1、 2015 学年第一学期十校联合体高三期初联考 理科数学试卷 本试卷分第卷和第卷两部分，考试时间 120 分钟 。 试卷总分为 150 分 。 请 考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 参考公式 : 球的表面积公式 24SR 球的体积公式 343RV 锥体的体积公式 13V Sh 其中 S 表示锥体的底面 积， h 表示锥体的高 柱 体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积 ， h 表示柱的高 台体的体积公式 1 1 2 213V h S S S S 其中 12SS， 分别表示台体的上、下底面积 ， h 表 示台体的高 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，
2、在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。 第卷 1已知集合 |1U x x 或 0x ， | 0 2A x x ， 2|1B x x，则 集合 UA C B 等于 （ ） | 0 1x x x 或 |1 2xx | 0 1xx | 0 2xx 一个几何体的正视图和侧视图都是面积为的正方形，则这个几何体的俯视图 一定不是 （ ） 3设实数列 na 和 nb 分别是等差数列与等比数列，且 114ab， 441ab，则以下结论正确的是（ ） 22ab 33ab 55ab 66ab 4“直线 y x b 与圆 221xy相交”是“ 01b”的 （ ） 充分不必要条件 必要 不充分条件 充要条
3、件 既不充分也不必要条件 5已知点 (0,2)A ，抛物线 2: 2 ( 0)C y px p的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，若 | | 5| | 5FMMN ，则 p 的值等于（ ） 18 14 2 4 6设集合 1, 2, 3, ,nSn ， 若 Z 是 nS 的子集，把 Z 中的所有数的和称为 Z 的“容量”（规定空集的容量为 0）若 Z 的容量为奇（偶）数，则称 Z 为 nS 的奇 （偶）子集 命题 ： nS 的奇子集与偶子集个数相等； 命 题 ：当 3n 时， nS 的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等 则 下列说法正确的是 （
4、 ） 命题 和 命题 都成立 命题 和 命题 都不成立 命题 成立， 命题 不成立 命题 不成立， 命题 成立 7定义区间 12 , xx 的长度为 21xx 21()xx ，函数 22( ) 1( ) ( , 0 )a a xf x a R aax 的定义域与值域都是 , ( )m n n m ，则区间 , mn 取最大长度时实数 a 的值为（ ） 233 -3 1 3 8如图，点 E 为正方形 ABCD 边 CD 上异于点 C， D 的动点，将 ADE 沿 AE 翻折成 SAE，使得平面SAE 平面 ABCE， 则下列 三 个说法中正确的个数是 （ ） 存在点 E 使得直线 SA 平面 S
5、BC 平面 SBC 内存在直线与 SA 平行 平面 ABCE 内存在直线与平面 SAE 平行 0 1 2 3 第卷 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36分。 9 已知 ,255lg x 则 x= ； 已知函数 xxf lg)( ，若 1)( abf ，则 )()( 22 bfaf ； 10设函数 3 1, 1,()2 , 1.xxxfx x 则 2( ( )3ff ； 若 ( ( ) 1f f a ，则 a 的值为 11若函数 2( ) 2 s i n c o s 2 s i n2 2 2x x xfx ，则函数 ()fx的最小正周期为 ； 函数 (
6、)fx在区间 ,0 上的最小值是 12 如图， 12,FF是双曲线的左、右焦点，过 1F 的直线 l 与双曲 线的左右两支分别交于点 B、 A 两点，若 2ABF 为 等边三角形， 则该双曲线的离心率为 13如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面 互相垂直，动点 M 在线段 PQ 上， E， F 分别为 AB， BC 的中点， 设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 ，则 cos 的最大值为 14若直线 4ax by与不等式组 2 5 8 02 4 02 4 0xyxyxy 表示的平面区域无公共点，则 ab 的取值范围是 15已知 ABC 中， AB=2， AC=1，
7、当 2 ( 0)x y t t 时， 2|2x A B y A C t恒成立 ，则 ABC的面积为 ，在前述条件下，对于 ABC 内一点 P， ()PA PB PC的最小值是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16（本小题满分 14 分） 设 ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边长分别为 a、 b、 c，且 sin sin cos,sin sin cosB C BA A A成等差数列 （ 1）求角 A 的值； （ 2）若 10, 5a b c ，求 ABC 的面积 17（本小题满分 15 分） 如图（ 1）所示， 直角梯形 ABCD 中，
8、90BCD， /AD BC ， 6AD ， 3DC BC过 B 作 BE AD于 E ， P 是 线段 DE 上的一个动点将 ABE 沿 BE 向上折起，使平面 AEB 平面 BCDE 连结 PA ，PC ， AC （如图（ 2） （ ） 取 线段 AC 的中点 Q ，问： 是否存在点 P ，使得 /PQ 平面 AEB ？若存在，求出 PD 的长；不存在，说明理由 ； （ ） 当 23EP ED时，求平面 AEB 和平面 APC 所成的锐二面角的余弦值 18（本小题满分 15 分） 已知二次函数 2( ) ( , , )f x a x b x c a b c R 满足条件： 当 xR 时， (
9、 4) (2 )f x f x ，且 ()f x x ； 当 (0,2)x 时， 21()2xfx ； ()fx在 R 上的最小值为 0 （ 1）求 ()fx的解析式； （ 2）求最大的 m(m1)，使得存在 tR ，只要 1, xm ，就有 ()f x t x A B E C D A D C B E P Q P 19（本小题满分 15 分） 已知 A、 B 是椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab 的左、右顶点， (2,0)B ，过椭圆 C 的右焦点 F 的直线交椭圆于点 M， N，交直线 x=4 于点 P，且直线 PA， PF， PB 的斜率成等差数列， R 和 Q 是椭圆上的两动点
10、， R 和 Q 的横坐标之和为 2， RQ（不垂直 X 轴）的中垂线交 X 轴与于 T 点 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）求 MNT 的面积的最大值 20（本小题满分 15 分） 在数列 na 中，12( 0), 3ta t t a ， nS 为 na 的前 n 项和， 且 2114 3 ( 2 )n n n nS S S S n （ 1）比较 2014a 与 20153a 大小； （ 2）令 2 11n n n nb a a a ，数列 nb 的前 n 项和为 nT ，求证： 24n tTA D C B E P M Q Q x y z A D C B E P 数学（理科）试题参考答案
11、 一、选择题 ：本题考察基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 40 分。 1.C 2.B 3. A 4.B 5.C 6.A 7.D 8.B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，满分 36 分） 9. 100,2 10. 52,911. 2 ， 21 2 251 2 . 7 1 3 . 1 4 . ( 3 , 3 ) 1 5 . 1 ,58 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16、解析：（）由已知 2 sinCsinA sinBsinA cosBcosA， 2sinCsinA sinBcosA si
12、nAcosBsinAcosA sin(A B)sinAcosA 2sinC2sinAcosA， cosA 12， A 60（ 7 分） （） a2 10 b2 c2 2bccosA (b c)2 3bc 52 3bc， bc 5， S ABC 12bcsinA 5 34 （ 14 分） 17、解：（）存在当 P 为 DE 的中点时，满足 /PQ 平面 AEB 1 分 取 AB 的中点 M ，连结 EM ， QM 由 Q 为 AC 的中点，得 /MQ BC ， 且 12MQ BC ， 2 分 又 /PEBC ，且 12PE BC ， 所以 /PE MQ ， =PEMQ ， 所以四边形 PEMQ
13、为平行四边形， 4 分 故 /ME PQ 5 分 又 PQ 平面 AEB ， ME 平面 AEB ， 所以 /PQ 平面 AEB 6 分 从而存在点 P ，使得 /PQ 平面 AEB ，此时 3=2PD 7 分 （）由平面 AEB 平面 BCDE ，交线为 BE ， 且 AE BE ， 所以 AE 平面 BCDE ，又 BE DE ， 8 分 以 E 为原点，分别以 ,EBEDEA 为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向 建立空间 直角坐标系（如图），则 (0,0,0)E ， (3,0,0)B ， (0,0,3)A ， (0,2,0)P ， (3,3,0)C 10 分 (3,1,0)PC ，
14、(0, 2,3)PA 11 分 平面 AEB 的一个法向量为 1 (0,1,0)n ， 12 分 设平面 APC 的法向量为 2 ( , , )x y zn ， 由 220,0,PCPA nn 得 3 0,2 3 0.xyyz 13 分 取 3y ，得 2 ( 1,3,2)n ， 14 分 所以12 3 3 1 4c o s , 141 4 1nn， 即面 AEB 和平面 APC 所成的锐二面角的余弦值为 31414 15 分 18、解： （ 1）由 ( 4) (2 )f x f x 知对称轴为 x=-1 1 分 由 知开口向上，即 a0， 故设 2( ) ( 1)f x a x 2 分 由
15、知 (1) 1f ； 3 分 由 知 211(1) 12f ，故 (1) 1f 4 分 代入得， 14a 5 分 所以 21( ) ( 1)4f x x 6 分 （ 2）由题意， 在区间 1, m 上函数 ()y f x t的图像在直线 yx 的下方，且 m 最大， 8 分 故 1 和 m 是关于 x 的方程 21 ( 1)4 x t x 的两个根 9 分 令 x=1 代入 ，得 t=0 或 t=-4 10 分 当 t=0 时，方程 的解为 121xx（这与 m1 矛盾） 11 分 当 t=-4 时，方程 的解为 121, 9xx，所以 m=9 12 分 又当 t=-4 时，对任意 1,9x
16、，恒有 21( 1 ) ( 9 ) 0 ( 4 1 )4x x x x 即 ( 4)f x x 14 分 所以 m 的最大值为 9 15 分 19、（ 1）设 (4, )Pt 直线 PA， PF， PB 的斜率成等差数列 24 6 2t t tc 1c 3 分 所以椭圆方程 22143xy 4 分 （ 2）设直线 MN 方程为 1x my 联立 22143xy得 22( 3 4 ) 6 9 0m y m y 6 分 2144( 1) 0m 212 21 2 1| 34myy m 9 分 由点差法可知 RQ 中垂线与 x 轴相交于点 1T04， 212 21 9 1| | | |2 2 3 4M
17、 N T mS T F y y m 12 分 当 0m 时，max 98S 15 分 20、解： （ 1）由 2114 3 ( 2 )n n n nS S S S n 得 213n n na a S 2 分 当 n=2014 时，有 22 0 1 4 2 0 1 5 2 0 1 430a a S 3 分 所以 2014 20153aa 4 分 （ 2）解法 1： 112, 33ata t a ，且由（ 1）知 2130n n na a S 1 13nnaa 6 分 1211 1 1 13nnnn nnaa aa a ta a a 8 分 211n n n nb a a a 是关于 1na 的二
18、次函数，当 1 2nn aa 时取到最大值 但1 3nn aa ， 2 223 3 9n n nnna a aba 11 分 2221212 2229 9 9 nnn aaaT b b b 13 分 22212 1 1 119 9 9 9 4ntt 15 分 解法 2： 112, 33ata t a ，且由（ 1）知 2130n n na a S 即1 3nn aa 6 分 111 3 3 3n n nn a a aa 11 4nnn aaa 9 分 22111 1 1( ) ( )44n n n nn n n n n na a a ab a a a a a 11 分 2 2 2 2 2 21 2 1 2 2 3 11 ()4n n n nT b b b a a a a a a 13 分 = 22 2 2 21 1 111( ) ( )4 4 4nn ta a t a 15 分 命题：龙港高级中学 审题：温州八高
