1、 第二讲 行列式综合训练 第一部分例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是零=解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式=-方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式=-方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式+而 =-=-方法4 利用公式=将最后一行逐行换到第2行，共换了次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了次=-方法5 利用公式=例2.2 计算n阶行列式： ()解 采用升阶（或加边）法该行列式的各行含有共同的元素，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步
2、化简后出现大量的零元素 =这个题的特殊情形是=可作为公式记下来例2.3 计算阶行列式： 其中解 这道题有多种解法方法1 化为上三角行列式其中，于是方法2 升阶（或加边）法方法3 递推法将改写为+由于 因此=为递推公式，而，于是=例.4 设，证明存在使.证 因为是关于的二次多项式多项式,在上连续,(0,1)内可导,且,由罗尔定理知,存在,使.例2.5 计算=解 这不是范得蒙行列式，但可借助求解范得蒙行列式进行求解方法1 借助于求解范得蒙行列式的技巧进行求解：从下向上，逐行操作（+）其中 =由于是范德蒙行列式，故=方法2 其中，=方法3 用升阶法由于行列式中各列元素缺乏3次幂的元素，在中添加3次幂
3、的一行元素，再添加一列构成5阶范得蒙行列式：=按第5列展开得到的是的4次多项式，且的系数为 又利用计算范得蒙行列式的公式得= =其中的系数为由的系数相等得：=例2.6 设，计算A41 + A42 + A43 + A44 = ? 其中A4j(j= 1, 2, 3, 4)是|A|中元素a4j的代数余子式.解 直接求代数余子式的和工作量大可将改写为，故A41 + A42 + A43 + A44 =例2.7 求解方程:解 方法1=由题设知所以是原方程的解.方法2 由题设知,当时,由于行列式中有两列对应元素相同,行列式值为零,因此可写成于是原方程的解为:例2.8 计算元素为aij = | ij|的n阶行
4、列式.解 方法1 由题设知，=0，故其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行第二步用的每列加第列方法2 =例2.9 计算行列式解 方法1 按第一列展开：-=- =（-=（-（-方法2 本题也可利用拉普拉斯展开定理进行计算，选定第2、3行，有：=（例2.10 计算=，其中未写出的元素都是0解 方法1 利用公式=采用逐行操作，将最后一行逐行和上行进行对换，直到换到第2行（作次相邻对换）；最后一列逐列和上列换，换到第2列（作次相邻对换），得到 = = =方法2 利用行列式展开定理进行求解 +上面第1个行列式是的形式，而第2个行列式按第1列展开，所以= =例2.11 计算解 方法 采用递推的方法进行
5、求解+即 ， ， 故 方法2 采用降阶的方法进行求解 =例2.12 证明D= =证 方法1 递推法 按第1列展开，有D= x D+（1）a = x D+ a由于D= x + a，于是D= x D+ a=x（x D+a）+ a=xD+ ax + a= xD+ ax+ ax + a=方法2 第2列的x倍，第3列的x倍，第n列的x倍分别加到第1列上 =f其中或 D =f其中方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式D x k= x( + +a+x)=方法4 + + =（1）（1）a+（1）（1） ax+（1）（1）ax +（1）( a+x) x = 例2.13 计算n阶“三对角”行列式D=解 方法1
6、 递推法DDDD即有递推关系式 D=DD (n3)故 递推得到 而，代入上式得 （2.1）由递推公式得D 方法2 把D按第1列拆成2个n阶行列式D=上式右端第一个行列式等于D，而第二个行列式=于是得递推公式，已与（2.1）式相同方法3 在方法1中得递推公式D=DD又因为当时 D=D= =-2= =于是猜想，下面用数学归纳法证明当n=1时，等式成立，假设当nk 时成立当n=k+1是，由递推公式得D=DD =所以对于nN，等式都成立 第二部分这一部分的题是与矩阵、向量、特征值等后续内容有关的题，感觉困难的同学可以放到相关内容学习后再看但应注意考研题中关于行列式内容的出题,往往与后续内容联系较多例2
7、.14 设A为33矩阵, |A| =2, 把A按行分块为, 其中是A的第行, 则行列式_.解 =例2.15 判断题(1) 若是可乘矩阵，则 （ ） (2) 若均为阶方阵，则 （ ）解 (1) 错误，因为不一定是方阵，即不一定有对应的行列式(2) 错误，例如取，例2.16 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证 (n为奇数). 所以|A| = 0.例2.17 （数四，01，3分）设矩阵，且秩3，则= 解 由于 = =由3，知=0，而时，1，故必有例2.18 若，均为3阶可逆方阵，计算解 =2例2.19 设3阶方阵满足方程 ，试求矩阵以及行列式，其中 解 由，得，即 由于 ， ， 所以 例2.20
8、 设为3阶方阵，=2，求的值解 方法1 化为关于的形式进行计算利用公式，有= 方法2 化为关于的形式计算利用公式，=，有=例2.21 （数四，98，3分）设均为阶方阵，=2，=-3，求的值解 =例2.22 若都是4维列向量，且4阶行列式，计算4阶行列式的值解 如果行列式的列向量组为，则此行列式可表示为，利用行列式的性质，有+=-=+=例2.23 计算行列式，其中， 解 = 这是逆对角的上三角行列式，所以 又，故注 这里用了公式：若为阶方阵，为阶方阵，则=例2.24 若为阶方阵，为单位矩阵，满足，求 解 方法1 由有 =即=0，而，所以=0方法2 因为 =即 = 有=0，而，所以=0方法3 由知矩阵为正交矩阵，即=1，=1，又因为，所以有，故 =即2=0，=0例2.25 若为阶正定矩阵，为阶单位矩阵，证明的行列式大于1证 方法1 因为为正定矩阵，因此所有的特征值大于零设的个特征值为，且，由特征值的性质知，的个特征值为，于是方法2 因为正定矩阵是对称矩阵，因此可对角阵，且所有的特征值大于零，故存在可逆阵有 （）即 =例2.26 设，求解 利用特征值法进行求解，即利用公式 =+=矩阵的秩为1，由第十三讲的注意（7）知它特征值为=， =0所以特征值为，故=21
