1、抛物线专题复习讲义及练习知识梳理1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ()：标准方程图形焦点准线范围对称轴轴轴顶点 （0，0）离心率2.抛物线的焦半径、焦点弦的焦半径;的焦半径； 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p. AB为抛物线的焦点弦，则 ，=重难点突破重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质难点: 与焦点有关的计算与论证重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质1.要有用定义的意识问题1：抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( ) A. B. C. D. 0点拨：抛物
2、线的标准方程为，准线方程为,由定义知，点M到准线的距离为1，所以点M的纵坐标是2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有 点拨：抛物线的类型一共有4种，经过第一象限的抛物线有2种，故满足条件的抛物线有2条3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路”问题3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切点拨：设为抛物线的焦点弦，F为抛物线的焦点，点分别是点在准线上的射影，弦的中点为M，则，点M到准线的距离为，以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切热点考点题型探析考点1 抛物线的定义题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦
3、点的距离与到准线的距离之间的转换例1 已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为 【解题思路】将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离解析过点P作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，当P点为抛物线与垂线的交点时，取得最小值，最小值为点Q到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关【新题导练】1.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、成等差数列， 则有 （）A B C D. 解析C 由抛物线定义，
4、即： 2. 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,M点坐标是 ( )A. B. C. D. 解析 设M到准线的距离为,则，当最小时，M点坐标是，选C考点2 抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.解析 (1)设所求的抛物线的方程为或, 过点(-3,2) 抛物线方程为或,前者的准线方程是后者的准线方程为 (2)令得，令得， 抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时, ，此时抛物线方程;焦点为(0,-
5、2)时 ，此时抛物线方程. 所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是.【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面【新题导练】3.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值 解析4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上； 焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5； 由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为y2=10x的条件是_.（要求填写合适条件的序号）解析 用排除法，由抛物线方程y2=10x可排除，从而满足条件.5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求
6、此抛物线的方程解析 设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点A的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或考点3 抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证例3 设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为_.【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置解析设直线OA方程为,由解出A点坐标为解出B点坐标为，直线AB方程为,令得，直线AB必过的定点【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B点坐标可由A点坐标用换k而得。【新题导练】6. 若直线经过抛物线的焦点，则实数 解析-17.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物
7、线准线上的射影为,则 ( ) A. B. C. D. 解析C基础巩固训练1.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（ ）A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在解析C ，而通径的长为42.在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6解析 B 利用抛物线的定义，点P到准线的距离为5，故点P的纵坐标为43.两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且则抛物线的焦点坐标为( ) A B C D解析 D. 4. 如果，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，F是抛
8、物线的焦点，若成等差数列且，则=（ ）A5 B6 C 7 D9 解析B 根据抛物线的定义，可知（，2，n），成等差数列且,=65、抛物线准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，ABl，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于（ ）A B C D解析 C. 过A作x轴的垂线交x轴于点H，设，则，四边形ABEF的面积=6、设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为 解析. 过A 作轴于D，令，则即，解得综合提高训练7.在抛物线上求一点，使该点到直线的距离为最短，求该点的坐标解析解法1：设抛物线上的点，点到直线的距离，当且仅
9、当时取等号，故所求的点为解法2：当平行于直线且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为，代入抛物线方程得，由得，故所求的点为9. 设抛物线（）的焦点为 F，经过点 F的直线交抛物线于A、B两点点 C在抛物线的准线上，且BCX轴证明直线AC经过原点O证明:因为抛物线（）的焦点为，所以经过点F的直线AB的方程可设为，代人抛物线方程得 若记，则是该方程的两个根，所以因为BCX轴，且点C在准线上，所以点C的坐标为，故直线CO的斜率为即也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O10.椭圆上有一点M（-4，）在抛物线（p0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.（1）求椭圆方程；（2）若点
10、N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q距离，求|MN|+|NQ|的最小值.解：（1）上的点M在抛物线（p0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.c=-4，p=8M（-4，）在椭圆上由解得：a=5、b=3椭圆为由p=8得抛物线为 设椭圆焦点为F（4，0），由椭圆定义得|NQ|=|NF|MN|+|NQ|MN|+|NF|=|MF|=，即为所求的最小值.参考例题：1、已知抛物线C的一个焦点为F（，0），对应于这个焦点的准线方程为x=-.（1）写出抛物线C的方程；（2）过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求AOB重心G的轨迹方程；解：（1）抛物线方程为：y2=2x. （4分）（2）
11、当直线不垂直于x轴时，设方程为y=k(x-)，代入y2=2x，得：k2x2-(k2+2)x+.设A（x1，y1），B(x2，y2)，则x1+x2=，y1+y2=k(x1+x2-1)=.设AOB的重心为G（x，y）则，消去k得y2=为所求， （6分）当直线垂直于x轴时，A（，1），B（，-1）， （8分）AOB的重心G（，0）也满足上述方程.综合得，所求的轨迹方程为y2=， （9分）抛物线专题练习一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（ ）A（1, 0）B（2, 0）C（3, 0）D（1, 0）2圆心在抛物线y 2=2
12、x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）Ax2+ y 2-x-2 y -=0Bx2+ y 2+x-2 y +1=0 Cx2+ y 2-x-2 y +1=0Dx2+ y 2-x-2 y +=03抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（ ）A（1，1）B（）CD（2，4）4一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（ ）AmB 2mC4.5mD9m5平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是（ ）A y 2=2xB y 2=4xCy 2=8x Dy 2=16x6抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点
13、距离是6，则抛物线的方程是（ ）A y 2=-2xB y 2=-4x C y 2=2xD y 2=-4x或y 2=-36x7过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|=（ ）A8B10C6 D48把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a平移，所得的曲线的方程是（ ）ABCD 9过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有（ ）A0条B1条C2条D3条10过抛物线y =ax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（ ）A2aB C4a D
14、 二、填空题11抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为 12抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 13P是抛物线y 2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点Q的坐标是 14抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 一选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案ADABCBACCC二填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）112 12 13（1，0） 14 三、解答题15已知动圆M与直线y =2相切，且与定圆C：外切，求动圆圆心M的轨迹
15、方程 解析：设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其方程为16已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值（12分）解析：设抛物线方程为，则焦点F（），由题意可得 ，解之得或， 故所求的抛物线方程为，17动直线y =a，与抛物线相交于A点，动点B的坐标是，求线段AB中点M的轨迹的方程(12分)解析：设M的坐标为（x，y），A（，），又B得 消去，得轨迹方程为，即19如图，直线l1和l2相交
16、于点M，l1l2，点Nl1以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等若AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6建立适当的坐标系，求曲线段C的方程(14分)解析：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点由题意可知：曲线C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点设曲线段C的方程为， 其中分别为A、B的横坐标， 所以， 由，得 联立解得将其代入式并由p0解得，或因为AMN为锐角三角形，所以，故舍去 p=4，由点B在曲线段C上，得综上得曲线段C的方程为20已知抛物线过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，（）求的取值范围；（）若线段AB的垂直平分线交轴于点N，求面积的最大值(14分)解析：（）直线的方程为，将，得 设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、，则 又， ， 解得 （）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为，则由中点坐标公式，得， 又 为等腰直角三角形， ， 即面积最大值为
