1、 严州中学 2015 届高三仿真考试数学（理科）试卷 一、 选择题： 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 。 在每小题给出的四个选项中，只有一 个选 项是符合题目要求的 。 1已知集合 ln( 1 2 )A x y x ， 2B x x x ，则 ( )=ABC A B （ ） A ( ,0) B 1( ,12C ( ,0) 1 ,12D 1( ,022已知 ,lm为两条不同的直线， 为一个平面。若 / ,lm则 /l 是 /m 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3设函数 ()fx sin( )Ax ( 0,A 0, )22 的图象
2、关于直线 23x 对称 ,它的最小正周期为 ， 则 （ ） A. ()fx的图象过点 1(0 )2, B. ()fx在 2,12 3上是减函数 C. ()fx的一个对称中心是 5 ,012D. ()fx的一个对称中心是 ,06 4在正三棱柱 1 1 1ABC- ABC 中，若 1=ABBB ， D 是 CC1 中点 ，则 CA1 与 BD 所成角的大小是（ ） A 3 B 512 C 2 D 712 5已知数列 na 满足 1 n + 11 2 ( )nna a a n N， ，则 2015S = （ ） A 201521- B 100923- C 10073 2 3 - D 100823-
3、6若 ()fx为奇函数，且 0x 是 () xy f x e 的一个零点 ， 则 0x 一定是下列哪个函数的零点 （ ） A ( ) 1xy f x e B ( ) 1xy f x e C ( ) 1xy f x e D ( ) 1xy f x e 7设 ,abR ,关于 ,xy的不等式 | | | | 1xy和 48ax by 无公共解，则 ab 的取值范围是（ ） A 16,16 B 8,8 C 4,4 D 2,2 8抛物线 2 2yx 的内接 ABC 的三条边所在直线与抛物线 2 2xy 均相切 ， 设 A， B 两点的纵坐标分别是 ,ab，则 C 点的纵坐标为（ ） A ab B ab
4、 C 22ab D 22ab 第 卷 二、填空题 ： 本大题有 7 小题 ， 9 12 每题 6 分 ， 13 15 题每题 4 分 ， 共 36 分 。 把答案填在答题卷的相应位置 。 9. 若经过点 ( 3,0)P 的直线 l 与圆 22: 4 2 3 0M x y x y 相切，则圆 M 的 圆心坐标是 ； 半径为 ； 切线 在 y 轴上的截距是 . 10命题 0:p x R , 020x ，命题 : (0 , ), s inq x x x ，其中真命题的是 ；命题 p 的否定是 . 11. 如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是 ；表面积是 . 12.
5、 设 函数 ()fx 2221lo g 1 1xxxx ( 1)( - )( )， 则 ( (4)ff ； 若 ()fa 1 ，则 a . 13. 函数 sin ( ) sin 24y x x ()xR 的最大值是 . 14已知向量 ,ab满足 ： | | 13a ,| | 1b ,| 5 | 12ab ，则 b 在 a 上的投影的取值范围是 . 15. 点 P 是双曲线 22 1, ( 0 , 0 )xy abab 上一点 ， F 是右焦点，且 OPF 为等腰直角三角形 （ O 为坐标原点），则双曲线离心率的值是 . 三、解答题： 本大题共 5 小题 ， 满分 74 分 。 解答应写出文字说
6、明 ， 证明过程或演算步骤 。 16.（本题满分 15 分） 在 ABC 中， 角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 已知 a,b,c 成等比数列，且 3sin sin 4AC （ I）求角 B 的大小； （ II）若 b 3 ，求 ABC 的面积最大值 . EABDC17 （本题满分 15 分） 如图，已知 AB 平面 , / / ,BEC AB CD 4AB BC, BEC 为等边三角形， （ 1）若平面 ABE 平面 ADE ，求 CD 长度； （ 2） 求直线 AB与 平 面 ADE 所成角的取值范围 . 18. （本题满分 15 分） 已知椭圆 22 1, ( 0 )xy a
7、bab ， 离心率 223e ， 且 过点 1(2 2 )3, ， （ 1） 求椭圆方程； （ 2） Rt ABC 以 (0, )Ab为直角顶点，边 ,ABBC 与椭圆交于 ,BC两点 ， 求 ABC 面积的最大值 . 19.（本题满分 15 分） 函数 2( ) 2 2 ( , , 0 )f x a x b x a b a b a R， ( ) 2 2g x ax b （ 1）若 0,2 时 ， 求 (sin )f 的最大值 ； （ 2）设 0a 时 ，若对任意 R ，都有 | (sin ) | 1f 恒成立 ，且 (sin)g 的最大值为2，求 ()fx的表达式 . 20.（本题满分 14
8、 分） 各项为正的数列 na 满足1 12a, 21 , ( )nnnaa a n N， （ 1）取 1na ，求证：数列 1nnaa是等比数列 ， 并求其公比 ； （ 2）取 2 时令 12n nb a ， 记数列 nb 的前 n 项和为 nS ， 数列 nb 的前 n 项之积为nT ，求证：对任意正整数 n ， 12n nnTS 为定值 . 数学理科参考答案 1-8 CDCC BAAB 9. -2 1 2 -3（ ） ； ；, 10.q ； 20xxR ， 11. 2 2+3 2+ 22； 12.51; 或 12 13. 98 14. 5113 , 15. 512 352 或 10 22
9、35 16. 解 ： （ ）因为 a、 b、 c 成等比数列，则 2b ac .由正弦定理得 2sin sin sinB A C . 又 3sin sin 4AC ，所以 2 3sin 4B .因为 sinB 0，则 3sin 2B . 4 因为 B (0， )，所以 B3或 23. 又 2b ac ，则 ba 或 bc ，即 b 不是 ABC 的最大边， 故3B. 3 （ II）由余弦定理 b a c ac B2 2 2 2 cos得 229 - 2 - a c ac ac ac，得 9ac . 1 9 3sin24ABCS ac B当 3ac 时， ABC 的面积最大值为 934 17.
10、解：（ 1）设 |CD d 取 BE、 AE 中点 O、 F，连结 OC、 OF，以 O 为原点， OE、 OC、OF 为 ,xyz 轴建立坐标系，则 2 0 4 2( ), (AB， ， ,0,0), 0 2 3 0 0 2 3 2 0 0( , , ) , ( , , ) , ( , , )C D d E 易知平面 ABE 的法向量为 0 2 3( , , )OC 设面 ADE 的一个法向量为 ( , , )n x y z 则 4 -4 02 2 3 0n A E x zn D E x y d z 可得 2-1123( , , )dn所有 02n OC d ， 所以 CD 长度为 2. （
11、 2）由（ 1）可知：面 ADE 的一个法向量 2-1123( , , )dn，设直线 AB 与面 ADE 所成角为 ， 则242| |= 02| | | 24 1 112s i n ( , | ()A B nA B n d ， 所以 0 4（ ， . 18. 解：（ 1 ）由 223e 得 3ab ， 把点 1223( , ) 带入椭 圆方 程可 得 ：2222122 3119 ()() bbb ，所以椭圆方程为： 2 2 19x y （ 2）不妨设 AB 的方程 01 kkxy ，则 AC 的方程为 11 xky 。 由 22119y kxx y 得： 221 9 1 8 0()k x k
12、x 218 ,19B kx kk 用 1k 代入 ， 可得 218 ,9 C kx k 从而有 2 2 2 21 8 1 1 81 , 1 ,1 9 9 kkA B k A Ck k k 于是 222 2211 ( 1 )1 6 2 1 6 212 ( 1 9 ) ( 9 ) 9 ( ) 8 2 ABCkkk kS A B A C kkk k。 令 1 2tkk ，有21 6 2 1 6 2 2 7649 6 4 89 ABCtS tt t当且仅当 8 23t= ，max 27() 8 ABCS. 19. 解：（ 1）令 01sin , t ，原命题等价于求证 ()ft 在 01 , t 的最
13、大值为2|a b a 而 0a ， 对称轴 2bt a ， 结合函数图象可知 ： 10m a x ( ) ( )( ) | |( ) ( )f a b b af x a bf b a b a （ 2）令 -1 1sin , t ， 则 1 0 1 1 1 - 1 1| ( ) | | ( ) | , | ( ) | , | ( ) |f t f f f ， 因为 0a ， 所以 12max(sin ) ( )gg ， 而 1 2 2 2()g a b 而 0 -1()f b a 而 11 , t 时 ， 1 1 1| ( ) | ( )f t f t ， 结合 0 -1()f 可知二次函数的顶
14、点坐标为 01( , ) 所以 01,ba， 所以 221()f x x . 20. 证明 ：（ 1） 2 221 1 11 0nn n n n n nnaa a a a a aa 两边同除 2na 可得 ： 21110nnaa （ ） 1 152nnaa 因为 0na ， 所以 1 1+ 52nnaa为常数 ， 故 数列 1nnaa 是等比数列 ， 公比为 1+52 （ 2）由 211 111222 2 2()nnn n n n n n nna a a a a b aa 所以 +11 2 112 2 3 1 1 11 1 1 1 1 12 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnnn n n naa a aT b b b a a a a a 2 11 + 1 + 1 1221 1 1= = =2 2 2n n n nnn n n n n n na a a ab a a a a a a a 所以12 1 1 11 1 1=2nn nnS a a a a a a ，故 +12n nnTS =2 为定值 .
