1、高等数学教案 第一章 函数与极限第一章 函数与极限教学目的：1、 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3、 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4、 掌握基本初等函数的性质及其图形。5、 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6、 掌握极限的性质及四则运算法则。7、 了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9、 理解函数连续性的概念（含
2、左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学重点：1、 复合函数及分段函数的概念；2、 基本初等函数的性质及其图形；3、 极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、 两个重要极限；5、 无穷小及无穷小的比较；6、 函数连续性及初等函数的连续性；7、 区间上连续函数的性质。教学难点：1、 分段函数的建立与性质；2、 左极限与右极限概念及应用；3、 极限存在的两个准则的应用；4、 间断点及其分类；5、 闭区间上连续函数性质的应用。1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集
3、合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C.等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为aM. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A=a, b, c, d, e, f, g. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 A=a1, a2, , an, M=x | x具有性质P . 例如M=(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1. 几个数集: N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N=0, 1, 2, , n, . N+=1, 2, , n, . R表
4、示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z= , -n, , -2, -1, 0, 1, 2, , n, . Q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. 子集: 若xA, 则必有xB, 则称A是B的子集, 记为AB(读作A包含于B)或BA . 如果集合A与集合B互为子集, AB且BA, 则称集合A与集合B相等, 记作A=B. 若AB且AB, 则称A是B的真子集, 记作AB . 例如, NZQR . 不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A、B是两个集合, 由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的
5、并集(简称并), 记作AB, 即 AB=x|xA或xB. 设A、B是两个集合, 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交), 记作AB, 即 AB=x|xA且xB. 设A、B是两个集合, 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差), 记作AB, 即 AB=x|xA且xB. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此时, 我们称集合I为全集或基本集. 称IA为A的余集或补集, 记作AC. 集合运算的法则: 设A、B、C为任意三个集合, 则 (1)交换律AB=BA, AB=BA; (2)结合律 (AB)C=A(
6、BC), (AB)C=A(BC); (3)分配律 (AB)C=(AC)(BC), (AB)C=(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)C=AC BC, (AB)C=AC BC. (AB)C=AC BC的证明: x(AB)CxABxA且xBxA C且xBC xAC BC, 所以(AB)C=AC BC. 直积(笛卡儿乘积): 设A、B是任意两个集合, 在集合A中任意取一个元素x, 在集合B中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积, 记为AB, 即 AB=(x, y)|xA且yB. 例如, RR=(x, y)| xR
7、且yR 即为xOy面上全体点的集合, RR常记作R2. 3. 区间和邻域 有限区间: 设ab, 称数集x|axb为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b)=x|axb. 类似地有 a, b = x | a xb 称为闭区间, a, b) = x | axb 、(a, b = x | axb 称为半开区间. 其中a和b称为区间(a, b)、a, b、a, b)、(a, b的端点, b-a称为区间的长度. 无限区间: a, +) = x | ax , (-, b = x | x b , (-, +)=x | | x | +. 区间在数轴上的表示: 邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻
8、域, 记作U(a). 设d是一正数, 则称开区间(a-d, a+d)为点a的d邻域, 记作U(a, d), 即 U(a, d)=x | a-d x a+d =x | | x-a|d. 其中点a称为邻域的中心, d 称为邻域的半径. 去心邻域(a, d): (a, d)=x |0| x-a |1时, y=1+x. 例如; ; f(3)=1+3=4. 2. 函数的几种特性 (1)函数的有界性 设函数f(x)的定义域为D, 数集XD. 如果存在数K1, 使对任一xX, 有f(x)K1, 则称函数f(x)在X上有上界, 而称K1为函数f(x)在X上的一个上界. 图形特点是y=f(x)的图形在直线y=K
9、1的下方. 如果存在数K2, 使对任一xX, 有f(x) K2, 则称函数f(x)在X上有下界, 而称K2为函数f(x)在X上的一个下界. 图形特点是, 函数y=f(x)的图形在直线y=K2的上方. 如果存在正数M, 使对任一xX, 有| f(x) |M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则称函数f(x)在X上无界. 图形特点是, 函数y=f(x)的图形在直线y= - M和y = M的之间. 函数f(x)无界, 就是说对任何M, 总存在x1X, 使| f(x) | M. 例如 (1)f(x)=sin x在(-, +)上是有界的: |sin x|1. (2)函数在开区间(0,
10、 1)内是无上界的. 或者说它在(0, 1)内有下界, 无上界. 这是因为, 对于任一M1, 总有x1: , 使 , 所以函数无上界. 函数在(1, 2)内是有界的. (2)函数的单调性 设函数y = f(x)的定义域为D, 区间I D. 如果对于区间I上任意两点x1及x2, 当x1x2时, 恒有 f(x1) f(x2), 则称函数f(x)在区间I上是单调增加的. 如果对于区间I上任意两点x1及x2, 当x1 f(x2), 则称函数f(x)在区间I上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 函数单调性举例: 函数y = x2在区间(-, 0上是单调增加的, 在区间0, +)上是
11、单调减少的, 在（-, +）上不是单调的. (3)函数的奇偶性 设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若xD, 则-xD). 如果对于任一xD, 有f(-x) = f(x), 则称f(x)为偶函数. 如果对于任一xD, 有f(-x) = -f(x), 则称f(x)为奇函数. 偶函数的图形关于y轴对称, 奇函数的图形关于原点对称, 奇偶函数举例: y=x2, y=cos x 都是偶函数. y=x3, y=sin x都是奇函数, y=sin x+cos x是非奇非偶函数. (4)函数的周期性 设函数f(x)的定义域为D. 如果存在一个正数l , 使得对于任一xD有(xl)D, 且 f(x+l)
12、= f(x)则称f(x)为周期函数, l 称为f(x)的周期. 周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为l 的区间上, 函数的图形有相同的形状. 3反函数与复合函数反函数: 设函数f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射f -1: f(D)D, 称此映射f -1为函数f的反函数. 按此定义, 对每个yf(D), 有唯一的xD, 使得f(x)=y, 于是有 f -1(y)=x. 这就是说, 反函数f -1的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的. 一般地, y=f(x), xD的反函数记成y=f -1(x), xf(D). 若f是定义在D上的单调函数, 则f : Df(D)是单射
13、, 于是f的反函数f -1必定存在, 而且容易证明f -1也是f(D)上的单调函数. 相对于反函数y=f -1(x)来说, 原来的函数y=f(x)称为直接函数. 把函数y=f(x)和它的反函数y=f -1(x)的图形画在同一坐标平面上, 这两个图形关于直线y=x是对称的. 这是因为如果P(a, b)是y=f(x)图形上的点, 则有b=f(a). 按反函数的定义, 有a=f -1(b), 故Q(b, a)是y=f -1(x)图形上的点; 反之, 若Q(b, a)是y=f -1(x)图形上的点, 则P(a, b)是y=f(x)图形上的点. 而P(a, b)与Q(b, a)是关于直线y=x对称的.
14、复合函数: 复合函数是复合映射的一种特例, 按照通常函数的记号, 复合函数的概念可如下表述. 设函数y=f(u)的定义域为D 1, 函数u=g(x)在D上有定义且g(D) D 1, 则由下式确定的函数 y=fg(x), xD称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量. 函数g与函数f构成的复合函数通常记为, 即 ()=fg(x). 与复合映射一样, g与f构成的复合函数的条件是: 是函数g在D上的值域g(D)必须含在f的定义域D f内, 即g(D)D f. 否则, 不能构成复合函数. 例如, y=f(u)=arcsin u, 的定义域为-1,
15、 1, 在上有定义, 且g(D)-1, 1, 则g与f可构成复合函数 , xD; 但函数y=arcsin u和函数u=2+x2不能构成复合函数, 这是因为对任xR, u=2+x2均不在y=arcsin u的定义域-1, 1内. 多个函数的复合: 4. 函数的运算 设函数f(x), g(x)的定义域依次为D 1, D 2, D=D 1D 2, 则我们可以定义这两个函数的下列运算: 和(差)f g : (f g)(x)=f(x)g(x), xD; 积f g : (f g)(x)=f(x)g(x), xD; 商: , xDx|g(x)=0. 例11设函数f(x)的定义域为(-l, l), 证明必存在
16、(-l, l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x), 使得 f(x)=g(x)+h(x). 分析 如果f(x)=g(x)+h(x), 则f(-x)=g(x)-h(x), 于是 , . 证 作, , 则 f(x)=g(x)+h(x), 且 , . 5. 初等函数 基本初等函数: 幂函数: y=x m (mR是常数); 指数函数: y=a x(a0且a1); 对数函数: y=loga x (a0且a1, 特别当a=e时, 记为y=ln x); 三角函数: y=sin x, y=cos x, y=tan x, y=cot x, y=sec x, y=csc x; 反三角函数: y=arcsin x,
17、y=arccos x, y=arctan x, y=arccot x . 初等函数: 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 例如 , y=sin2x, 等都是初等函数. 双曲函数: 双曲正弦: ; 双曲余弦: ; 双曲正切: . 双曲函数的性质: sh(x+y)=sh xch ych xsh y; ch(xy)=ch xch ysh xsh y. ch2x-sh2x=1; sh2x=2sh xch x; ch2x=ch2x+sh2x . 下面证明 sh(x+y)=sh xch y+ch xsh y: . 反双曲函数: 双
18、曲函数y=sh x, y=ch x(x0), y=th x的反函数依次为 反双曲正弦: y=arsh x; 反双曲余弦: y=arch x; 反双曲正切: y=arth x . 反双曲函数的表示达式: y=arsh x是x=sh y的反函数, 因此, 从 中解出y来便是arsh x . 令u=e y, 则由上式有 u 2-2x u-1=0. 这是关于u的一个二次方程, 它的根为 . 因为u=e y0, 故上式根号前应取正号, 于是 . 由于y=ln u, 故得 . 函数y=arsh x的定义域为(-, +), 它是奇函数, 在区间(-, +)内为单调增加的. 类似地可得 , . 1. 2 数列
19、的极限 一个实际问题: 如可用渐近的方程法求圆的面积？ 设有一圆, 首先作内接正四边形, 它的面积记为A1；再作内接正八边形, 它的面积记为A2；再作内接正十六边形, 它的面积记为A3；如此下去, 每次边数加倍, 一般把内接正82n-1边形的面积记为An . 这样就得到一系列内接正多边形的面积: A1, A2, A3, , An, 设想n 无限增大（记为n, 读作n 趋于穷大）, 即内接正多边形的边数无限增加, 在这个过程中, 内接正多边形无限接近于圆, 同时An 也无限接近于某一确定的数值, 这个确定的数值就理解为圆的面积. 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列） A1, A2,
20、A3, , An, 当n 时的极限. 数列的概念:如果按照某一法则, 使得对任何一个正整数n 有一个确定的数xn , 则得到一列有次序的数 x1, x2, x3, , xn , 这一列有次序的数就叫做数列, 记为xn, 其中第n 项xn 叫做数列的一般项. 数列的例子: : , , , , ; 2n: 2, 4, 8, , 2n , ; : , , , , , ; (-1)n+1: 1, -1, 1, , (-1)n+1, ; : 2, , , , , . 它们的一般项依次为 , 2n, , (-1)n+1, . 数列的几何意义:数列xn可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x1, x
21、2, x3, , xn , . 数列与函数:数列xn可以看作自变量为正整数n 的函数: xn=f (n), 它的定义域是全体正整数. 数列的极限: 数列的极限的通俗定义：对于数列xn, 如果当n 无限增大时, 数列的一般项xn无限地接近于某一确定的数值a, 则称常数a 是数列xn的极限, 或称数列xn收敛a . 记为. 如果数列没有极限, 就说数列是发散的. 例如 , ; 而2n, (-1)n+1, 是发散的. 对无限接近的刻划: xn无限接近于a 等价于|xn-a |无限接近于0, 极限的精确定义: 定义 如果数列xn与常a 有下列关系:对于任意给定的正数e (不论它多么小), 总存在正整数
22、N , 使得对于n N 时的一切xn, 不等式 |xn-a |0, $NN+, 当nN时, 有|xn-a|0, 要使|xn-1|0, $N+, 当nN时, 有 |xn-1|=, 所以. 例2. 证明. 分析: |xn-0|. 对于e 0, 要使|xn-0|0, $N+, 当nN时, 有|xn-0|=,所以. 例3. 设|q |0, 要使 |x n-0|=| qn-1-0|=|q| n-1log|q|e +1就可以了, 故可取N=log|q|e +1。证明: 因为对于任意给定的e 0, 存在N= log|q|e +1, 当nN时, 有 | qn-1-0|=|q| n-1e ,所以. 收敛数列的性
23、质: 定理1(极限的唯一性) 数列xn不能收敛于两个不同的极限. 证明: 假设同时有及, 且a0, 存在充分大的正整数N, 使当nN时, 同时有|xn-a| 及|xn-b|N 时的一切xn , 不等式|xn-a|N时, |xn|=|(xn -a)+a| | xn-a|+|a|0(或aN时, 有xn0(或xn0的情形证明. 由数列极限的定义, 对, $NN+, 当nN时, 有,从而. 推论 如果数列xn从某项起有xn0(或xn0), 且数列xn收敛于a, 那么a0(或a0). 证明 就xn0情形证明. 设数列xn从N1项起, 即当nN 1时有xn0. 现在用反证法证明, 或a N 2时, 有xn
24、N时, 按假定有x n 0, 按定理3有x n0, $NN+, 当nN时, 有|xn-a|K时, nkkK=N. 于是|-a|N时, 有|xn-a|e 0. 是否有xn a (n ). 2. 如果数列xn收敛, 那么数列xn一定有界. 发散的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛? 3. 数列的子数列如果发散, 原数列是否发散? 数列的两个子数列收敛, 但其极限不同, 原数列的收敛性如何?发散的数列的子数列都发散吗？4如何判断数列 1, -1, 1, -1, , (-1)N+1, 是发散的？ 1. 3 函数的极限 一、函数极限的定义 函数的自变量有几种不同的变化趋势: x无限接近x0 : xx
25、0, x从x0的左侧(即小于x0)无限接近x0 : xx0-, x从x0的右侧(即大于x0)无限接近x0 : xx0+, x的绝对值|x|无限增大: x, x小于零且绝对值|x|无限增大: x-, x大于零且绝对值|x|无限增大: x+. 1自变量趋于有限值时函数的极限通俗定义: 如果当x无限接近于x0 , 函数f(x)的值无限接近于常数A, 则称当x趋于x0 时, f(x)以A为极限. 记作f(x)=A或f(x)A(当x). 分析: 在xx0的过程中, f(x)无限接近于A就是|f(x)-A|能任意小, 或者说, 在x与x0接近到一定程度(比如|x-x0|d, d为某一正数)时, |f(x)-A|可以小于任意给定的(小的)正数e , 即|f(x)-A|e . 反之, 对于任意给定的正数e , 如果x与x0接近到一定程度(比如|x-x0|d, d为某一正数)就有|f(x)-A|e , 则能保证当x x0时, f(x)无限接近于A. 定义1 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义. 如果存在常数A, 对于任意给定的正数e (不论它多么小), 总存在正数d, 使得当x满足不等式0|x-x0|d 时, 对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)-A|0, $d0, 当0|x-x0|d时, |f(x)-A|e
