1、复 数【知识梳理】1、 复数的基本概念1、虚数单位的性质叫做虚数单位，并规定：可与实数进行四则运算；这样方程就有解了，解为或2、复数的概念（1）定义：形如(a，bR)的数叫做复数，其中叫做虚数单位，a叫做 ，b叫做 。全体复数所成的集合叫做复数集。复数通常用字母表示，即(a，bR)对于复数的定义要注意以下几点：(a，bR)被称为复数的代数形式，其中表示与虚数单位相乘复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式（2）分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类abi为实数b0abi为虚数b0abi为纯虚数a0且b0例题：当实数为何值时，复数是实数？虚数？纯虚数？2、 复数相等也就是说，两个复数相等，充
2、要条件是他们的实部和虚部分别相等注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小例题：已知求的值3、 共轭复数与共轭的共轭复数记作，且4、 复数的几何意义1、 复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。2、 复数的几何意义复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量）相等的向量表示同一个复数例题：（1）当实数为何值时，复平面内表示复数的点 位于第三象限；位于直线上 （2）复平面内，已知，求对应的复数3、 复数的
3、模：向量的模叫做复数的模，记作或，表示点到原点的距离，即，若，则表示到的距离，即例题：已知，求的值5、 复数的运算（1）运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，c，dR（2）几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即，.6、 常用结论（1），求，只需将除以4看余数是几就是的几次例题：（2） ，（3） ，【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)方程x2x10没有解.( )(2)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( )(
4、4)原点是实轴与虚轴的交点.( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )【考点自测】1.(2015安徽)设i是虚数单位，则复数(1i)(12i)等于()A.33i B.13i C.3i D.1i2.(2015课标全国)已知复数z满足(z1)i1i，则z等于()A.2i B.2i C.2i D.2i3.在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A.48i B.82i C.24i D.4i4.已知a，bR，i是虚数单位.若ai2bi，则(abi)2等于()A.34i B.34i C.43i D
5、.43i5.已知(12i)43i，则z_.【题型分析】题型一复数的概念例1(1)设i是虚数单位.若复数za(aR)是纯虚数，则a的值为()A.3 B.1 C.1 D.3(2)已知aR，复数z12ai，z212i，若为纯虚数，则复数的虚部为()A.1 B.i C. D.0(3)若z1(m2m1)(m2m4)i(mR)，z232i，则“m1”是“z1z2”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件引申探究1.对本例(1)中的复数z，若|z|，求a的值.2.在本例(2)中，若为实数，则a_.思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置
6、都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部.(1)若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为()A.1 B.0 C.1 D.1或1(2)(2014浙江)已知i是虚数单位，a，bR，则“ab1”是“(abi)22i”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2015湖北)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A.i B.i C.1 D.1(2)(20
7、15北京)复数i(2i)等于()A.12i B.12i C.12i D.12i命题点2复数的除法运算例3(1)(2015湖南)已知1i(i为虚数单位)，则复数z等于()A.1i B.1i C.1i D.1i(2)()6_.命题点3复数的运算与复数概念的综合问题例4(1)(2015天津)i是虚数单位，若复数(12i)(ai)是纯虚数，则实数a的值为_.(2)(2014江苏)已知复数z(52i)2(i为虚数单位)，则z的实部为_.命题点4复数的综合运算例5(1)(2014安徽)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数.若z1i，则i等于()A.2 B.2i C.2 D.2i(2)若复数z满足(34i)
8、z|43i|，则z的虚部为()A.4 B. C.4 D.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为abi(a，bR)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为abi(a，bR)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用
9、复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2015山东)若复数z满足i，其中i为虚数单位，则z等于()A.1i B.1i C.1i D.1i(2)2 016_.(3)2 016_.题型三复数的几何意义例6(1)(2014重庆)实部为2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限(2)ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|zz1|zz2|zz3|，则z对应的点为ABC的()A.内心 B.垂心 C.重心 D.外心思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一
10、对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A.A B.B C.C D.D(2)已知z是复数，z2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【思想与方法】 解决复数问题的实数化思想典例已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y.思维点拨(1)x，y为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最
11、基本的思想方法.(2)本题求解的关键是先把x、y用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2.复数zabi(a，bR)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数zabi(a，bR)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识.3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则，其方向是应注
12、意的问题，平移往往和加法、减法相结合.【失误与防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比较大小.3.注意复数的虚部是指在abi(a，bR)中的实数b，即虚部是一个实数.【巩固练习】1.(2015福建)若(1i)(23i)abi(a，bR，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于()A.3，2 B.3,2C.3，3 D.1,42.设zi，则|z|等于()A. B. C. D.23.(2015课标全国)若a为实数，且(2ai)(a2i)4i，则a等于()A.1 B.0 C.1 D.24.若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是
13、()A.E B.F C.G D.H5.(2014江西)是z的共轭复数，若z2，(z)i2(i为虚数单位)，则z等于()A.1i B.1i C.1i D.1i6.(2015江苏)设复数z满足z234i(i是虚数单位)，则z的模为_.7.若abi(a，b为实数，i为虚数单位)，则ab_.8.复数(3i)m(2i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是_.9.计算：(1)；(2)； (3)；(4).10.复数z1(10a2)i，z2(2a5)i，若1z2是实数，求实数a的值.【能力提升】11.复数z1，z2满足z1m(4m2)i，z22cos (3sin )i(m，R)，并且z1z2，则的取值范
14、围是()A.1,1 B. C. D.12.设f(n)nn(nN*)，则集合f(n)中元素的个数为()A.1 B.2 C.3 D.无数个13.已知复数zxyi，且|z2|，则的最大值为_.14.设aR，若复数z在复平面内对应的点在直线xy0上，则a的值为_.15.若1i是关于x的实系数方程x2bxc0的一个复数根，则b_，c_.【巩固练习参考答案】1A. 2.B. 3.B. 4.D. 5.D. 6. 7.3. 8.m.9.解(1)13i.(2)i.(3)1.(4)i.10.解1z2(a210)i(2a5)i(a210)(2a5)i(a22a15)i.1z2是实数，a22a150，解得a5或a3.又(a5)(a1)0，a5且a1，故a3.11.解析由复数相等的充要条件可得 化简得44cos23sin ，由此可得4cos23sin 44(1sin2)3sin 44sin23sin 42，因为sin 1,1，所以4sin23sin . 答案C12.解析f(n)nnin(i)n，f(1)0，f(2)2，f(3)0，f(4)2，f(5)0， 集合中共有3个元素. 答案C13.解析|z2|，(x2)2y23.由图可知max.14.解析zi，依题意得0，a0.15.解析实系数一元二次方程x2bxc0的一个虚根为1i，其共轭复数1i也是方程的根.由根与系数的关系知，b2，c3. 11
