1、异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。直接平移法1在空间四边形ABCD中，ADBC2，E，F分别为AB、CD的中点，EF，求AD、BC所成角的大小解：设BD的中点G，连接FG，EG。在EFG中 EF FGEG1EGF120 AD与BC成60的角。2正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SASBSCa，E，F分别是SC和AB的中点求异面直线SA和EF所成角答案：45BMANCS3S是
2、正三角形ABC所在平面外的一点，如图SASBSC，且ASBBSCCSA，M、N分别是AB和SC的中点求异面直线SM与BN所成的角的余弦值证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN 则QNSMQNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ，设SCa，在BQN中BN NQSMa BQCOSQNB4如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，若BCCACC1，求BM与AN所成的角解：连接MN，作NGBM交BC于G，连接AG，易证GNA就是BM与AN所成的角设：BCCACC12，则AGAN，GNBM，cosGNA。5如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点求与
3、所成的角。证明：取AB中点G，连结A1G，FG， 因为F是CD的中点，所以GFAD，又A1D1AD，所以GFA1D1，故四边形GFD1A1是平行四边形，A1GD1F。设A1G与AE相交于H，则A1HA是AE与D1F所成的角。因为E是BB1的中点，所以RtA1AGABE, GA1A=GAH,从而A1HA=90,即直线AE与D1F所成的角为直角。B(图128)AABCDCDFE6如图128的正方体中，E是AD的中点 (1)图中哪些棱所在的直线与直线BA成异面直线? (2)求直线BA和CC所成的角的大小； (3)求直线AE和CC所成的角的正切值； (4)求直线AE和BA所成的角的余弦值解：(1) A
4、平面BC，又点B和直线CC都在平面BC内，且BCC, 直线BA与CC是异面直线 同理，正方体12条棱中的CD、DD、DC、AD、BC所在的直线都和直线BA成异面直线 (2) CCBB， BA和BB所成的锐角就是BA和CC所成的角 ABB=45 BA和CC所成的角是45 (3) AABBCC，故AE和AA所成的锐角AAE是AE和CC所成的角在RtAAE中，tanAAE，所以AE和CC所成角的正切值是 (4)取BC的中点F，连EF、BF，则有EFABAB, ABFE是平行四边形，从而BFAE, 即BFAE且BF=AE. BF与BA所成的锐角ABF就是AE和BA所成的角ABFM(图129)设正方体各
5、棱长为2，连AF，利用勾股定理求出ABF的各边长分别为AB2，AFBF，由余弦定理得：cosABF7. 长方体ABCDA1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。解法一：如图，过B1点作B1EBC1交CB的延长线于E点。则DB1E或其补角就是异面直线DB1与BC1所成角，连结DE交AB于M，DE=2DM=3，DB1E= DB1E=。解法二：如图，在平面D1DBB1中过B点作BEDB1交D1B1的延长线于E，则C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在B1C1E中，C1B1E=135，C1E=3，C1BE=，C1BE=。练习：8. 如图
6、，PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。9. 在长方体ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=，求D B和AC所成角的余弦值. 中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。解法一：如图连结B1C交BC1于0，过0点作OEDB1，则BOE为所求的异面直线DB1与BC1所成的角。连结EB，由已知有B1D=，BC1=5，BE=，BOE= BOE=解法二：如图，连DB、AC交于O点，过O点作OEDB1，过E点作EFC1B，则OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过O点作OMDC，
7、连结MF、OF。则OF=，OEF=，异面直线B1D与BC1所成的角为。解法三：如图，连结D1B交DB1于O，连结D1A，则四边形ABC1D1为平行四边形。在平行四边形ABC1D1中过点O作EFBC1交AB、D1C1于E、F，则DOF或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角。在ADF中DF=，DOF=，DOF=。课堂练习10. 在正四面体ABCD中，已知E是棱BC的中点，求异面直线AE和BD所成角的余弦值。补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。解法一：如图，以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2，连结D2B，则DB1D2B，C1BD2或
8、其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角，连C1D2，则C1D2C2为Rt，C1BD2=，异面直线DB1与BC1所成的角是。课堂练习：11. 求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值。在长方体ABCD-A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体，将A1C1平移到BE，则D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在BD1E中，BD1=3， 二、利用模型求异面直线所成的角模型1引理：已知平面的一条斜线a与平面所成的角为1，平面内的一条直线b与斜线a所成的角为，与它的射影a所成的角为2。求证：cos= cos1cos2。在平面a的斜线a上取一点P，过点P分别作直线c、b的垂线
9、PO、PB，垂足为O、B连接OB，则OBb.在直角AOP中，.在直角ABC中，.在直角ABP中，.所以 所以PbABO证明：设PA是的斜线，OA是PA在上的射影，OB/b，如图所示。则PAO=1，PAB=，OAB=2，过点O在平面内作OBAB，垂足为B，连结PB。可知PBAB。所以cos1=， cos=，cos2=。所以cos= cos1cos2。利用这个模型来求两条异面直线a和b所成的角，即引理中的角。需：过a的一个平面，以及该平面的一条斜线b以及b在内的射影。12. 如图，MA平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且MA=AB=a，试求异面直线MB与AC所成的角。ABCDM解：由图可知，直
10、线MB在平面ABCD内的射影为AB，直线MB与平面ABCD所成的角为45，直线AC与直线MB的射影AB所成的角为45，所以直线AC与直MB所成的角为，满足cos=cos45 cos45=，所以直线AC与MB所成的角为60。13. 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ D ）（A） （B） （C） (D) 解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选D PEDFABC14. 如图，在立体图形P-ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，BAD=90，AD/BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA底面AB
11、CD，PD与底面成30角，AEPD于D。求异面直线AE与CD所成的角的大小。解：过E作AD的平行线EF交AD于F，由PA底面ABCD可知，直线AE在平面ABCD内的射影为AF，直线AE与平面ABCD所成的角为DAE，其大小为60，射影AF与直线CD所成的角为CDA，其大小为45，所以直线与直线所成的角满足cos=cos60 cos45=，所以其大小为arccos。模型2 定理：四面体ADBCD两相对棱AC、BD间的夹角为q，则有证明：所以有：15. 长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角。解：连结BC1、A1B在四面体为，易求得
12、 由定理得： 所以 二、向量法求异面直线所成的角16. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是相邻两侧面BCC1B1及CDD1C1的中心。求A1E和B1F所成的角的大小。解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。BACDFEB1A1D1C1GHSRPQ作法：连结B1E，取B1E中点G及A1B1中点H，连结GH，有GH/A1E。过F作CD的平行线RS，分别交CC1、DD1于点R、S，连结SH，连结GS。由B1H/C1D1/FS，B1H=FS，可得B1F/SH。在GHS中，设正方体边长为a。GH=a（作直线GQ/BC交BB1于点Q，连Q
13、H，可知GQH为直角三角形），HS=a（连A1S，可知HA1S为直角三角形），GS=a（作直线GP交BC于点P，连PD，可知四边形GPDS为直角梯形）。CosGHS=。BACDFEB1A1D1C1所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为。解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，设BC长度为2。则点A1的坐标为（0，2，2），点E的坐标为（1，0，1），点B1的坐标为（0，0，2），点F的坐标为（2，1，1）；
14、所以向量的坐标为（-1，2，1），向量的坐标为（2，1，-1），所以这两个向量的夹角满足cos=-。所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为ABCDMN17. 已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N分别为BC和AD的中点，设AM和CN所成的角为，求cos的值。（平移法也可）解：由已知得，空间向量，不共面，且两两之间的夹角均为60。由向量的加法可以得到=（+），=+所以向量与向量的夹角（即角或者的补角）满足cos=，其中=（+）（+）=（+（）+）=a2（+1）=a2；|2=（+）（+）=（1+1+1）a2= a2；|2=（+）（+）=+1 a2= a2。所
15、以cos=| cos|=。ABCDEFG18. 已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，且BE：EC=AF：FD=1：2，EF=，求AB和CD所成的角的大小。解：取AC上点G，使AG：GC=1：2。连结EG、FG，可知EG/AB，FG/CD，3EG=2AB，3FG=CD。由向量的知识可知=+=+，设向量和的夹角为。则由|2=（+）（+）=4+1+4cos=7，得cos=，所以AB和CD所成的角为60。19. （思考题）如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120.求：(1)
16、AC1的长； (2)直线BD1与AC所成的角的余弦值.技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用. BD1与AC所成角的余弦值为.判断是非：(1)(3)(8)(10)正确，其余错；选择：1(C)；2(D)；3(D)；4(D)5(2)相交，(5)平行，其余异面；（6）：(D)，取AB中点M，CC1中点N，连B1E和B1F；（7）答案：(A)，延长B1A1至M，使A1MA1D1，连MA，取AB中点N8(D)；9(E)；10(D)；11(C)；三，取AD中点E，则MEN90；四，取AC中点F，连EF、BF，求得BEAD5，BFAC3；五，分别取AC、B1C1的中点P、Q，则PMQN是矩形，设
17、CC1MQa，则MPa；六，取AC中点F，连EF、BF，则EF4，BEBF3异面直线所成的角-作业班级： 姓名： 学号： 一、判断是非(下列命题中，正确的打“”，错误的打“”)(1)梯形的四个顶点在同一平面内； (2)对边相等的四边形是平行四边形； (3)平行于同一直线的两直线平行； (4)垂直于同一直线的两直线平行； (5)两条直线确定一个平面； (6)经过三点可以确定一个平面； (7)无公共点的两直线异面； (8)两异面直线无公共点； (9)两异面直线可以同时平行于一直线； (10)两异面直线可以同时垂直于一直线； (11)不同在一个已知平面内的两直线异面； (12)互相垂直的两条直线必可
18、确定一平面二、选择题1. 没有公共点的两条直线的位置关系是( ) (A)平行 (B)异面 (C)平行或异面 (D)不能确定2. 分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是( ) (A)异面 (B)平行 (C)平行或异面 (D)平行或异面或相交3. 两条异面直线指的是( ) (A)在空间不相交的两条直线(B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 (C)分别位于两个不同平面的两条直线 (D)不同在任一平面内的两条直线4. a、b是异面直线，b、c也是异面直线，那么a、c的位置是( ) (A)异面 (B)异面或平行 (C)异面或相交 (D)相交、平行或异面5. 说出正方体中各对线段的位置关系：
19、(1) AB和CC1； (2)A1C和BD1； (3)A1A和CB1； (4)A1C1和CB1； (5)A1B1和DC； (6)BD1和DC.6. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是( )7. 如图，A1B1C1ABC是直三棱柱(三侧面为矩形)，BCA=90，点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( ) 8. 正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与AC (A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直9. 设a、b、c是
20、空间中的三条直线，下面给出四个命题： 如果ab、bc，则ac； 如果a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；如果a、b是异面直线，c、b是异面直线，则a、c也是异面直线；如果a和b共面，b和c共面，则a和c也共面，在上述四个命题中，真命题的个数是( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)010. 如果直线l和n是异面直线，那么和直线l、n都垂直的直线 (A)不一定存在 (B)总共只有一条 (C)总共可能有一条，也可能有两条 (D)有无穷多条FABCES(第11题)11. 如图，四面体SABC的各棱长都相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)9
21、0 (B)60 (C)45 (D)30ABCDM(第三题)N43三如图，四面体ABCD中，ACBD,且AC4，BD3，M、N分别是AB、CD的中点，求MN和BD所成角的正切值ABCD(第四题)E668四如图，四面体ABCD中，ABBC，ABBD，BCCD，且ABBC6，BD8，E是AD中点，求BE与CD所成角的余弦值 (第五题)MABCNC1A1B1五如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，M、N分别是BC和A1C1的中点。求MN与CC1所成角的余弦值。 8ABCDE(第六题)785445六如图，四面体ABCD中，E为AD中点，若ACCDDA8，ABBD5，BC7，求BE与CD所成角的余弦值。
