1、代几综合知识点精一、二次函数的定义黑体小四一般地，形如（为常数，）的函数称为的二次函数，其中为自变量，为因变量，、分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数注意：和一元二次方程类似，二次项系数，而、可以为零二次函数的自变量的取值范围是全体实数黑体小四二、二次函数的图象黑体小四1二次函数图象与系数的关系（1）决定抛物线的开口方向当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下反之亦然决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大温馨提示：几条抛物线的解析式中，若相等，则其形状相同，即若相等，则开口及形状相同，若互为相反数，则形状相同、开口相反（2）和共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线
2、的对称轴：）当时，抛物线的对称轴为轴；当、同号时，对称轴在轴的左侧；当、异号时，对称轴在轴的右侧（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置（抛物线与轴的交点坐标为）当时，抛物线与轴的交点为原点；当时，交点在轴的正半轴；当时，交点在轴的负半轴2.二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点3.点的坐标设法 一次函数（）图像上的
3、任意点可设为.其中时，该点为直线与轴交点. 二次函数（）图像上的任意一点可设为.时，该点为抛物线与轴交点，当时，该点为抛物线顶点 点关于的对称点为4.二次函数的图象信息 根据抛物线的开口方向判断的正负性 根据抛物线的对称轴判断的大小 根据抛物线与轴的交点，判断的大小 根据抛物线与轴有无交点，判断的正负性 根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于的等式 根据抛物线的顶点，判断的大小三、二次函数的图象及性质1 二次函数的性质：抛物线的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是（ 轴）函数的图像与的符号关系当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点；的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
4、向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3 二次函数或（）的性质开口方向： 对称轴：（或）顶点坐标：（或）最值： 时有最小值（或）（如图1）； 时有最大值（或）（如图2）；单调性：二次函数（）的变化情况（增减性）如图1所示，当时，对称轴左侧，随着的增大而减小，在对称轴的右侧 ，随的增大而增大；如图2所示，当时，对称轴左侧， y随着x的增大而增大，在对称轴的右
5、侧，随的增大而减小；与坐标轴的交点：与轴的交点：（0，C）；与轴的交点：使方程（或）成立的值点睛提分一、动点与特殊图形的存在性问题这部分压轴题的主要特别是先求函数的解析式，然后在函数的图象上探求符合几何条件的点。1、动点与等腰三角形问题兵法：1.画出图形，需要分类讨论，已知边为底，则利用中垂线找出另一个点已知边为腰时，有两种情况，分两个端点去画圆，交点即为要求的点2.设出要求点的坐标，然后利用两点间距离公式求出点的坐标或者作出高线利用相似三角形来求解【例1】 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的等边OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上另一等腰OCA的顶点C在第四象限，O
6、CAC，C120现有两动点P，Q分别从A，O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿AOB运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.（1）求在运动过程中形成的OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边OAB的边上（点A除外）存在点D，使得OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图，现有MCN60，其两边分别与OB，AB交于点M，N，连接MN将MCN绕着C点旋转（0旋转角60），使得M，N始终在边OB和边AB上试判断在这一过程中，BMN的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发
7、生变化，请说明理由AQCBPOAxy图AMCBNOAxy图AQCBPOAxy图ED【解析】 （1）如图，过点C作CDOA于点DOCAC，ACO120，AOCOAC30OCAC，CDOA，ODDA1在RtODC中，OC （）当0t 时，OQt，AP3t，OP23t过点Q作QEOA于点E，则EQtSOPQ OPEQ(23t)tt 2tAQCBPOAxy图即S t 2t （）当t 时，如图，OQt，OP3t2BOA60，AOC30，POQ90SOPQ OQOPt(3t2)t 2t即S t 2t故当0t 时，S t 2t，当t 时，S t 2t （2）D（，1）或（，0）或（，0）或（，）AMCBNO
8、Axy图F（3）BMN的周长不发生变化如图，延长BA至点F，使AFOM，连结CFMOCFAC90，OCAC，MOCFACMCCF，MCOFCA FCNFCANCAMCONCAOCAMCN60FCNMCN又MCCF，CNCN，MCNFCNMNNF BMMNBNBMNFBNBOOMBAAFBABO4BMN的周长不变，其周长为4 【例2】 如图，在矩形ABCD中，ABm（m是大于0的常数），BC8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）连结DE，作EFDE，EF与射线BA交于点F，设CEx，BFy（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若y，要使DE
9、F为等腰三角形，m的值应为多少？ABCDEF【解析】 （1）EFDE，DEF90，BEFCED90BEFBFE90，BFECED又BC90，RtBFERtCEDABCDEF，即yx 2x （2）若m8，则yx 2x( x4)22当x4时，y的值最大，y最大2 （3）若y，则x 2xx 28x120，解得x12，x26 DEF中FED是直角，要使DEF为等腰三角形，只能DEEF此时RtBFERtCED当EC2时，mCDBE6 当EC6时，mCDBE2即m的值应为6或2时，DEF是等腰三角形 【例3】 已知抛物线yax 2bxc（a0）的图象经过点B（12，0）和C（0，6），对称轴为x2（1）求
10、该抛物线的解析式：（2）点D在线段AB上且ADAC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线x1上是否存在点M，使MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由CAByxOPDQ【解析】 （1）方法一：抛物线过C（0，6），c6，即yax 2bx6由 解得a，bCAByxOPDQHEFM2M4M5M3M1x1该抛物线的解析式为yx 2x6 方法二：A、
11、B关于x2对称，A（8，0）设ya(x8)(x12)，C（0，6）在抛物线上6a(08)(012)，a该抛物线的解析式为y(x8)(x12)即yx 2x6 （2）存在，设直线CD垂直平分PQ在RtAOC中，AC10AD点D在对称轴上，连结DQ，显然PDCQDC由已知PDCACDQDCACD，DQAC DBABAD201010DQ为ABC的中位线，DQAC5 APADPDADDQ1055，t515（秒）存在t5秒时，线段PQ被直线CD垂直平分在RtBOC中，BC，CQ点Q的运动速度为每秒单位长度（3）存在 过点Q作QHx轴于H，则QH3，PH9在RtPQH中，PQ 当MPMQ，即M为顶点时设直线
12、CD的解析式为ykxm（k0）则： 解得 y3x6当x1时，y3，M1（1，3）当PQ为等腰MPQ的腰且P为顶点时设直线x1上存在点M（1，y），由勾股定理得：4 2y 2()2，yM2（1，），M3（1，）当PQ为等腰MPQ的腰且Q为顶点时过点Q作QEy轴于E，交直线x1于F，则F（1，3）设直线x1上存在点M（1，y），由勾股定理得：5 2( y3)2()2，y3M4（1，3），M5（1，3）综上所述，存在点M，使MPQ为等腰三角形，点M的坐标为：M1（1，3），M2（1，），M3（1，），M4（1，3），M5（1，3）【例4】 如图，在RtABC中，A90，AB6，AC8，D，E分别是边
13、AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQx，QRy（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由ABCDPQEHR【解析】 （1）A90，AB6，AC8，BC10点D为AB中点，BDAB3DHBA90，BBBHDBAC，DHAC8 （2）QRAB，QRCA90 ABCDPQEHR图2又CC，RQCABC，即y关于x的函数关系式为yx68分（3）存在，分三种
14、情况：当PQPR时，过点P作PMQR于M（如图1），则QMRMABCDPQEHR图3PQMRQC90，CRQC90，PQMCcosPQMcosC，x 当PQRQ时（如图2），x6，x6 当PRQR时（如图3），则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点CRCEAC2tanC，x综上所述，当x或6或时，PQR为等腰三角形【例5】 如图，已知抛物线yx 2bxc与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，1）（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DEx轴于点D，连结DC，当DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P
15、，使ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由DBCOAyxEBCOA备用图yx【解析】 （1）抛物线yx 2bxc经过点A（2，0），C（0，1）解得：b，c1 抛物线的解析式为yx 2x1 （2）设点D的坐标为（m，0）（0m2），则ODm，AD2m由ADEAOC得，DE DCE的面积mm 2m(m1)2当m1时，DCE的面积最大点D的坐标为（1，0）BCOA图1yxP2P1H（3）存在在yx 2x1中，令y0，得x 2x10解得x11，x22，点B的坐标为（1，0）设直线BC的解析式为ykxb则 解得k1，b1直线BC的解析式为yx1在RtAOC中，由勾股定理得：AC点
16、B（1，0），点C（0，1），OBOC BCO45BCOA图2yxP3GA当以C为顶点且PCAC时，如图1设P（n，n1），过点P作PHy轴于H则HCPBCO45，CHPH| n |在RtPCH中，n 2n 2()2，解得n1，n2P1（，1），P2（，1）当以A为顶点且ACAP时，如图2设P（t，t1），过点P作PGx轴于G则AG| 2t|，GP| t1|BCOA图3yxMNP4在RtAPG中，AG 2PG 2AP 2(2t)2(t1)25，解得：t11，t20（舍去）P3（1，2）当以P为顶点时，PCPA，如图3设P（x，x1），过点P作PMy轴于M，PNx轴于N则N（x，0）C为等腰直角
17、三角形，PMCMx，PAPCxAN| x2|，PN| x1|在RtPAN中，AN 2PN 2PA 2(x2)2(x1)2(x)2，解得：xP4（，）综上所述，在直线BC上存在点P，使ACP为等腰三角形，点P的坐标为：P1（，1），P2（，1），P3（1，2），P4（，）2、动点与直角三角形问题兵法：1分直角顶点进行讨论，分别画出图形2利用相似或勾股定理逆定理3.利用直线垂直，斜率k相乘为-1【例1】 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA4，OC2点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时
18、间是t秒将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；（2）求t为何值时，DPA的面积最大，最大为多少？（3）在点P从O向A运动的过程中，DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值；若不能，请说明理由；（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长ADCBOAPxy【解析】 （1）过D作DEx轴于E，则PEDCOPADCBOA，PECO1，DEPOt故D（t1，）（2）SPADE(4t)t 2t(t2)21 当t2时，S最大，最大值为1 （3）CPD90，DPACPO90，DPA90，故有以下两种情况：当PDA9
19、0时，由勾股定理得PD 2DA 2PA 2又PD 2PE 2DE 21t 2，DA 2DE 2EA 2t 2(3t)2，PA 2(4t)21t 2t 2(3t)2(4t)2， 即t 24t120，解得t12，t26（不合题意，舍去）当PAD90时，点D在BA上，故AE3t0，得t3综上所述，当t2秒或3秒时，DPA为直角三角形 （4） 【例2】 如图，直线yx1与抛物线yax 2bx4都经过点A（1，0）、C（3，4）（1）求抛物线的解析式；（2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值；（3）当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使PC
20、Q是以PC为直角边的直角三角形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由xyCBAOECPC（1）抛物线yax 2bx4经过点A（1，0）、C（3，4）xyCBAOECPCDCQ1Q2(Q3)FCGCH 解得 抛物线的解析式为yx 23x4（2）设P（m，m1），则E（m，m 23m4）PEm1(m 23m4)m 22m3(m1)24 当m1时，线段PE的长度有最大值4 （3）假设存在符合条件的Q点，有两种情况：设直线PE交x轴于点D，由（2）知点P的坐标为（1，2），DP2，过点P作AC的垂线，交抛物线于点Q1、Q2，交x轴于点F在RtADP中，ADDP2，DAP45AFP45，DFD
21、P2点F的坐标为（3，0）直线PF的解析式为yx3 令x3x 23x4，解得 Q1（2，1），Q2（2，1）过点C作AC的垂线，交抛物线于点Q3、交y轴于点G，过点C作y轴的垂线，垂足为H则HGHC3，OG437点G的坐标为（0，7）直线CG的解析式为yx7 令x7x 23x4，解得 （即为C点，舍去）Q3（1，6）综上所述，满足条件的点Q有三个：Q1（2，1），Q2（2，1），Q3（1，6）【例3】 在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx 2xm 23m2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线上（1）求点B的坐标；（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的
22、垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得EDPE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FMQF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，
23、求此刻t的值yxO11【解析】 （1）抛物线yx 2xm 23m2经过原点m 23m20，解得m11，m22由题意知m11，m2抛物线的解析式为yx 2x点B（2，n）在抛物线yx 2x上，n4点B的坐标为（2，4）2分（2）设直线OB的解析式为yk1x求得直线OB的解析式为y2xA点是抛物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为（10，0）设P点的坐标为（a，0），则E点的坐标为（a，2a）根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1 DBCOA11图1yxPE可求得点C的坐标为（3a，2a）由C点在抛物线上，得2a(3a)23a即a 2a0，解得a1，a20（舍去）OP 依题意作等腰直角三角形QM
24、N设直线AB的解析式为yk2xb由点A（10，0），点B（2，4），求得直线AB的解析式为yx5当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：第一种情况：CD与NQ在同一条直线上，如图2所示DBCOA11图2yxEMQNFP可证DPQ为等腰直角三角形此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位PQDP4t，t4t2t10t第二种情况：PC与MN在同一条直线上，如图3所示DBCOA11图3yxMQNFP(E)(C)可证PQM为等腰直角三角形此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位OQ102tF点在直线AB上，FQt，MQ2tPQMQCQ2
25、t，t2t2t10t2第三种情况：点P、Q重合时，PD与QM在同一条直线上，如图4所示DBCOA11图4yxMEFNQ(P)此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位t2t10t综上，符合题意的t值分别为，2，【例4】 如图，对称轴为x3的抛物线yax 22x与x轴相交于点B、O（1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；（2）连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l，点P是l上一动点设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0S18时，求t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使OPQ为直角三角形且OP为直角边，若
26、存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由xyOAB（1）点B与O（0，0）关于x3对称，点B的坐标为（6，0）把B（6，0）代入yax 22x得：36a120a抛物线的解析式为yx 22x当x3时，y3 2233顶点A的坐标为（3，3）（说明：可用对称轴为x求a的值，用顶点式求顶点A的坐标）（2）设直线AB的解析式为ykxbA（3，3），B（6，0）xyOABPM图1 解得yx6直线lAB且过点O，直线l的解析式为yx点P是l上一动点且横坐标为t点P的坐标为（t，t）当P在第四象限时（t0），如图1SSAOB SBOP 636|t|93t0S18，093t18xyOABPMN图23t3，又
27、t00t3 5分当P在第二象限时（t0），如图2SSAOB SAOP SAOB SBOP636|t|3t90S18，03t9183t3，又t03t0 t的取值范围是3t0或0t3（3）存在，点Q的坐标为（3，3）或（6，0）或（3，9）【例5】 如图，抛物线ymx 22mx3m（m0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标；（2）经探究可知，BCM与ABC的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由MCBOAyx【解析】 （1）ymx 22mx3mm(x1)2
28、4m抛物线顶点M的坐标为（1，4m）抛物线ymx 22mx3m（m0）与x轴交于A、B两点当y0时，mx 22mx3m0m0，x 22x30解得x11，x23A、B两点的坐标为（1，0）、（3，0）（2）当x0时，y3m，点C的坐标为（0，3m）SABC|3(1)|3m|6|m|6m MCBOAyxND过点M作MDx轴于点D，则OD1，BDOBOD2，MD|4m|4mSBCMSBDMS梯形OCMDSOBCBDDM(OCDM)ODOBOC24m(3m4m)133m3m SBCM : SABC1 : 2 （3）存在使BCM为直角三角形的抛物线过点C作CNDM于点N，则CMN为直角三角形，CNOD1
29、，DNOC3mMNDMDNm，CM 2CN 2MN21m 2在RtOBC中，BC 2OB 2OC299m 2在RtBDM中，BM 2BD 2DM2416m 2如果BCM是直角三角形，且BMC90，那么CM 2BM2BC 2即1m 2416m 299m 2，解得mm0，m存在抛物线yx 2x使BCM为直角三角形如果BCM是直角三角形，且BCM90，那么BC 2CM2BM 2即99m 21m 2416m 2，解得m1m0，m1存在抛物线yx 22x3使BCM为直角三角形如果BCM是直角三角形，且CBM90，那么BC 2BM2CM 2即99m 2416m 21m 2，整理得m 2，此方程无解以CBM
30、为直角的直角三角形不存在综上所述，存在抛物线yx 2x和yx 22x3使BCM为直角三角形3、动点与相似三角形问题兵法：1确定分类的角，直角或钝角，然后进行分类讨论，画出图形 2设出点坐标，算出线段长度，利用对应边成比例，列出方程 3如果出现直角三角形的相似问题，则常用锐角函数【例1】 如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接
31、写出点P的坐标；若不存在，请说明理由OABxyCD【解析】 （1）设该抛物线的解析式为yax 2bxc由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c3即抛物线的解析式为yax 2bx3 把A（1，0）、B（3，0）代入，得解得a1，b2，抛物线的解析式为yx 22x3 yx 22x3(x1 )24，顶点D的坐标为（1，4）（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形 ，理由如下：如图1，过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F在RtBOC中，OBOC3，BC 218在RtCDF中，DF1，CFOFOC431，CD 22在RtBDE中，DE4，BEOBOE312，BD 220 BC 2CD 2C
32、E 2，BCD为直角三角形 （3）如图2，连接AC，可知RtCOARtBCD，得符合条件的点为O（0，0）OABxyCD图1EFOABxyCD图2P2P1过A作AP1AC交y轴正半轴于P1，可知RtCAP1RtCOARtBCD求得符合条件的点为P1（0，）过C作CP2AC交x轴正半轴于P2，可知RtP2CARtCOARtBCD求得符合条件的点为P2（9，0）符合条件的点有三个：O（0，0），P1（0，），P2（9，0）【例2】 如图，抛物线yax 2bx1与x轴交于两点A（1，0），B（1，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）过点B作BDCA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面
33、积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MNx轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由CABDyxO【解析】 （1）把A（1，0），B（1，0）代入yax 2bx1得： 解得抛物线的解析式为yx 21 （2）令x0，得y1，C（0，1）OAOBOC1，BACACOBCOABC45BDCA，ABDBAC45如图1，过点D作DEx轴于E，则EDB为等腰直角三角形设EOx，则EDx1，D（x，x1）点D在抛物线yx 21上，x1(x )21解得x12，x21（不合题意，舍去）ED3（说明：先求出直线BD的解析式，再用两个解析式联立求
34、解得到点D的坐标也可）S四边形ACBDABOCABED21234 （说明：也可直接求直角梯形ACBD的面积为4）CABDyxOE图1（3）存在，ABCABD45，DBC90MNx轴，MNADBC90BC，BD设M点的横坐标为m，则M（m，m 21）当点M在y轴左侧时，如图2，则m1)若NMABCD，则即，整理得3m 2m20解得m11（舍去），m2（舍去）)若NAMBCD，则即，整理得m 23m20解得m11（舍去），m22m 21(2) 213M1（2，3）当点M在y轴右侧时，如图2，则m1CABDyxO图2(M1)N1M2N2)若NMABCD，则即，整理得3m 2m40解得m11（舍去），
35、m2m 21()1M2（，）)若NAMBCD，则即，整理得m 23m40解得m11（舍去），m24m 214115M3（4，15）存在点M，使以A、M、N为顶点的三角形与BCD相似，M点的坐标分别为：M1（2，3），M2（，），M3（4，15）【例3】 如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x
36、1，y1）、（x2，y2）用含S的代数式表示x2x1，并求出当S36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由OMAxyBCD图1OMxyD图2A1O1C1B1【解析】 （1）对称轴：直线x1解析式：yx 2x或y(x1)2 顶点坐标：M（1，）（2）由题意得y2y13即x 22x2x 12x13整理得：(x2x 1)(x2x 1)3 S2(x 11x 21)33(x1x 2)6x1x 22 把代入并整理得：x2x 1（S0）（事实上，更确切为S）当S36时， 解得： （注：S0或S不写不扣分）把x 16代入抛物线解析式得y13 点A1（6，3）（3）存在，解法一：易知直线AB的解析式为yx可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为（1，）OMAxyBCDEGQPFBD5，DE，DP5t，DQt当PQAB时，得t 下面分两种情况讨论：设直线PQ与直线AB、
