1、曲天尧考研数学高分系列实战演练 QQ：1225170687 名师在线为考生答疑解惑一、函数、极限和连续一、单项选择题：1. 设的定义域为，则复合函数的定义域为( )A. B. C. D. 2. 当时，下列无穷小量中与不等价的是( )A. B. C. D. 3. 若，则，的值分别为( )A. ， B. ，C. ，任意 D. ，任意4. 设、在内有定义，在连续，有间断点，则下列函数中必然有间断点的是( )A. B. C. D. 5. 若，则对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得当满足不等式( )时，恒有成立A. B. C. D. 6. 在内，函数( )A. 单调增加的无界函数 B.
2、单调减少的无界函数C. 单调增加的有界函数 D. 单调减少的有界函数7. 设，不存在，则是( )A. 一定存在 B. 等于C. 不一定存在 D. 一定不存在二、填空题：8. 设的定义域为，则的定义域为 .9. 设，则 .10. 设，则 .11. 设在点处连续，若，则 .12. .13. 如果，则 .14. 已知当时，与是同阶无穷小量，则 .15. 设函数在点处连续，则 ， .16. .三、计算题：17. 求极限.18. 求极限（）.19. 求函数的间断点.20. 设，证明数列存在极限并求.21. 讨论函数的连续性.四、证明题：22. 试证方程至少有一个正根，并且它不超过，其中，.23. 证明方
3、程在内至少有一实根.二、导数与微分一、单项选择题：1. 设在处可导，且，则( )A. 6 B. -6 C. D. 2. 设在上连续，且，则下列结论中错误的是( )A. 至少存在一点，使得B. 至少存在一点，使得C. 至少存在一点，使得D. 至少存在一点，使得3. 函数 在处( )A. 左右导数均存在 B. 左导数存在，右导数不存在C. 右导数存在，左导数不存在 D. 左右导数均不存在4. 设周期函数在内可导，周期为4. 又，则曲线在点处的切线的斜率为( )A. B. 0 C. -1 D. -25. 下列函数中，在点处可导的是( )A. B. C. D. 二、填空题：6. .7. 设在内可导，则
4、 . 8. 已知曲线与轴相切，则可以通过表示为 .9. 设，则 .10. 设函数在的某邻域内可导，且，则 .11. 设方程确定是的函数，则 .12. 设是抛物线上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是 .13. 设， .三、计算题：14. 设，求.15. 设在内有定义，且对于任意，又时，.（1）求在处的表达式；（2）问为何值时，存在.16. 设曲线方程在点处的切线与直线垂直，求该曲线在点处的切线方程.17. 、为何值时，函数在处连续且可导.18. 设，求.三、微分中值定理和导数的应用一、单项选择题：1. 设在处连续，在的某去心邻域内可导，且当时，则是( )A. 极小值 B. 极大值
5、C. 为的驻点 D. 不是的极值点2. 曲线( )A. 仅有水平渐近线 B. 仅有垂直渐近线C. 既有水平渐近线又有垂直渐近线 D. 既有垂直渐近线又有斜渐近线3. 当取下列哪个值时，函数恰好有两个不同的零点？( )A. 2 B. 4 C. 6 D. 84. 设，已知曲线的图像如右图所示，则曲线的极值点为( )A. ， B. ，C. ， D. ，5. 设，下列命题中正确的是( )A. 是极大值，是极小值 B. 是极小值，是极大值C. 是极大值，也是极大值 D. 是极小值，也是极小值6. 若二阶可导，且，又当时，则在内函数( )A. 下降且是凸的 B. 下降且是凹的C. 上升且是凸的 D. 上升
6、且是凹的7. 设三次曲线在处取得极大值，点是拐点，则( )A. ， B. ，C. ， D. 以上均错二、填空题：8. 曲线的凹区间是 .9. 当 时，函数可取的极小值.10. 曲线（）的渐近线为 .11. 函数在区间上的最大值为 .12. 函数有 条渐近线.三、计算题：13. 求函数的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线.14. 已知在内可导，且，求.15. 求函数的单调区间和极值.16. 确定曲线的凹凸区间和拐点.四、证明题：17. 证明：当时，有.18. 证明：当时，.19. 设函数在上连续，在内可导，且. 试证：至少存在一点，使得.20. 设在上连续，在内可导，. 证明：（1）存在一个
7、，使得；（2）对于任意给定的正数，存在，使得.21. 设函数在区间上可导，且. 证明：存在，使.四、不定积分一、单项选择题：1. 若在内为连续的奇函数，且为它的一个原函数，则( )A. B. C. D. 2. 下列函数中为同一个函数的原函数的是( )A. 和 B. 和C. 和 D. 和3. 设是的一个原函数，则( )A. B. C. D. 4. 若的一个原函数是，则( )A. B. C. D. 5. 设是连续函数，是的原函数，则( )A. 当是奇函数时，必为偶函数B. 当是偶函数时，必为奇函数C. 当是周期函数时，必为周期函数D. 当是单调增函数时，必为单调增函数二、填空题：6. 设，则 .7
8、. .8. .9. 设且，则 .10. 已知的一个原函数为，则 .11. 已知连续、可导，且，为的连续的反函数，则 .三、计算题：12. 求.13. 设为的原函数，且当时，已知，试求.五、定积分和反常积分一、单项选择题：1. 已知当时，与是等价无穷小，则( )A. ， B. ，C. ， D. ，2. 设函数连续，则在下列变上限定积分定义的函数中，必为偶函数的是( )A. B. C. D. 3. 设，则( )A. 在点不连续B. 在内连续，但在点不可导C. 在内可导，且满足D. 在内可导，但不一定满足4. 下列结论中正确的是( )A. 与都收敛 B. 与都发散C. 发散，收敛 D. 收敛，与发散
9、5. 设函数与在上连续，且，则对任何，有( )A. B. C. D. 二、填空题：6. .7. .8. .9. 设在上连续，且满足，则 .10. 若存在并且不等于零，则 .三、计算题：11. 计算.12. 设函数连续，且. 已知，求.13. 设函数在内可导，且其反函数为. 若，求.14. 设，求.四、证明题：15. 设函数在内连续，. 试证：（1）若为偶函数，则也是偶函数；（2）若单调不增，则单调不减.16. 设函数在上连续，且，. 试证明：在内至少存在两个不同的点，使得.六、多元函数微分学及应用一、单项选择题：1. 设，则( )A. B. C. D. 2. 和存在对于函数在点处连续是( )A
10、. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 无关条件3. 设可微函数在点处取得极小值，则下列结论正确的是( )A. 在处的导数等于零B. 在处的导数大于零C. 在处的导数小于零D. 在处的导数不存在4. 设与均为可微函数，且. 已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则5. 设，则( )A. 0 B. 不存在 C. -1 D. 16. 已知为某个二元函数的全微分，则( )A. -1 B. 0 C. 1 D. 27. 在下列各点中，哪个点为函数的极大值点( )A. B. C. D. 二、填空题：8. 设，其中是由所确定的隐函
11、数，则 .9. 设，其中、均可微，则 .10. 设函数由关系式确定，其中函数可微，且，则 .11. 设二元函数，则 .12. 设，且当时，则 .三、计算题：13. 设，其中具有二阶连续偏导数，求.14. 设具有二阶连续偏导数，且满足，又，求.15. 设有连续偏导数，和分别由方程和所确定，求.16. 已知，求.17. 求在椭圆域上的最大值和最小值.七、二重积分一、单项选择题：1. 累次积分可以写成( )A. B. C. D. 2. 设连续，且，其中是由，所围区域，则( )A. B. C. D. 3. 设是由曲线和围成的平面区域，则( )A. 等于0 B. 符号与有关，与无关C. 符号与有关，与无
12、关 D. 符号与、都有关4. 设，其中，则( )A. B. C. D. 二、填空题：5. 设，则 .6. 交换积分次序： .7. 设，而表示全平面，则 .三、计算题：8. 计算二重积分，其中是由曲线（）和直线围成的区域.9. 设，求. 其中.10. 求二重积分，其中是由直线，及所围成的平面区域.11. 计算二重积分，其中.八、无穷级数一、单项选择题：1. 设有无穷级数，则( )A. 若，则，至少有一收敛B. 若，则，至少有一发散C. 若，则收敛可推得收敛D. 若，则发散可推得发散2. 下列各选项正确的是( )A. 若和都收敛，则收敛B. 若收敛，则和都收敛C. 若正项级数发散，则D. 若级数收
13、敛，且（），则级数也收敛3. 设幂级数与的收敛半径分别为与，则幂级数的收敛半径为( )A. 5 B. C. D. 4. 设，则下列结论正确的是( )A. 若条件收敛，则和都收敛B. 若绝对收敛，则和都收敛C. 若条件收敛，则和的敛散性都不定D. 若绝对收敛，则和的敛散性都不定5. 若级数在处收敛，则此级数在处( )A. 一定发散 B. 一定条件收敛C. 一定绝对收敛 D. 敛散性不能确定二、填空题：6. 若，则 .7. .8. 级数收敛的充要条件是满足 .9. 幂级数的收敛域是 .三、计算题：10. 将函数展开成的幂级数.11. 设，（）.（1）证明：当时，幂级数收敛；（2）求幂级数的和函数.
14、12. 求幂级数在区间内的和函数.九、常微分方程与差分方程一、单项选择题：1. 设非齐次线性微分方程有两个不同的解，为任意常数，则该方程的通解是( )A. B. C. D. 2. 已知函数在任意点处的增量，且当时，是的高阶无穷小，则( )A. B. C. D. 3. 设在内连续且不恒等于零，是微分方程的两个不同的特解，则下列结论中不成立的是( )A. （其中为任意常数，假设）B. 构成方程的通解C. （为任意常数）D. 在任何一点不等于零4. 设在上连续非负，如果微分方程的每一个特解都满足，则必然满足( )A. B. C. 收敛 D. 发散5. 具有特解，的三阶常系数齐次线性微分方程是( )A. B. C. D. 6. 下列微分方程中是全微分方程的是( )A. B. C. D. 二、填空题：7. 差分方程的通解为 .8. 微分方程有形如 的特解.9. 微分方程满足初始条件的特解为 .10. 满足的解是 .11. 差分方程的通解为 .二、填空题：12. 求微分方程的通解.13. 求初值问题的解.14. 设函数在上连续，若由曲线，直线，（）与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为. 试求所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件的解.15. 设有微分方程，其中. 试求在内的连续函数，使之在和内都满足所给方程，且满足条件.16. 求微分方程满足条件，的解.第17页 共17页
