1、 三角形五大模型 【专题知识点概述】本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。重点模型重温一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图夹在一组平行线之间的等积变形，如右图；反之，如果，则可知直线平行于等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比二、等分点结论（“鸟头定理”）如图，三角形AED占三角
2、形ABC面积的= 三、任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”） S1S2=S4S3 或者S1S3=S2S4 AOOC=（S1+S2）（S4+S3）梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”） S1S3=a2b2S1S3S2S4= a2b2abab ; S的对应份数为（a+b）2模型四：相似三角形性质如何判断相似(1)相似的基本概念：两个三角形对应边城比例，对应角相等。(2)判断相似的方法：两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；两个三角形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等则两个三角形相似。 ; S1S2=a2A2 模型五：燕尾定理SABG：SAGCSBGE：SGECBE：EC；SB
3、GA：SBGCSAGF：SGFCAF：FC；SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB；【重点难点解析】1. 模型一与其他知识混杂的各种复杂变形2. 在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”【竞赛考点挖掘】1. 三角形面积等高成比2. “鸟头定理”3. “蝴蝶定理”【习题精讲】【例1】（难度等级 ）如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.【例2】（难度等级 ）如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是_平方厘米【例3】（难度等级 ）如图，在三角形ABC中，
4、BC=8 厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？【例4】（难度等级 ）如图，在面积为1的三角形ABC中，DC=3BD,F是AD的中点，延长CF交AB边于E,求三角形AEF和三角形CDF的面积之和。【例5】（难度等级 ）如右图BE=BC，CD=AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的几分之几？【例6】（难度等级 ）如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等【例7】（难度等级 ）如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面积【例8】（难度等级 ）
5、如图，正方形ABCD的边长为4厘米，EF和BC平行， ECH的面积是7平方厘米，求EG的长。【例10】（难度等级 ）如图已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米? 【例11】（难度等级 ）如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为?【例12】（难度等级 ）如图，平行四边形ABCD周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16厘米。求平行四边形ABCD的面积。【例13】（难度等级 ）如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，ABE、ADF与四边形AECF的面积彼
6、此相等，求三角形AEF的面积.【例14】（难度等级 ）如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4，BE=3，AE=6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？【例15】（难度等级 ）某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，AOB面积为1平方千米，BOC面积为2平方千米，COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？【例16】（难度等级 ）图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部分的面积是多少平方厘米?【作业】1. 如图，三角形中，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形的面积是多少？2. 如右图所
7、示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49那么图中阴影部分的面积是多少？3. 右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米， 求三角形ABC的面积。4. 如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2CB，GD=3DC，HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2， 求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比. 5. 如图，在ABC中，延长BD=AB，CE=BC，F是AC的中点，若ABC的面积是2，则DEF的面积是多少？【例1】（难度等级 ）如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部
8、分的面积.【分析与解】 如右图，连接BH、HC，由E、F、G分别为AB、BC、CD三边的中点有AE=EB、BF=FC、CG=CD.因此S1=S2，S3=S4，S5=S6,而阴影部分面积=S2+S3+S6，空白部分面积=S1+S4+S5.所以阴影部分面积与空白部分面积相等，均为长方形的一半，即阴影部分面积为28.【例2】（难度等级 ）如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是_平方厘米【分析与解】 上排4个阴影三角形的高都等于BF，底边之和恰好为AB，他们的面积之和为；下排4个三角形的高都等于CF，底边之和恰好为CD，他们的面积之和为.所以阴
9、影部分面积为:(平方厘米).【例3】（难度等级 ）如图，在三角形ABC中，BC=8 厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？【分析与解】首先，平方厘米，而F是AC中点，所以.又E是AB中点，所以平方厘米. 【例4】（难度等级 ）如图，在面积为1的三角形ABC中，DC=3BD,F是AD的中点，延长CF交AB边于E,求三角形AEF和三角形CDF的面积之和。【分析与解】 连接DE,于是三角形AEF的面积=三角形EFD的面积，所求被转化为三角形EDC的面积。因为F是AD中点，所以三角形AEC的面积和三角形EDC的面积相等，设SBDE为1份,则SAEC=S
10、EDC为3份 因此SABC一共7份，每份面积为 所以SEDC占3份为。【例5】（难度等级 ）如右图BE=BC，CD=AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的几分之几？【分析与解】 上图中，三角形AEC与三角形ABC的高相等，而BE=BC，于是EC=BC， 又由于三角形AED与三角形AEC的高相等，而CD=AC,于是AD=AC, 所以，三角形AED的面积=三角形AEC的面积=三角形ABC的面积 =三角形ABC的面积 【例6】（难度等级 ）如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等【分析与解】连接BE显然有，所以【例7】（难度等级 ）如图，在长方形ABCD中，
11、Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面积【分析与解】平方厘米因为Y是BD中点，Z是DY中点，所以【例8】（难度等级 ）如图，正方形ABCD的边长为4厘米，EF和BC平行， ECH的面积是7平方厘米，求EG的长。【分析与解】EGAE +EGEB = 7平方厘米即EGAB=7平方厘米；EG=3.5厘米【例10】（难度等级 ）如图已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米? 【分析与解】 连接CF由ABCD和CEFG都是正方形有所以.由平行线间距离相等知三角形BDF和三角形BDC
12、同底等高所以【例11】（难度等级 ）如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为?【分析与解】 如右图，已知a+b+x=23+a+32+12+b所以 x=23+32+12 x=67.【例12】（难度等级 ）如图，平行四边形ABCD周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16厘米。求平行四边形ABCD的面积。【分析与解】BC14=CD16，BC：CD=16：14，BC+CD=，BC=20ABCD面积=1420=280（平方厘米）【例13】（难度等级 ）如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，ABE、ADF与四边形AECF的面积彼此相等，
13、求三角形AEF的面积.【分析与解】因为ABE、ADF与四边形AECF的面积彼此相等，所以四边形AECF的面积与ABE、ADF的面积都等于正方形面积的三分之一，也就是： 在ABE中，因为AB6.所以BE4，同理DF4，因此CECF2，ECF的面积为2222所以（平方厘米）【例14】（难度等级 ）如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4，BE=3，AE=6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？【分析与解】由BD=DC有；由，有.由鸟头定理有，故.【例15】（难度等级 ）某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，AOB面积为1平方千米，BOC面积为2平方
14、千米，COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析与解】由任意四边形的蝴蝶定理有所以平方千米，故公园总面积为平方千米，人工湖面积为平方千米【例16】（难度等级 ）图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG设AEG的面积为x，显然EBG、BFG、FCG的面积均为x，则ABF的面积为3x，即，那么正方形内空白部分的面积为. 所以原题中阴影部分面积为 (平方厘米)【作业】1. 如图，三角形中，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形的面积是多少？【答案】1202. 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49那么图中阴影部分的面积是多少？【答案】973. 右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米， 求三角形ABC的面积。【答案】84. 如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2CB，GD=3DC，HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2， 求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比. 【答案】1：176. 如图，在ABC中，延长BD=AB，CE=BC，F是AC的中点，若ABC的面积是2，则DEF的面积是多少？【答案】3.514
