1、例题定义类1，已知，一曲线上的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为 点拨：一要注意是否满足，二要注意是一支还是两支 ，的轨迹是双曲线的右支.其方程为2双曲线的渐近线为，则离心率为 点拨：当焦点在x轴上时，；当焦点在y轴上时，3 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的解析如图，以接报中心为原点O
2、，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB| |PA|=3404=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，ABCPOxy依题意得a=680, c=1020，用y=x代入上式，得，|PB|PA|,答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”4 设P为双曲线上的一点
3、F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则PF1F2的面积为（ ）AB12CD24解析： 又由、解得直角三角形，故选B。5如图2所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（ ）A9 B16 C18 D27 解析 ，选C6. P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（ ）（A）（B）（C）（D）解析设的内切圆的圆心的横坐标为，由圆的切线性质知，7，若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|PF2|的值是 （ ）A. B. C. D. 【解析】椭圆的长半轴为双曲线的实半轴为
4、，故选A.求双曲线的标准方程1已知双曲线C与双曲线=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组解析 解法一：设双曲线方程为=1.由题意易求c=2.又双曲线过点（3，2），=1.又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为=1.解法二：设双曲线方程为1，将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为1.2.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； 解析设双曲线方程为，当时，化为，当时，化为，综上，双曲线方程为或3.以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为_.解析 抛物线的焦点为，设双
5、曲线方程为，双曲线方程为4.已知点，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为A BC（x 0） D解析，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B与渐近线有关的问题1若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）A. B. C. D.【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通的关系解析 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故，,所以【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程2. 双曲线的渐近线方程是 ( )A. B. C. D. 解析选C3.焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线
6、方程是 （ ）A B C D解析从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B4，过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为点（1，3）代入：.代入（1）：即为所求.【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.5 设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角.【证明】如图设等轴双曲线方程为，直线CD：y=m.代入（1）：.故有：.取双曲线右顶点.那么：.即CBD=90.同理可证：CAD=90.几何1设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）A B C. D
7、【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：.设；于是，故知PF1F2是直角三角形，F1P F2=90.选B.求弦1双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）A. B. C. D. 【解析】设弦的两端分别为.则有：.弦中点为（2，1），.故直线的斜率.则所求直线方程为：，故选C.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：2 在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情
8、由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由这里，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.此外，上述解法还疏忽了一点：只有当时才可能求出k=2.若.说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.结论；不存在符合题设条件的直线.换远（压轴题）1如图，点为双曲线的左焦点，左准线交轴于点，点P是上的一点，已知，且线段PF的中点在双曲线的左支上.（）求双曲线的标准方程；（）若过点的直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，设，当时，求直线的斜率的取值范围. 【分析】第（）问中，线段PF的中点M的坐标是主要变量，其它都是辅助变量.注意到点M是直角三角形斜边
9、的中点，所以利用中点公式是设参消参的主攻方向 第（）中，直线的斜率是主要变量，其它包括都是辅助变量. 斜率的几何意义是有关直线倾斜角的正切，所以设置直线的参数方程，而后将参数用的三角式表示，是一个不错的选择.【解析】（）设所求双曲线为：.其左焦点为F（-c。0）；左准线：.由，得P（，1）；由FP的中点为.代入双曲线方程： 根据（1）与（2）.所求双曲线方程为. （）设直线的参数方程为：.代入得：当，方程（3）总有相异二实根，设为. 已知直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，.于是：.注意到在上是增函数，（4）代入（5）： 双曲线的渐近线斜率为，故直线与双曲线的左右两支分别交必须.综合得直线的
10、斜率的取值范围是.练习题1已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l经过A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问 是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论 解 (1)如图，设双曲线方程为=1 由已知得,解得a2=9,b2=12 所以所求双曲线方程为=1 (2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(3，0），其重心G的坐标为(2，2）假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2) 则有，kl=l的方程为y= (x2)+2,由,消去y,整理得x24x+28=0 =1
11、64280,所求直线l不存在 2已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。 错解 设符合题意的直线存在，并设、 则 （1）得 因为A（1，1）为线段PQ的中点， 所以 将(4)、(5)代入（3）得 若，则直线的斜率 所以符合题设条件的直线存在。 其方程为 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。 应在上述解题的基础上，再由 得 根据,说明所求直线不存在。3已知点N（1，2），过点
12、N的直线交双曲线于A、B两点，且（1）求直线AB的方程；（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？解：（1）设直线AB：代入得 （） 令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程的两根 且 N是AB的中点 k = 1 AB方程为：y = x + 1 （2）将k = 1代入方程（）得 或 由得， ， CD垂直平分AB CD所在直线方程为 即代入双曲线方程整理得 令，及CD中点则， ， |CD| =， ，即A、B、C、D到M距离相等 A、B、C、D四点共圆4. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程（2）直线过焦点且垂直于x
13、轴，若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程 解析（1）依题意，有，即，即双曲线方程为，故双曲线的渐近线方程是，即，（2）设渐近线与直线交于A、B，则，解得即，又，双曲线的方程为5.已知是双曲线的左，右焦点,点是双曲线右支上的一个动点,且的最小值为,双曲线的一条渐近线方程为. 求双曲线的方程;解析,.的一条渐进线方程为 ，又 由得6.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为.（）求双曲线C的方程（）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且（其中为原点），求k的取值范围解（1）设双曲线方程为由已知得，再由，得故双曲线的方程为.（2）将代入得 由直线与双曲线交与不同的两点得
14、即且. 设，则，由得，而.于是，即解此不等式得 由+得故的取值范围为7 已知双曲线C：的两个焦点为，点P是双曲线C上的一点，且（1）求双曲线的离心率；（2）过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于两点，若，求双曲线C的方程（1）设，则，（2）由（1）知，故，从而双曲线的渐近线方程为，依题意，可设，由，得 由，得，解得点在双曲线上，又，上式化简得 由，得，从而得故双曲线C的方程为XOY5-528已知动圆与圆C1:(x+5)2+y2=49和圆C2：(x-5)2+y2=1都外切， （1）求动圆圆心P的轨迹方程。 解：（1）从已知条件可以确定圆C1、C2的圆心与半径。 两圆外切可得：两圆半径和圆心距
15、动圆半径r,依题意有 7r|PC1|,1r|PC2|，两式相减得：|PC1|PC2|6 |C1C2|。 由双曲线定义得：点P的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支。（x3） （2）若动圆P与圆C2内切，与圆C1外切，则动圆圆心P的轨迹是 （双曲线右支） 若动圆P与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心P的轨迹是 （双曲线左支） 若把圆C1的半径改为1，那么动圆P的轨迹是 。（两定圆连心线的垂直平分线）18已知直线与双曲线交于、点。（1）求的取值范围；（2）若以为直径的圆过坐标原点，求实数的值；（3）是否存在这样的实数，使、两点关于直线对称？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由。解：（1）由消
16、去，得（1）依题意即且（2）（2）设，则 以AB为直径的圆过原点 但 由（3）（4）， 解得且满足（2）（3）假设存在实数，使A、B关于对称，则直线与垂直 ，即 直线的方程为将代入（3）得 AB中点的横坐标为2 纵坐标为 但AB中点不在直线上，即不存在实数，使A、B关于直线对称。9(1)椭圆C:(ab0)上的点A(1,)到两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程; (2)设K是(1)中椭圆上的动点, F1是左焦点, 求线段F1K的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点, 当直线PM、PN的斜率都存在并记为kPM、kPN时，那么是与点P位置无关
17、的定值。试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证明。解：(1) (2)设中点为(x,y), F1(-1,0) K(-2-x,-y)在上 (3)设M(x1,y1), N(-x1,-y1), P(xo,yo), xox1 则 为定值.10. 已知双曲线方程为与点P(1,2),（1）求过点P（1，2）的直线的斜率的取值范围，使直线与双曲线有一个交点，两个交点，没有交点。 (2) 过点P（1，2）的直线交双曲线于A、B两点，若P为弦AB的中点，求直线AB的方程；（3）是否存在直线，使Q（1，1）为被双曲线所截弦的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。解：(1)当直线l的斜率不存在时，
18、l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 (*)()当2k2=0,即k=时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点()当2k20,即k时=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)当=0,即32k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.当0,即k,又k,故当k或k或k时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.当0，即k时，方程(*)无解，l与C无交点.综上知：当k=,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；当k,或k,或k时，l与C有两个交
19、点；当k时，l与C没有交点.（2）假设以P为中点的弦为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12y12=2,2x22y22=2两式相减得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=4 2(x1x2)=y1y1 即kAB=1但渐近线斜率为,结合图形知直线AB与有交点，所以以P为中点的弦为：.(3)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12y12=2,2x22y22=2两式相减得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=2 2(x1x2)=y1y1 即kAB
20、=2但渐近线斜率为,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.11已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l经过A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问 是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论 解 (1)如图，设双曲线方程为=1 由已知得,解得a2=9,b2=12 所以所求双曲线方程为=1 (2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(3，0），其重心G的坐标为(2，2）假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2) 则有，kl=l的
21、方程为y= (x2)+2,由,消去y,整理得x24x+28=0 =164280,所求直线l不存在 12已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。 错解 设符合题意的直线存在，并设、 则 （1）得 因为A（1，1）为线段PQ的中点， 所以 将(4)、(5)代入（3）得 若，则直线的斜率 所以符合题设条件的直线存在。 其方程为 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。 应在上述解题的
22、基础上，再由 得 根据,说明所求直线不存在。1.解：（1）易知 （2） 先探索，当m=0时，直线Lox轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交于FK中点N ,且 猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点 证明：设，当m变化时首先AE过定点N KAN=KEN A、N、E三点共线 同理可得B、N、D三点共线 AE与BD相交于定点(文)解：（1）易知 （2）(文) 设 KAN=KEN A、N、E三点共线2.解：（1） NP为AM的垂直平分线， |NA|=|NM|又 动点N的轨迹是以点C（1，0），A（1，0）为焦点的椭圆且椭圆长轴长为曲线E的方程为（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为得 由设 又 整理得 又 又当直线GH斜率不存在，方程为即所求的取值范围是3. 解：设Q（x0，0），由F（-c，0） （0，b）知 设，得因为点P在椭圆上，所以整理得2b2=3ac，即2(a2c2)=3ac，,故椭圆的离心率e=由知，于是F（a，0）， QAQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=|FQ|=a 所以，解得a=2，c=1，b=，所求椭圆方程为
