1、高考高中数学基础知识归纳第一部分 集合1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？ 2 .数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决3.(1) 元素与集合的关系：,.（2）德摩根公式： .（3）注意：讨论的时候不要遗忘了的情况.（4）集合的子集个数共有 个；真子集有1个；非空子集有 1个；非空真子集有2个.4是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.第二部分 函数1映射：注意: 第一个集合中的元素必须有象；一对一或多对
2、一.2函数值域的求法：分析法 ；配方法 ；判别式法 ；利用函数单调性 ；换元法 ；利用均值不等式 ； 利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；利用函数有界性（、等）；平方法； 导数法3复合函数的有关问题:（1）复合函数定义域求法： 若f(x)的定义域为a，b,则复合函数fg(x)的定义域由不等式a g(x) b解出 若fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相当于xa,b时，求g(x)的值域.（2）复合函数单调性的判定：首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.4分段函数
3、：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5函数的奇偶性:函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件是奇函数；是偶函数.奇函数在0处有定义，则在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性6函数的单调性:单调性的定义：在区间上是增函数当时有；在区间上是减函数当时有；单调性的判定：定义法：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；导数法（见导数部分）；复合函数法；图像法注：证明单调性主要用定义法和导数法。7函数的周期性：(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有 （其中为非零常
4、数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期： ； ； ；(3)与周期有关的结论：或 的周期为8基本初等函数的图像与性质：.指数函数：；对数函数:；幂函数： （ ；正弦函数:；余弦函数： ；（6）正切函数：；一元二次函数：（a0）；其它常用函数： 正比例函数：；反比例函数：；函数.分数指数幂：；（以上，且）. .； ； .对数的换底公式:.对数恒等式:.9二次函数：解析式：一般式：；顶点式：，为顶点；零点式： （a0）.二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式
5、；两根符号。二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是。10函数图象： 图象作法 ：描点法 （特别注意三角函数的五点作图）图象变换法 导数法图象变换： 平移变换：)，左“+”右“”； ) 上“+”下“”； 对称变换：)；)；) ； )； 翻折变换：)（去左翻右）y轴右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；)（留上翻下）x轴上不动，下向上翻（|在下面无图象）；11函数图象（曲线）对称性的证明：(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明函数与图象的对称性，即证明图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在的图象上，反之亦然。注：曲线C1:f(x,y
6、)=0关于原点（0,0）的对称曲线C2方程为：f(x,y)=0;曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为：f(x, y)=0; 曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为：f(x, y)=0;曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为：f(y, x)=0f(a+x)=f(bx) （xR）y=f(x)图像关于直线x=对称；特别地：f(a+x)=f(ax) （xR）y=f(x)图像关于直线x=a对称.的图象关于点对称.特别地：的图象关于点对称.函数与函数的图象关于直线对称; 函数与函数的图象关于直线对称。12函数零点的求法：直接法（求的根）；
7、图象法；二分法.(4)零点定理：若y=f(x)在a,b上满足f(a)f(b)07圆的方程的求法：待定系数法；几何法。 8点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）点在圆上；点在圆内；点在圆外。直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）相切；相交；相离。圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）相离；外切；相交；内切；内含。9直线与圆相交所得弦长第六部分 圆锥曲线1定义：椭圆：；双曲线：； 抛物线：|MF|=d2结论 ：直线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为,则,或, 或.注：抛物线：x1+x2+p；通径（最短弦）：）椭圆、双曲线：；）抛物线：
8、2p.过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： （同时大于0时表示椭圆；时表示双曲线）；当点与椭圆短轴顶点重合时最大； 双曲线中的结论：双曲线（a0,b0）的渐近线：； 共渐进线的双曲线标准方程可设为为参数， 0）；双曲线为等轴双曲线渐近线互相垂直；焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。3直线与圆锥曲线问题解法：直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。注意以下问题：联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程？直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？设而不求（点差法-代点作差法）：-处理弦中点问题步骤如下：设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；作差得；解决问
9、题。4求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（又称相关点法或坐标转移法）；待定系数法；（5）消参法；（6）交轨法；（7）几何法。第七部分 平面向量1.平面上两点间的距离公式:，其中A，B.2.向量的平行与垂直： 设=,=，且，则：=； ()=0.3.ab=|a|b|cos=xx2+y1y2； 注：|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影；ab的几何意义：ab等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。4.cos=；5.三点共线的充要条件：P，A，B三点共线。 第八部分 数列1定义：等比数列 2等差、等比
10、数列性质： 等差数列 等比数列通项公式 前n项和 性质 an=am+ (nm)d, an=amqn-m; m+n=p+q时am+an=ap+aq m+n=p+q时aman=apaq 成AP 成GP 成AP, 成GP,3常见数列通项的求法：an=S1 (n=1)SnSn-1 (n2)定义法（利用AP,GP的定义）；累加法（型）；公式法： 累乘法（型）；待定系数法（型）转化为（6）间接法（例如：）；（7）（理科）数学归纳法。4前项和的求法：分组求和法；错位相减法；裂项法。5等差数列前n项和最值的求法：最大值 ；利用二次函数的图象与性质。 第九部分 不等式1均值不等式：注意：一正二定三相等；变形：。
11、2极值定理：已知都是正数，则有：(1)如果积是定值，那么当时和有最小值；(2)如果和是定值，那么当时积有最大值.3.解一元二次不等式:若,则对于解集不是全集或空集时,对应的解集为“大两边，小中间”.如:当,；.4.含有绝对值的不等式：当时，有：； 或.5.分式不等式：（1）； （2）；（3） ； （4）.6.指数不等式与对数不等式 (1)当时,；.(2)当时,；3不等式的性质：；; 第十部分 复数1概念：z=a+biRb=0 (a,bR)z= z2 0；z=a+bi是虚数b 0(a,bR)；z=a+bi是纯虚数a=0且b 0(a,bR)z0（z 0）z20)（1），则的周期T=a；（2），或，
12、或,则的周期T=2a；11.等差数列的通项公式:,或.前n项和公式: .12.设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项的和，是前n项的和，则前n项的和；当n为偶数时，其中d为公差；当n为奇数时，则， （其中是等差数列的中间一项）13.若等差数列和的前项的和分别为和 ，则.14.数列是等比数列，是其前n项的和，那么（）=.15.分期付款(按揭贷款)： 每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为).16.裂项法：； ； ；.17常见三角不等式:（1）若，则.(2) 若，则.(3) .18.正弦、余弦的诱导公式：；.即:“奇变偶不变,符号看象限”.如,.19.万能公式:；（正切倍角公式）.20.半角公式
13、:.21.三角函数变换:相位变换:的图象的图象；周期变换:的图象的图象；振幅变换:的图象的图象.22.在ABC中，有；（注意是在中）.23.线段的定比分点公式：设，是线段的分点,是实数，且，则（其中）.24.若，则、共线的充要条件是.25.三角形的重心坐标公式: ABC三个顶点的坐标分别为、,则其重心的坐标是.26.函数按向量平移后的解析式为.27.“按向量平移”的几个结论（1）点按向量a=平移后得到点.(2) 函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式为.(3) 图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为.(4) 曲线:按向量a=平移后得到图象,则的方程为.(5) 向
14、量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=.28. 三角形四“心”向量形式的充要条件：设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则：（1）为的外心.（2）为的重心.（3）为的垂心.（4）为的内心.29.常用不等式：(1)(当且仅当ab时取“=”号)(2)(当且仅当ab时取“=”号)(3) (当且仅当时取“=”号)(4) 绝对值不等式： (注意等号成立的条件).(5).（6）柯西不等式：30.最大值最小值定理:如果是闭区间上的连续函数,那么在闭区间上有最大值和最小值.40.复数的相等：.（）41.复数的模（或绝对值）：=.42.复数的四则运算法则：(1);(2);(3);(4).43.复数的乘法的运
15、算律：对于任何，有：交换律:.结合律:. 分配律: .44.复平面上的两点间的距离公式 ：（，）.45.向量的垂直： 非零复数，对应的向量分别是，则 的实部为零为纯虚数 (为非零实数).46.对虚数单位,有.47.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.如 与互为共轭复数.48.或.49.或所表示的平面区域：设直线，则或所表示的平面区域是：若，当与同号时，表示直线的上方的区域；当与异号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若，当与同号时，表示直线的右方的区域；当与异号时，表示直线的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.50. 圆的方程的四种
16、形式：（1）圆的标准方程:.（2）圆的一般方程:(0).（3）圆的参数方程:.（4）圆的直径式方程:(圆的直径的端点是、).51.圆中有关重要结论:(1)若P(,)是圆上的点,则过点P(,)的切线方程为.(2)若P(,)是圆上的点,则过点P(,)的切线方程为.(3)若P(,)是圆外一点,由P(,)向圆引两条切线, 切点分别为A、B，则直线AB的方程为.(4)若P(,)是圆外一点, 由P(,)向圆引两条切线, 切点分别为A、B，则直线AB的方程为.52.圆的切线方程：(1)已知圆若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是 .当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程过圆外一点的切线方程可设为，再利用
17、相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线(2)已知圆，过圆上的点的切线方程为.53.椭圆的参数方程是.55. 椭圆的切线方程 ：(1)椭圆上一点处的切线方程是.（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）椭圆与直线相切的条件是.56.57.(1)双曲线的渐近线方程为；(2)双曲线的渐近线方程为.58. 双曲线的切线方程：(1)双曲线上一点处的切线方程是. （2过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是. （3）双曲线与直线相切的条件是.59.(1)P是椭圆上一点,F、F是它的两个焦点,FP F=，则P F F的
18、面积=.(2)P是双曲线上一点,F、F是它的两个焦点,FP F=，则P F F的面积=.60.抛物线上的动点可设为P或.61.(1)P(,)是抛物线上的一点,是它的焦点,则；(2)抛物线的焦点弦长,其中是焦点弦与x轴的夹角；(3) 抛物线的通径长为.62. 抛物线的切线方程：(1) 抛物线上一点处的切线方程是.（2）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）抛物线与直线相切的条件是.63.圆锥曲线关于点成中心对称的曲线是.64.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线关于点成中心对称的曲线是.（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是：.65.“四线”一方程： 对于一般的二次曲线，用代，用代，用代，用代
19、，用代即得方程，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.66.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足，则四点P、A、B、C共面67.空间两个向量的夹角公式:，其中，. 异面直线所成角的求法：68.直线与平面所成角满足:,其中为面的法向量.69.二面角的平面角满足: ,其中、为平面、的法向量. 70.空间两点间的距离公式:若,则.71.点Q到直线的距离:,点P在直线上,直线的方向向量,向量.72.点B到平面的距离:,为平面的法向量,是面的一条斜线,.73.(1)设直线为平面的斜线,其在平面内的射影为,与所成的角为,在平面 内,且与所成的角为,与所成的角为,则. (2)若经过的
20、顶点的直线与的两边、所在的角相等，则在所在平面上的射影为的角平分线；反之也成立.74. 面积射影定理:(平面多边形及其射影的面积分别是、，所在平面成锐二面角).75.分类计数原理:.分步计数原理:.76.排列恒等式:； ； ； .77.常见组合恒等式:; ; . (6).(7). (8)78排列数与组合数的关系是：79单条件排列：以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”：某（特）元必在某位有种；某（特）元不在某位有（补集思想） （着眼位置）（着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）：定位紧贴：个元在固定位的排列有种.浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起
21、的排法有种.此类问题常用捆绑法；插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种.（3）两组元素各相同的插空 ：个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当时，无解；当时，有种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为.80分配问题：（1）(平均分组有归属问题)将相异的个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有.（2）(平均分组无归属问题)将相异的个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有.(非平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，件，且，这个数彼此不相等，则其分
22、配方法数共有.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，件，且，这个数中分别有a、b、c、个相等，则其分配方法数有 .（5）(非平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，件无记号的堆，且，这个数彼此不相等，则其分配方法数有.81二项式定理: ；二项展开式的通项公式：.82等可能性事件的概率：.（一次试验共有n个结果等可能的出现，事件A包含其中m个结果）83互斥事件、有一个发生的概率：；个互斥事件中有一个发生的概率：；、是两个任意事件，则.84相互独立事件、同时发生的概率：；个相互独立事件同时发生的概率：（上接第8页） 第十六部分 理科选修部分1 排
23、列、组合和二项式定理：排列数公式:=n(n-1)(n-2)(n-m1)=(m n, m、nN*),当m=n时为全排列=n(n-1)(n-2)321= n!组合数公式：=(，N*，且)组合数性质：二项式定理：通项：注意二项式系数与系数的区别二项式系数的性质：（展开时有项）与首末两端等距离的二项式系数相等；若n为偶数，中间一项（第1项）二项式系数最大；若n为奇数，中间两项（第和1项）二项式系数最大；(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。2. 概率与统计：随机变量的分布列：随机变量分布列的性质：pi 0, i=1,2,3，； p1+p2+=1;离散型随机变量：Xx1X2X nPP1P2P n均值（又称期望）：EX x1p1 + x2p2 + + xn pn + ; 方差：DX ;注：；条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。注：0P（B|A）1独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。附：数学归纳法：一般的证明一个与正整数有关的一个命题，可按以下步骤进行：证明当取第一个值时命题成立；假设当命题成立，证明当时命题也成立。那么由就可以判定命题对从开始所有的正整数都成立。此证明方法叫数学归纳法。注：数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行； 的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。24
