1、1.函数图象本身的对称性（自身对称）1、 的图象关于直线对称。2、的图象关于直线对称。3、的图象关于直线对称。4、 的图象关于直线对称。5、的图象关于点对称。6、的图象关于点对称。7、的图象关于点对称。8、的图象关于点对称。2.两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数与图象关于直线对称。2、函数与图象关于直线对称3、函数与图象关于直线对称4、函数与图象关于直线对称即直线对称5、函数与图象关于X轴对称。6、函数与图象关于Y轴对称。7、函数与图象关于原点对称3.函数的周期性1、 的周期为2、 的周期为3、 的周期为 4、 的周期为5、 的周期为6、的周期为7
2、、的周期为8、的周期为9、 的周期为10、有两条对称轴和（ 周期11、有两个对称中心和 周期12、有一条对称轴和一个对称中心周期13、奇函数满足 周期。14、偶函数满足 周期。例题讲解题型一：对称性、周期性的证明例1.设曲线的方程是，将沿轴、轴正方向分别平移、个单位长度后得到曲线，（1）写出曲线的方程；（2）证明曲线与关于点对称；（3）如果曲线与有且仅有一个公共点，证明：解：（1）曲线的方程为；（2）证明：在曲线上任意取一点，设是关于点的对称点，则有，代入曲线的方程，得的方程： 即可知点在曲线上 反过来，同样证明，在曲线上的点的对称点在曲线上 因此，曲线与关于点对称（3）证明：因为曲线与有且仅
3、有一个公共点， 方程组有且仅有一组解， 消去，整理得，这个关于的一元二次方程有且仅有一个根， ，即得， 因为，所以例2.已知函数y=f（x）=.（1）证明这个函数为偶函数；（2）证明T=是函数的一个周期，进而寻找函数是否有其他的周期，最后说明这个函数的周期组成什么集合.解：（1）对任意实数x，x与-x同为有理数或无理数，所以恒有f（x）=f（-x），又定义域关于原点对称，函数为偶函数；（2）当T=时，对任意实数x，x与x+同为有理数或无理数，所以恒有f（x）=f（x+），所以T=是函数的周期；当T为有理数时，对任意实数x以及有理数T，x与x+T同为有理数或无理数，所以恒有f（x）=f（x+T）
4、，所以T是函数的周期；当T为无理数时，f（-T）=0，f（-T+T）=f（0）=1，所以T不是函数的周期，函数的所有周期组成有理数集合题型二：利用函数的周期性与对称性例3.已知函数是定义在R上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在时函数取得最小值-5证明：；求的解析式；求在上的解析式解：是以为周期的周期函数，又是奇函数，当时，由题意可设，由得，是奇函数，又知在上是一次函数，可设，而，当时，从而当时，故时，当时，有，当时，例4.已知函数的图象与的图象关于点对称。（1）求的值；（2）解.（1）设P(x,y)是h(x)图像上的一点，点P关于A(0,1)的对
5、称点为Q(x0,y0),则x0=,y0=2.,即，从而. （2）,.即 令，当时， . 方法归纳：1.证明函数的对称性、周期性注重定义的使用2.注意对称性、周期性与奇偶性、单调性的综合运用，解题时注重数形结合思想的运用。实战训练1定义在R上的函数不是常数函数，满足，则函数（B）A是奇函数也是周期函数B是偶函数也是周期函数C是奇函数但不是周期函数D是偶函数但不是周期函数解析：由，知，所以以2为周期，再由得，令，则有，是偶函数故是偶函数也是周期函数2、的定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则的值为（A）A0BCTD3、设为奇函数，对任意，则等于（A）A3B3C4D44、已知函数为偶函数，上是单
6、调减函数，则（A） ABCD5.设f(x)(xR)为偶函数，且f(x)=f(x+)恒成立，x2，3时，f(x)=x，则x2，0时，f(x)等于A.|x+4| B.|2x| C.3|x+1| D.2+|x+1|解析：根据y=f(x)以2为周期，画出函数图象可得出结论. 答案：C7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+4)=f(x)对任意xR成立，如果当x0，1时，f(x)=2x，则f()的值是A.23B.C.D.解析：利用f(x)=f(x)，以及f(x)以4为周期可求出.答案：B8.若函数y=f(x)(R)满足f(x+2)=f(x)，且x(-1，1)时，f(x)=|x|，则函数y=f(x
7、)的图象与函数y=log4|x|图象的交点的个数为 CA.3B.4C.6D.8解析：函数f(x)以2为周期，画出f(x)的图象，数形结合.9.函数y=f(x+1)与y=f(1x)的图象关于A.y轴对称B.原点对称C.直线x=1对称D.关于y轴对称且关于直线x=1对称解析：根据对称关系验证A正确，选A.10、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足，则使的值等于（A）ABCD11定义在R上的函数,时，(C)ABCD12定义在上的函数，其图象关于点对称，且，则（A）A1B0C-1 D-213已知函数f(x)的反函数f1(x)的图象的对称中心为 (1，5)，则实数a的值是(D)A3B1C5D714.
8、如果函数y=f(x+1)是偶函数，那么函数y=f(x)的图象关于_直线x=1_对称.15.定义在（，+）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=f（x），且在1，0上是增函数，下面是关于f（x）的判断：f（x）是周期函数；f（x）的图象关于直线x=1对称；f（x）在0，1上是增函数；f（x）在1，2上是减函数；f（2）=f（0）.其中正确的判断是_（把你认为正确的判断都填上）. 16.对于定义在R上的函数f(x)，有下述命题： 若f(x)是奇函数，则f(x-1)的图象关于点A(1，0)对称 若对xR，有f(x+1)=f(x-1)，则，f(x)的图象关于直线x=1对称 若函数f(x-1)的图象关于直
9、线x=1对称，则f(x)为偶函数 函数f(1+x)与函数f(1-x)的图象关于直线x=1对称 其中正确命题的序号为_.17对于定义域为R的非常值函数f(x),请将下面左侧中每个f(x)满足的条件与右侧所提供的f(x)的性质中一个用线连接起来18.已知函数f(x)的定义域为x| x k，k Z，且对于定义域内的任何x、y，有f(x-y) =成立，且f(a) = 1(a为正常数)，当0 x 0(1) 判断f(x)奇偶性；(2) 证明f(x)为周期函数；(3) 求f (x)在2a，3a 上的最小值和最大值证明：(1) 定义域x| x k，kZ 关于原点对称，又f(-x) = f (a-x) -a=
10、= = = = -f (x)，对于定义域内的每个x值都成立 f (x)为奇函数(2) 易证：f(x+ 4a) = f(x)，周期为4a(3) f (2a) = f (a + a) = f a-(-a)= = = 0，f (3a) = f (2a + a) = f 2a-(-a)= = = -1先证明f (x)在2a，3a上单调递减为此，必须证明x(2a，3a) 时，f (x) 0， 设2a x 3a，则0 x- 2a 0， f (x) 0 设2a x1 x2 3a，则0 x2-x1 a，f (x1) 0 f (x2) 0，f (x1) -f (x2)= 0，f (x1) f (x2)，f (x
11、)在2a，3a上单调递减f (x)在2a，3a上的最大值为f (2a) = 0，最小值为f (3a) = - 119.设f（x）的定义域为xR且x，kZ，且f（x+1）=，如果f（x）为奇函数，当0x时，f（x）=3x.（1）求f（）；（2）当2k+x2k+1（kZ）时，求f（x）;（3）是否存在这样的正整数k，使得当2k+xx2kx2k有解？解：（1）f（x+2）=f（x），f（x）是周期为2的周期函数. （2）2k+x2k+1，kZ，x2k1，x2k10，02k+1xx2kx2k，x2k1x2kx2k，x2（k+1）x+11且kZ时但是x.若k=1，则=0，（*）无解.不存在满足条件的整数k. 20.已知函数，若函数图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数的图象.（1）写出函数的解析式；（2）当时，总有成立，求实数的取值范围.20解：（1）设，则. 在函数的图象上. ，即，这就是说，（2）当，由题意知，只要 在上是增函数. ，故即为所求.直击高考1（2006年安徽卷）函数对于任意实数满足条件，若则_。解：由得，所以，则。2设函数是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（B）AB0CD53. (07年安徽)定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（D）A0B1C3D5
