膜系以
2、及相当于一个短波通干涉截止滤光器的具有17层光学薄膜的红膜系的优化问题。数值计算结果表明，单纯形最优化方法不仅适用于光学膜系的优化设计问题，且对初始参数的要求并不很苛刻，即使在初始膜系的光谱性质与设计目标相差颇远时仍能得到较好结果。2在标准遗传算法的基础上提出以实数编码的整体模拟退火遗传算法，并实现了其计算机程序。该算法同时具有实数编码的简易性与整体模拟退火遗传算法的全局快速收敛性等优点，是求解全局最优化问题的一种有效方法。以该算法成功优化了在波长4001100 nm范围内高透的一个光学膜系，验证了其对于光学膜系优化设计问题的有效性。3实现了以Needle方法自动合成设计光学膜系的计算机程序，
3、并从简单的膜系结构出发，合成设计了在可见光波长范围内减反的一个光学膜系，证明了该方法及其程序的有效性；讨论了Needle方法的优越性与局限性及其改进方法。本论文所研究的算法与所实现的计算机程序，有助于在理论上研究和优化设计光学膜系从而为在实验上制备和应用光学膜系提供依据。关键词: 最优化设计、光学膜系、单纯形方法、遗传算法、Needle方法、计算机程序、光通信、波分复用、滤光器。Algorithms for Optimal Design of Optical CoatingsComputer TechnologyName: Pei-wu ChenSupervisor: Lei Li (Prof
4、essor)AbstractOptical coatings have been found to afford important applications in optical communication, especially in wavelength division multiplexing systems, besides that they are important components of modern optical equipments and photonic devices. Algorithms for optimal design of optical coa
5、tings are studied in the present thesis in which are included the brief contents and results as follows.1. Simplex method, as one of the most classic optimal methods, is studied and applied to optimize optical coatings, such as a 5-layer high reflecting coating within near infrared band and a 17-lay
6、er red coating equivalent to a high-pass interference filter in short wave band. The numerical results show that simplex method is suitable for optimal problems of optical coatings, and that it is not too rigorous for the initial parameters even when the initial coatings are quite different from the
7、 targets in spectroscopic properties.2. A whole simulated annealing genetic algorithm with real number encoding is proposed on the base of the standard genetic algorithm, and the computer program has been realized. As an effective method for global optimization problems, the algorithm simultaneously
8、 inherits the simpleness of real number encoding and the rapid global astringency of the whole simulated annealing genetic algorithm. The algorithm is applied to successfully optimize a high-pass coating within a wavelength range of 400-1100 nm, and proves to be effective in optimal design of optica
9、l coatings.3. A computer program based on Needle method has been realized for automatic synthesis of optical coatings. Synthetic design of a reducing reflection coating in the visible wavelength range is performed initially from a simple coating structure, and exhibits the effectiveness of Needle me
10、thod and the program. The advantages and limits of Needle method are also discussed, and some improving methods are suggested.The algorithms and computer programs studied in this thesis are useful in theoretically investigating and optimizing optical coatings, and thus also in providing evidence for
11、 experimental fabrication and application of optical coatings.Keywords: optimal design, optical coatings, simplex method, genetic algorithm, Needle method, computer programs, optical communication, wavelength division multiplexing, filters.目 录摘要 (2)Abstract (3)第1章 引言 (6)1.1 光通信的发展现状 (6)1.2 波分复用技术 (7
12、)1.3 光学薄膜型波分复用器件 (9)1.4 光学薄膜技术 (10)1.5 本论文的研究目的与内容 (13)第2章 光学膜系最优化设计的基本原理 (14)2.1 膜系的光学性质及其计算方法 (14)2.2 光学膜系优化设计的基本原理 (24)2.3 关于最优化方法 (25)第3章 光学膜系优化设计的单纯形方法 (27)3.1 单纯形方法的基本原理 (27)3.2 算法与程序流程 (29)3.3 计算实例与讨论 (32)3.4 小结 (37)第4章 以实数编码的整体模拟退火遗传算法优化设计光学膜系 (38)4.1 遗传算法的基本原理 (38)4.2 基于实数编码的整体模拟退火遗传算法 (39)
13、4.3 程序实现 (43)4.4 计算实例与讨论 (43)4.5 小结 (46)第5章 光学膜系自动合成设计的Needle方法 (47)5.1 Needle方法的基本原理 (47)5.2 程序实现 (52)5.3 计算实例与讨论 (53)5.4 小结 (55)第6章 总结与展望 (56)参考文献 (58)附录A：单纯形方法优化光学膜系程序 (61)附录B：实数编码整体模拟退火遗传算法优化光学膜系程序 (68)附录C：Needle方法自动合成设计光学膜系程序 (72)致谢 (80)原创性声明 (81)第1章 引 言1.1 光通信的发展现状随着计算机技术的广泛应用与互联网的高速发展，从传统文档的存
14、取与传递、工业自动化与CAD/CAM的推广、医用图像的检索、传媒与娱乐业的多媒体文件处理和传递、电子商务的日益普及，乃至军事信息技术的应用等等，都需要通过通用或专线通信网络来快速传输数据，特别是传输包含图像数据的多媒体文件所要求的带宽比传统的语音传输要大得多，因此对通信网络的带宽、可靠性和抗干扰性都提出了越来越高的要求，而网络通信技术的发展反过来又促使世界通信业发生了重大的变革。据统计，语音传输的发展速率大概是年增长率35，而数据传输的年增长速率则高至3050。目前发展最快、应用最广的通信网络技术是光纤网络技术，它可以提供低价格、高带宽的网络服务以满足互联网数据传输的要求。现在，数据通信量的增
15、长已超过了主干网容量的增长，许多主干网建设商的光缆利用率几乎达到1001。光纤技术应用于通信已经过了近30年的发展历史，迄今已有第四代光纤通信网投入使用。与传统的电缆、无线电等通信介质或方式相比，光纤传输具有信息容量大、中继距离长、不受电磁干扰、保密性能好和使用轻便等明显的优点。可通过粗略估算单根光纤的带宽看出光通信与传统的电通信的巨大差异：当光纤去除掉波长1.385 mm处水中OH- 根离子的吸收峰后，从1.2601.625 mm波长范围内共有365 nm带宽的资源，按对应频率宽度10估算，单根光纤大致有50 THz的带宽，假定50 THz带宽可以提供1000个波长的信道，每个波长带宽为40
16、 GB/s，则每根光纤总带宽可高达40 TB/s。显然，这是传统的电通信所远远无法达到的。光纤传输为解决通信带宽瓶颈问题提供了出路。随着其制造技术的进步，光纤与其它光学器件的价格逐年下降，应用范围也不断扩展。光纤传输不仅在高速率、长距离的骨干网上得到了广泛应用，而且在终端用户接入网方面的应用也逐年扩大2。光纤通信产业方兴未艾，其旺盛的生命力令人振奋。但是，随着网络通信量的急速增长，连接网络的光纤的传输容量也随着急剧暴涨。面对带宽要求的不断提高，如何在一根光纤上传输更大的带宽是需要迫切解决的问题。解决办法之一是提高字节传输率。应用“时分复用(Time Division Multiplex，略为T
17、DM)技术”，目前已达到的字节传输率为2.5 GB/s (OC-48)与10 GB/s (OC-192)，最新的进展是40 GB/s (OC-768)。但是，随着速度的提高，电子线路的复杂程度、投资费用以及维护费用也相应增长。同时，还存在光纤色散、偏振色散以及非线性效应等光学现象的限制。尽管时分复用技术是提高字节传输率的有效方法，但它也明显存在缺点：由于是分时地提取每个信道的信号，即使某一路没有信号变化也要等待，因而效率不高。虽然这已通过异步传输模式(Asynchronous Transfer Mode，略为ATM)得到一定程度的改进，但是ATM的速度照样也受到电子速度的限制3。提高光纤传输带
18、宽的另一种效率更高的方法为“波分复用(Wavelength Division Multiplex，略为WDM)技术”，是通过在一根光纤内传输不同波长的信号而实现带宽的提高的。应用WDM技术后，可以提高带宽至少1632倍。WDM技术的典型情形是在同一根光纤内传输40个不同波长(最高可达到128160个波长)的信号4。1.2 波分复用技术波分复用(WDM)技术的基本思路是，在一根光纤上同时传输多个光源信号，而这些信号的发送波长是适当错开的，以此达到增大光纤通信系统的信息传输容量的目的。二十世纪八十年代末期，早期的波分复用技术采用1.310 mm和1.550 mm两个波长(或0.850 mm和1.3
19、10 mm)进行波分复用(Wideband WDM)。九十年代早期实现了28个波长的波分复用(Narrowband WDM)，其波长间隔现在在1.550 mm窗口处大概是400 GHz。九十年代中期，密集波分复用(Dense WDM，即DWDM)系统可传输1640个波长，信号间隔为100200 GHz。至九十年代末期，波长信道更增加到64160个，信号间隔达到50 GHz甚至是25 GHz4。图1-1是骨干网中波分复用系统的简要示意图5。通过串置不同中心波长的单通道滤光片，可以在WDM系统的解复用端(WDM Demux)，将同一条光纤中的不同的波长从其所对应的通道中输出。根据光路可逆性原理，单
20、通道滤光片的串置结构也可实现在复用端(WDM Mux)把不同波长耦合进同一条光纤。WDM中的分波、合波过程如图1-2所示6。图1-1 波分复用WDM系统示意图图1-2 波分复用WDM的分波与合波示意图为提高信息系统的数据传输量，降低系统成本，节约光纤的铺设投资和设备，近年来新发展的波分复用技术，使光通信系统向二维的方向发展，这种新的WDM技术又称单纤多端(双向)技术，即在同一根光纤内传输不同频率的上行与下行光波。图1-3为一个单纤双向WDM系统的结构示意图7，其中，上行信号利用1.310 mm光载波，下行信号使用1.550 mm光载波。光通信网络的未来发展趋势是全光网络。全光网络是指用户与用户
21、之间的信号传输和交换过程全部采用光技术，即数据从源节点至目的节点的传输过程都是在光域内进行的。在全光网络中，无需对信号进行电处理，因此允许存在各种不同的协议和编码形式，信号的传输具有透明性。全光网络还具有大带宽、高可靠性与低成本等显著优势。全光网络的核心技术是密集波分复用(DWDM)、光交叉连接(OXC)与光分插复用(OADM)技术8。图1-3 波分单纤双向WDM系统结构示意图1.3 光学薄膜型波分复用器件在WDM网络中，实现分波、合波、耦合、分路和光分插等功能的器件主要有光纤布拉格光栅(Fiber Bragg Grating)、阵列波导光栅(Array Wave Guide)以及薄膜滤光片(
22、Thin Film Filter)等三种9。其中，光纤Bragg光栅具有滤波形状良好的优点，当使用带通滤波器时具有高隔绝、低插损等良好的光学特性，而且投资成本低，但需要光环型器或马赫-曾特尔(Mach-Zehnder)干涉仪，不适合于宽频带的应用，成本上受限于频道数；阵列波导光栅具有发展高密度频道间隔的短制作时间、高频道数及大小压缩的相对低插损、整合其他功能的潜力以及成本上不受限于频道数等优点，但其滤波形状差、非相邻频道杂讯高、易受温度影响以及投资成本高等缺点；薄膜滤光片具有频道数与不规则波长的可选择弹性，具有高隔绝、低插损与良好的偏振效应等光学特性，温度稳定性好，是宽频带应用的唯一选择，但需
23、要较长的时间发展以需要高密度频道间隔的滤波器，成本也取决于频道数。目前，在WDM网络中真正大量使用的是光学介质薄膜型器件。这主要是因为薄膜滤光片本身具有良好的光学性能、较高的稳定性以及低廉的生产成本等优点。介质薄膜滤波器型WDM器件是由介质薄膜滤光片与微光学元件以及尾纤组装在一起构成的，其核心部件是介质薄膜滤光片，后者的作用是允许一个特定通道波长的光波透过而同时反射其他波长的光波。这种器件一般具有很好的温度稳定性(温度系数 0.002 nm/)，对偏振特性不敏感，且插入损耗低10。基于薄膜滤光片的光学器件的用途包括多信道复用与解复用器以及光分插复用器上的应用，导引和处理光信号，以及在增益平坦、
24、频带分割、C通道和L通道的分离以及泵浦光的合波等方面的广泛应用。光学薄膜元器件由于可很好地解决中心波长漂移的问题，插损小、封装易、隔离度高，以及性能价格比优越，已广泛应用于光通信领域，尤其是在100 GHz与200 GHz密集波分复用系统市场。现在，光通信的分波、合波、光放大、色散和非线性克服技术、节点技术(即光OXC与OADM技术)、网络监测，以及控制和管理技术等均已离不开光学薄膜技术11。而且，利用光学薄膜技术可以极大改善用于光通信的一些光无源器件的性能，如自聚焦透镜、薄膜起偏分束器、热扩束光纤光隔离器，以及光纤尾纤、光纤耦合透镜、光隔离器、位相延迟片与用于光环形器的小尺寸偏振分光棱镜等等
25、的镀膜。另外值得一提的是，在最近发展起来的应用于城域网的粗波分复用(CWDM, Coarse WDM)网络与应用于骨干网的密集波分复用(DWDM)网络中，薄膜滤光片技术是迄今唯一的具有实用价值的选择。1.4 光学薄膜技术1.4.1 光学薄膜的发展历史与研究现状光学薄膜是现代光学仪器与光学器件的重要组成部分，通过在各种光学材料的表面镀制一层或多层薄膜，利用光的干涉效应来改变透射光或反射光的光强、偏振状态和相位变化。光学薄膜可以镀制在光学塑料、光纤、光学玻璃和晶体等各种材料表面，其厚度一般为几个nm (10-9 m)到几十甚至上百个 mm(10-6 m)。光学薄膜的牢固性、光学稳定性都可达到相当好
26、的程度，其成本又比较低廉。由于是镀制于光学材料的表面，光学薄膜几乎不增加材料的体积和重量，因此是改变光学仪器与器件的光学性质的首选方法，甚至可以说没有光学薄膜就没有现代的各种光学仪器和光学器件。在200多年的发展过程中，在光学薄膜方面已形成了一套完整的理论，即薄膜光学；同时，也发展了自成体系的膜系设计方法，设计并制造了各类光学薄膜。光学薄膜从功能上可分为减反膜、分光膜、高反膜、截止滤光片和带通滤光片等；从薄膜性质上可分为均匀介质薄膜和非均匀介质薄膜；从应用波段上可分为X射线薄膜、紫外薄膜、可见光薄膜和红外薄膜等等。光学薄膜概念最早萌芽于十七世纪“牛顿(Newton)环”的发现12，1801年的
27、“杨(Young)氏干涉”实验圆满解释了光学薄膜现象。自1899年以来，法布里-珀罗(Fabry-Perot)标准具一直是带通滤光片的基本结构形式。麦克斯韦(Maxwell)出版于1873年的巨著电磁通论13，从理论上和本质上证明了光是电磁波，为波动光学的发展，也为薄膜光学的发展奠定了理论基础。从二十世纪四十年代开始，薄膜光学进入全面发展时期，各种薄膜光学理论和膜系计算方法相继提出。六十年代以后，随着激光技术、光谱学技术和空间技术等的飞速发展，对光学薄膜提出了更高的要求。同时，电子计算机与计算科学的应用，使光学薄膜的计算与分析有了锐利的工具，因此推动了光学薄膜的飞速发展。进入九十年代，光通信技
28、术的迅猛发展与产业化，对光学薄膜的发展起了很大的推动作用，对光学薄膜的设计与制备也提出了越来越高的要求。比如波分复用中的带通滤光片，通带的宽度对一个100 GHz的滤光片而言仅0.4 nm左右，并且矩形滤波要求颇高，同时也对通带内的群延(Group Delay)提出了一定的要求。掺铒光纤放大器的增益补偿滤光片要求在C波段40 nm左右的范围内须达到一特定的透过率曲线，这也是光学薄膜从未遇到过的要求。在数据传输率提高时，比如达到40 GB/s时，色散补偿滤光片的性能显得非常关键。由于高频激光产生的超短脉冲在光学薄膜中引起的瞬态效应，需要新的光学薄膜设计方法，因为此时要求光学薄膜能够提高脉冲的矩形
29、度甚至使得脉冲的频率更高14。总的说，就是要求对膜系光学特性的波长定位更为准确，比如达到1 nm甚至0.1 nm以下，同时也要求薄膜的厚度越来越大，比如一个50 GHz的波分复用滤光片，需要做到光学厚度60 mm以上，而放大器增益补偿滤光片的光学厚度也可达到3040 mm。在光学仪器(器件)和光电设备中，光学薄膜技术是不可缺少的关键技术。在光通信技术中，光学薄膜在改进光链路的耦合效率、补偿器件的色散、减少器件的插入损耗等方面起着重要作用，是波分复用等器件的核心技术。迅猛发展的光通信产业的技术需求，对光学薄膜的设计、制备与测试等方面提出了新挑战。1.4.2 光学薄膜设计方法的发展研究与设计光学薄
30、膜的理论基础是经典电磁场理论。为了便于计算光学薄膜的性质，通常采用特征导纳矩阵方法15，其具体计算过程详见本论文第2章。为使其能实现所指定的功能，光学薄膜系统一般须由折射率不同、几何厚度有严格要求的多层光介质薄膜组成。光学薄膜系的特性计算是一个相对简单的问题，只要给定每一层膜的参数(包括折射率和几何厚度)，便可以很方便地求出薄膜系在每一特定入射角和波长条件下的透过率、反射率等性质。光学膜系的设计是上述计算的逆问题，即根据预定的光谱特性要求，反过来求取组成膜系的每一层薄膜应该选取的折射率和厚度。这一逆问题要比正问题复杂得多，其一是由于可用于光学薄膜制备的材料有限，因而对折射率参数的选择就非常有限
31、；其二由于每一多层膜系统往往是由十多层甚至几十层薄膜所组成的，自变量的数目太多，导致计算量很大，复杂程度很高。最初采用解析法设计光学膜系，主要是应用矢量作图法、等效界面法16、虚设层法、车比雪夫(Chebyshev)多项式法17、对称膜系的等效折射率法18、势透射率诱导19和导纳图解法20等基本的分析手段，对传统的减反射膜、分束镜、高反射镜、干涉截止滤光片、带通滤光片等膜系进行具体的分析和试探，从而设计出符合要求的薄系。这些方法针对性强、效果也比较理想。光学膜系的设计作为一个优化问题来处理，最早是由Baumeister在1958年提出的21。二十世纪七十年代以后，随着计算机技术的迅猛发展以及迅
32、速发展起来的各种数值优化方法的应用，光学薄膜的计算机辅助优化设计越来越受到重视，直至现在已成为最广泛应用的膜系设计方法。一般而言，光学薄膜的计算机辅助设计方法可以分为“精炼(Refinement)”法与“合成(Synthesis)”两大类。从一个或一组初始结构出发，运用各种优化方法进行搜索，对各膜层的折射率和厚度进行优化，从而达到最优解。这即是所谓的“精炼”法，优化问题的大多数经典方法都属于此类，在这类方法中，一般不改变膜系的层数，而只是改变每膜层的参数。相反，在所谓的“合成”法中，不需要问题的初始解，而是以某种方式逐渐增加膜层数，即对膜系进行自动“合成”，使膜系的光学性质达到预定要求。我们在
33、第5章中将介绍的“缝衣针(Needle)”方法便是膜系设计中典型的“合成”方法。实际上，尽管各有长短之处，任何一种数值优化方法都可以应用于光学薄膜的优化设计。模式搜索(Hooke-Jeeves)法、单纯形法、Powell共轭方法、变尺度法(Variable Metrics)等各种局部优化方法22都曾被广泛应用于膜系设计。随着各种全局优化方法的发展，已开始有统计试验法23、模拟退火法24、遗传算法25、进化算法26、拉丁方格(Latin Square)27等各种比较新颖的方法成功应用于膜系设计。光学薄膜的计算机辅助优化设计方法的发展总是与光学薄膜制备技术的发展相辅相成的，在理论上优化得到的薄系结
34、构往往是非l/4(四分之一波长)形式的不规整结构，在工艺技术上需要发展相应的监控技术才能实现制备，而在制备监控过程本身之中如何减小误差也需以优化方法进行分析。因此，今后光学膜系设计的发展趋势可能是一边制备一边优化的一种实时控制系统。1.5 本论文的研究目的与内容鉴于光学膜系设计在光通信尤其是波分复用光通信网络技术中的重要意义，我们开展了光学膜系优化设计方面的研究，具体内容包括：(1) 研究光学膜系设计中若干有代表性的方法的算法，包括“精练”法中典型的最优化方法，单纯形方法与整体模拟退火遗传算法，以及“合成”法中典型的Needle方法，前者属于典型的求解最优化问题的局域最优解的数值方法，后二者属
35、于可得到全局最优解的数值方法；(2) 对上述所研究的各算法实现程序化；(3) 为验证所实现的计算机程序，以实际应用和制备工艺现状为背景，对若干种光学膜系进行优化设计。在本学位论文中，第2章主要介绍计算光学膜系性质的方法以及优化设计光学膜系的基本原理；第3章研究单纯形最优化方法在光学膜系优化设计中的应用；在第4章中，我们在标准的遗传算法的基础上提出一种新的遗传算法，即基于实数编码的整体模拟退火遗传算法，并应用于膜系优化设计；在第5章中，对最近新提出的设计膜系的Needle方法进行程序化，并将其应用于实际的膜系优化设计；第6章为简要的总结与展望。第2章 光学膜系最优化设计的基本原理2.1 膜系的光
36、学性质及其计算方法计算光学膜系的光学性质是优化设计光学膜系的基础。光学膜系的光学性质描述了膜系中电磁波的传播特性，主要包括膜系对电磁波的反射系数(或反射率)、透射系数(或透射率)以及反射与透射电磁波的相位变化等。光本质上是电磁波，研究膜系的光学性质的物理学理论基础是经典电磁理论15。2.1.1 介质中的电磁波在经典电磁理论中，Maxwell方程组描述电磁波在介质中的传播。在Gauss单位制下，Maxwell方程组可表达为28： (2-1a) (2-1b) (2-1c) (2-1d)其中，c为真空中电磁波的传播速率，E为电场强度矢量，H为磁场强度矢量，D为电感应强度(电位移)矢量，B为磁感应强度
37、矢量，为空间自由电荷密度，J为传输电流密度矢量，Jc为位移电流密度矢量， (2-2)同时，在介质中有物质本构方程： (2-3a) (2-3b) (2-3c)其中,与分别为介质的介电常数、磁导率与电导率。在各向同性均匀介质中，,与均为常数。若假设介质为不带电荷的各向同性均匀介质(在光学薄膜中通常如此)，此时，且方程(2-1c)和(2-1d)可得到电场强度E的波动方程： (2-4)上述波动方程有如下平面波解： (2-5a)同理可得到磁场强度H波动方程的平面波解： (2-5b)式(2-5a)或(2-5a)中，为电磁波圆频率(为频率)，为波矢，为波矢方向(电磁波传播方向)上的单位矢量，N为介质的复折射
38、率(或称光学导纳)。若令，并将式(2-5a)代入方程(2-4)，可得到 (2-6)对于不导电介质，此时N为实数，且。这时电磁波为正弦(余弦)波： (2-7)对于导电介质，此时电磁波为衰减的正弦(余弦)波： (2-8)2.1.2 导纳方程由式(2-5a)、(2-1d)、(2-2)与(2-3a)，可得到 (2-9)根据矢量旋度与矢量叉积的定义， (2-10) (2-11)同时利用式(2-9)，我们可以得到 (2-12)式(2-10)与(2-11)中，()为j坐标轴方向上的单位矢量，与分别为波矢方向单位矢量与磁场强度矢量H在j轴方向上的分量。同理，可以得到 (2-13)式(2-12)与(2-13)称
39、为光学导纳方程，在计算光学膜系的光学性质很有用处15。2.1.3 光波在介质界面上的反射与折射在光学膜系中总存在若干介质界面，膜系的光学性质与光波在各介质界面上的反射和折射规律有关。现考虑光波自复折射率为的介质入射到该介质与另一介质(复折射率为)的界面时的反射和折射过程。图2-1 正入射的光波在界面反射与折射示意图N0N1首先讨论光波垂直入射于界面的情形。此时，光波的传播方向垂直于界面，而电场强度矢量E与磁场强度矢量H均平行于截面；在介质中有正向行波(, )与反向行波(,)，在介质中仅有正向行波(,)，如图2-1所示。根据导纳方程(2-13)，有 (2-14a) (2-14b) (2-14c)
40、同时，由于在E与H在切线方向上连续，故有如下边界条件： (2-15a) (2-15b)由式(2-14a)(2-15b)可得到 (2-16)定义反射系数r为反射波振幅与入射波振幅之比，则 (2-17)定义透射系数t为透射波振幅与入射波振幅之比，则 (2-18)而反射率R与透射率T分别为 (2-19) (2-20)其次，讨论光波斜入射于界面的情形。此时，E与H依然在切线方向上连续，但边界条件(2-15a)与(2-15b)不再适用，须考虑入射角以及E与H的极化方向。设E与H的切线分量Et与Ht仍满足如式(2-13)的导纳方程： (2-21)式中称为有效导纳，不仅与导纳N有关，还与入射角以及E与H的极
41、化方向有关。对于E或H，总可以将其分解为入射面内的分量与垂直于入射面的分量。电场极化方向垂直于入射面(此时磁场极化方向在入射面内)的光波称为TE波(横电波)，又称S偏振波或s偏振波(如图2-2a所示)；电场极化方向在入射面内(此时磁场极化方向垂直于入射面)的光波称为TM波(横磁波)，又称P偏振波或p偏图2-2 斜入射TE波(a)与TM波(b)在界面反射和折射示意图N0N1(a)N0N1(b)振波(如图2-2b所示)。可以证明：在界面上反射和折射时，TE波与TM波是相互独立的15,29。若入射光波为TE波，则，(为切线方向上的单位矢量)，相应的导纳方程成为 (2-22)其中为对TE波的有效导纳。若入射光波为TM波，则时，相应的导纳方程成为 (2-23)其中为对TM波的有效导纳。无论是TE波还是TM波，均有如下边界条件： (2-24a) (2-24b)与正入射的情形相似，可得到如下反射系数r与透射系数t的表达式： (2-25) (2-26)其中系数(对于TE波)或(对于T
