1、 余姚市高三第三次模拟考试 高三数学（文）试题卷 第卷（选择题部分 共 40 分） 一、选择题： 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1. 设全集 U=R，集合 2| xxA ， 011| xxB ，则 ( ) BUCA( ) A. 2,1 B. (2, ) C. 2,1( D. ( , 2) 2. 设 nm, 为两条不同的直线， , 为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若 / / ,n/ /m ，则 m/n B. 若 ,m ，则 /m C. 若 / / ,m ，则 m ； D. 若 /,mm ，则 3. 已知
2、,ab R 则“ 221ab”是“ 12ab ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知 ( ) s i n ( ) ( )f x A x x R 的图象的一部分如图 所示，若对任意 ,xR 都有 12( ) ( ) ( )f x f x f x， 则 12|xx 的最小值为（ ） A. 2 B. C. 2 D. 4 5. 已知实数变量 ,xy满足1,0,2 2 0,xyxyxy 则 3z x y的最大值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且满足 2014 20
3、150, 0SS，对任意正整数 n ，都有 | | | |nkaa ，则 k 的值为 ( ) A. 1006 B. 1007 C. 1008 D. 1009 （第 4 题） 7. 设 12,FF分别是双曲线 2222: 1 ( 0 , 0 )xyC a bab 的左、右焦点， P 是 C 的右支上的点，射线 PT 平分 12FPF ,过原点 O 作 PT 的平行线交 1PF 于点 M ,若121| | | |3MP FF,则 C 的离心率为（ ） A. 32 B. 3 C. 2 D. 3 8已知实数 ,abc满足 2 2 2 1abc ，则 ab bc ca 的取值范围是 ( ) A. ( ,
4、1 B. 1,1 C. 1 ,12 D. 1 ,14 第卷（非选择题部分 共 110 分） 二、填空题： 本大题共 7 小题，第 9 至 12 题，每小题 6 分，第 13 至 15 题，每小题 4 分，共36 分 9. 若指数 函数 ()fx 的图像过 点 ( 2,4) ，则 (3)f _； 不等式5( ) ( ) 2f x f x 的解集为 . 10. 已知圆 2 2 2: 2 4 5 2 5 0C x y a x a y a 的圆心在直线 1 : 2 0l x y 上，则a ；圆 C 被直线 2 : 3 4 5 0l x y 截得的弦长为 _. 11. 某多面体的三视图如图所示，则该多面
5、体最长的棱长为 ；外接球的体积为 12“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列， 在斐波那契数列 na 中， 11a ， 12a )(12 Nnaaa nnn 则 7a _； 若 2017am ，则数列 na 的前 2015 项和 是 _（用 m 表示） 13已知函数 3 ,0() 13xxfx xx ，若关于 x 的方程 2 1( 2 ) m2f x x 有 4 个不同的实数根，则 m 的取值范围是 _ 14. 定义：曲线 C 上的点到点 P 的距离的最小值称为曲线 C 到点 P 的距离。已知圆侧 视图 （第 11 题） 3 2 正视图 俯 视图 3 22: 2 2 6 0C x y x y
6、到点 ( , )Paa 的距离为 2 ，则实数 a 的值为 15. 设正 ABC 的面积为 2，边 ,ABAC 的中点分别为 ,DE， M 为线段 DE 上的动点，则 2MB MC BC的最小值为 _ 三、解答题： 本大题共 5 小题，共 74 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16（本题满分 15 分）在 ABC 中，内角 ,ABC 所对的边分别为 , , .abc 已知s i n s i n ( ) 2 s i n 2C B A A ， .2A （ ）求角 A 的取值范围； （ ）若 1,a ABC 的面积 314S ， C 为钝角，求角 A 的大小 17. （本题满分 15 分
7、）如图，在三棱锥 P ABC 中， 2PBPA ， 4PC ， 60BPCAPB ， 41cos APC 。 （ ）平面 PAB 平面 PBC ； （ ） E 为 BC 上的一点 若直线 AE 与平面 PBC 所成的角为 30 ，求 BE 的长 18（本题满分 15 分）已知数列 , nnab满足下列条件： 16 2 2,nna 1 1b ，1 .n n na b b P C E B A （第 17 题） （ ）求 nb 的通项公式 ； （ ）比较 na 与 2nb 的大小 19（本题满分 15 分）如图，过抛物线 2: 2 ( 0)C x py p的焦点 F 的直线交 C 于1 1 2 2(
8、 , ), ( , )M x y N x y两点，且 12 4.xx （ ）求 p 的值； （ ） ,RQ是 C 上的两动点， ,RQ的纵坐标之和为 1， RQ 的垂直平分线交 y 轴于点 T ,求 MNT 的面积的最小值 20（本题满分 14 分）已知函数 2( ) | 1 |f x x x a ，其中 为实常数 （ ）判断 ()fx的奇偶性； （ ）若对任意 xR ，使不等式 ( ) 2 | |f x x a恒成立 ，求 a 的取值范围 余姚市高三第三次模拟考试 高三数学 (文 )参考答案及评分标准 一、选择题： 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，恰
9、有一项是符合题目要求的 B D A C D C A C 二、填空题： 本大题共 7小题，第 9至 12题，每小题 6分，第 13至 15题，每小题 4分，共 36 分 9. 18 ； ( 1,1) 10. 2； 8 11. 4； 323 12. 13； 1m 13. 1( 1, ) (0 , )8 14. 2,0,2 15. 532 三、解答题： 本大题共 5 小题，共 74 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. （ ）由 s i n s i n ( ) 2 s i n 2 ,C B A A 得s i n ( ) s i n ( ) 2 2 s i n c o s .B A B
10、A A A 即 2 s i n c o s 2 2 s i n c o s .B A A A 因为 cos 0,A 所以 sin 2 sin .BA 3 分 由正弦定理，得 2.ba 故 A 必为锐角。 4 分 又 0 sin 1B,所以 20 sin .2A 6 分 因此角 A 的取值范围为 (0, .4 8 分 （ ）由（ ）及 1a 得 2.b 又因为 314S ,所以 1 3 11 2 sin .24C 从而 62sin .4C 因为 C 为钝角，故 7 .12C 11 分 由余弦定理，得 2 7 6 21 2 2 1 2 c o s 1 2 2 1 2 ( ) 2 3 .1 2 4c
11、 P C E B A F 故 62.2c 13分 由正弦定理，得621si n 14si n .2622aCAc 因此 .6A 15 分 17（ ）在 PAB 中，由 2 , 6 0 ,P A P B A P B 得 2.AB 在 PBC 中， 2 , 4 , 6 0 ,P B P C B P C 由余弦定理，得 2 3.BC 在 PAC 中， 12 , 4 , c o s ,4P A P C A P C 由余弦定理，得 4.AC 因为 2 2 2AB BC AC,所以 .AB BC 因为 2 2 2PB BC PC,所以 .PB BC 4 分 又因为 AB PB B,所以 BC 平面 .PA
12、B 6 分 又因为 BC 平面 PBC ,所以平面 PAB 平面 .PBC 7分 （ ）取 PB 的中点 F ,连结 ,EF 则 .AF PB 又因为平面 PAB 平面 PBC ，平面PAB 平面 PBC PB ,AF 平面 PAB ,所以 AF 平面 .PBC 因此 AEF 是 直线 AE 与平面 PBC 所成的角，即 30 .AEF 11 分 在正 PAB 中， 3 3.2AF PA 在 Rt AEF 中， 2 3.sin 30AFAE 在 Rt ABE 22 2 2 .B E A E A B 15 分 18.（ ）由已知， 11 6 2 2 .nnnbb 1 2 1 3 2 1( ) (
13、 ) ( )n n nb b b b b b b b 2 分 221 (6 1 2 ) (6 2 2 ) (6 2 2 ) 1 6 ( 1 2 2 ) 2 ( 1 )nn n 1 1121 6 2 ( 1 ) 6 2 2 3 .12 n nnn 7 分 （ ） 12 6 2 4 ( 1 ) 3 2 4 ( 1 ) .nnnnb a n n 设 32 .4( 1)nnc n 11322( 1 )4( 2)1 1 1 0.32 224( 1 )nnnnc nnnc n nn 所以 1 .nncc 即 nc 为递增数列 . 10分 当 2n 时， 2 1.ncc所以 3 2 4( 1).n n 于是
14、 20nnba，即 2.nnab 13 分 易知当 1n 时， 2.nnab 当 2n 时， 2.nnab 15 分 19 （ ）设 :,2pMN y kx 由2,22,py kxx py 消去 y ，得 222 0.x pkx p （ *） 3 分 由题设， 12,xx是方程 （ *）的两实根，所以 212 4,x x p 故 2.p 6 分 （ ）设 3 3 4 4( , ) , Q ( , ) , T( 0 , t)R x y x y,因为 T 在 RQ 的垂直平分线上，所以 | | | |.TR TQ 得 2 2 2 23 3 4 4( ) ( )x y t x y t ，又 223
15、3 4 44 , 4 ,x y x y 所以 223 3 4 44 ( ) 4 ( ) .y y t y y t 即 3 4 3 4 4 34 ( ) ( 2 ) ( ) .y y y y t y y 而 34yy ，所以 344 2 .y y t 又因为 341yy，所以 5.2t 故 5(0, ).2T 10 分 因此1 2 1 213| | | | | | .24M N TS F T x x x x 由（ 1）得 1 2 1 24 , 4 .x x k x x 2 2 21 2 1 233( ) 4 ( 4 ) 4 ( 4 ) 3 1 3 .44M N TS x x x x k k 因此
16、 ，当 0k 时， MNTS 有最小值 3. 15分 20（ ）当 1a 时， 2( ) | | .f x x x 22( ) ( ) | | | | ( ) ,f x x x x x f x 所以 ()fx为偶函数； 3 分 当 1a 时，因为 (0) |1 | 0fa ，所以 ()fx不是奇函数； 因为 22( 1 ) ( 1 ) , ( 1 ) ( 1 ) 2 | 1 |,f a a f a a a 所以 ( 1) (1 )f a f a ， 故 ()fx不是偶函数 综合得 ()fx为非奇非偶函数 7 分 （ ）（ 1）当 1xa时，不等式化为 2 1 2 ( ),x x a a x 即
17、 2 1x x a ，215( ) .24xa 若 11 2a ，即 12a ，则 54a 矛盾 若 11 2a ，即 12a ，则 2( 1) ( 1) 1,a a a 即 2 2 1 0,aa 解得 12a 或 1 2.a 所以 1 2.a 9 分 （ 2）当 1a x a 时，不等式化为 2 1 2 ( ),x x a a x 即 2 3 1 3x x a ，235( ) .24xa 若 31 2aa 即 3122a ， 553 , .4 12aa 结合条件，得 31.22a 若 31 2a 即 12a ， 23 ( 1) 3 ( 1) 1,a a a 即 2 2 1 0aa 解得 12a 或 1 2.a 结合条件及（ 1），得 1 1 2.2 a 若 32a ， 23 3 1a a a 恒成立 综合得 1 2.a 11 分 （ 3 ）当 xa 时，不等式化为 2 1 2 ( ) ,x x a x a 即 2 1x x a ，213( ) .24xa 得 3,4a 即 34a 。结合（ 2）得 3 1 2.4 a 13 分 所以，使不等式 ( ) 2 | |f x x a对 xR 恒成立的 a 的取值范围是 3 1 2.4 a 14 分
