1、 辅助线（一）、倍长中线（线段）造全等1、如图3：AD为 ABC的中线，求证：ABAC2AD。2、如图，已知：AD是ABC的中线，且CD=AB，AE是ABD的中线，求证：AC=2AE. 3、在等腰直角三角形中，AB=AC，点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB、AC边上的点，且DEDF。（1）说明：(2)若BE=12,CF=5，试求的面积。4、以 ABC 的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图中的等腰Rt绕点A沿
2、逆时针方向旋转(0AC， AD平分BAC交BC于点D（1）如图1，若ABC是等腰直角三角形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；（2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F如图2，若ABE=60，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明；如图3，若，求BAC的度数7问题：在中，A=100，BD为B 的平分线，探究AD、BD、BC之间的数量关系.请你完成下列探究过程：（1）观察图形，猜想AD、BD、BC之间的数量关系为 .（2）在对（1）中的猜想进行证明时，当推出ABC=C=40后，可进一步推出ABD=DBC= 度.（3）为了使同学们顺利地解答本题（1）中的猜想，小强
3、同学提供了一种探究的思路：在BC上截取BE=BD，连接DE,在此基础上继续推理可使问题得到解决.你可以参考小强的思路，画出图形，在此基础上对（1）中的猜想加以证明.也可以选用其它的方法证明你的猜想.（三)垂直造全等1. 已知ABC=90，D是直线AB上的点，AD=BC（1）如图1，过点A作AFAB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上的一点，直线AE、CD相交于点P，且APD=45，求证BD=CE图2图12.（1）如图1，在四边形ABCD中，B=C=90，E为BC上一点，且CE=AB，BE=CD，连结AE、DE、AD，则ADE的形状是_.
4、(2)如图2，在，D、E分别为AB、AC上的点，连结BE、CD，两线交于点P当BD=AC，CE=AD时，在图中补全图形，猜想的度数并给予证明当时， 的度数_3在ABC中，C=90，AC=BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90得到DE，连接BE.（1）如图1，点D在BC边上.依题意补全图1；作DFBC交AB于点F，若AC=8，DF=3，求BE的长；（2）如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系（直接写出结论）. 4.在等腰直角ABC中，BAC=90，AB=AC，（1）如图1，点D、E分别是AB、AC边的中点，AFBE交
5、BC于点F，连结EF、CD交于点H.求证，EFCD；（2）如图2，AD=AE，AFBE于点G交BC于点F，过F作FPCD交BE的延长线于点P，试探究线段BP,FP,AF之间的数量关系，并说明理由。（四)有中点作中位线1【探究】如图1，在ABC中， D是AB边的中点，AEBC于点E，BFAC于点F，AE，BF相交于点M，连接DE，DF. 则DE，DF的数量关系为 .【拓展】如图2，在 A B C中 ，C B = C A ，点 D是AB边的 中点 ，点M在 A B C的内部 ，且 MBC =MAC . 过点M作MEBC于点E，MFAC于点F，连接DE，DF. 求证：DE=DF；【推广】如图3，若将
6、上面【拓展】中的条件“CB=CA”变为“CBCA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论.2. 在ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC边中点中点，连接MD和ME（1）如图24-1所示，若AB=AC，则MD和ME的数量关系是 （2）如图24-2所示，若ABAC其他条件不变，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3） 在任意ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向ABC的内侧作等腰直角三角形，M是BC的中点，连接MD和ME，请在图24-3中补全图形，并直接判断MED的形状 3、 如图1，在四边形中，分别是的中
7、点，连结并延长，分别与的延长线交于点，则（不需证明）（温馨提示：在图1中，连结，取的中点，连结，根据三角形中位线定理，证明，从而，再利用平行线性质，可证得）问题一：如图2，在四边形中，与相交于点，分别是的中点，连结，分别交于点，判断的形状，请直接写出结论问题二：如图3，在中，点在上，分别是的中点，连结并延长，与的延长线交于点，若，连结，判断的形状并证明(五）利用旋转1、如图，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，E、F是BC上的点，且EAF=45，试探究间的关系，并说明理由. 2、如图，是等边内一点，若，求的度数 3已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满
8、足 ，连结MC，NC，MN（1）填空：与ABM相似的三角形是 ，= ；（用含a的代数式表示）（2）求的度数； （3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论 4已知ABC是等边三角形，E是AC边上一点，F是BC边延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF（1）如图1，若E是AC边的中点，猜想BE与EF的数量关系为 .（2）如图2，若E是线段AC上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明图3（3）如图3，若E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明图1图25 已知：在
9、ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD探究下列问题：（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且ACB=60，则CD=_；（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且ACB=90，则CD=_；（3）如图3，当ACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的ACB的度数（六）用圆做辅助线来源:学科网ZXXK1如图1，在ABC中，ABAC，. 过点A作BC的平行线与ABC的平分线交于点D，连接CD （1）求证：；（2）点为线段延长线上一点，将射线GC绕着点G逆时针旋转，与射线BD交于点E若，如图2所示，求证：；来源:学*
10、科*网Z*X*X*K若,，请直接写出的值（用含的代数式表示）2.（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE=CF，联结AE、BF交于点H.请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系；（2）如图2，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，联结BF，过点E作EGBF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，联结GF、HD.求证：FG+BEBF;HGF=HDF.图3图2图13在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F（1）依题意补全图1；
11、（2）若PAB=20，求ADF的度数；（3）如图2，若45PAB90，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明4. 将等腰RtABC和等腰RtADE按图1方式放置，A=90， AD边与AB边重合， AB2AD4将ADE绕点A逆时针方向旋转一个角度（0180），BD的延长线交直线CE于点P.（1）如图2，BD与CE的数量关系是 , 位置关系是 ；（2）在旋转的过程中，当ADBD时，求出CP的长； （3）在此旋转过程中，求点P运动的路线长. 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对
12、称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆
13、心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。几何证题难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，中线处长加倍看；底角倍半角分线，有时也作处长线；线
14、段和差及倍分，延长截取证全等；公共角、公共边，隐含条件须挖掘；全等图形多变换，旋转平移加折叠；中位线、常相连，出现平行就好办；四边形、对角线，比例相似平行线；梯形问题好解决，平移腰、作高线；两腰处长义一点，亦可平移对角线；正余弦、正余切，有了直角就方便；特殊角、特殊边，作出垂线就解决；实际问题莫要慌，数学建模帮你忙；圆中问题也不难，下面我们慢慢谈；弦心距、要垂弦，遇到直径周角连；切点圆心紧相连，切线常把半径添；两圆相切公共线，两圆相交公共弦；切割线，连结弦，两圆三圆连心线；基本图形要熟练，复杂图形多分解；以上规律属一般，灵活应用才方便。五4答案24解 ：（1）猜想BE与EF的数量关系为:BE=
15、EF. 1分（2）猜想BE=EF 证明：将线段BE绕点B顺时针旋转60，得线段BE，连接EC、EE，2分EB E为等边三角形，BE=E E, 又ABC为等边三角形，AB=BC，ABC=ACB= 60，1=2, ABECB E（SAS），3分AE=C E, A=3=60，又CF=AE，C E=CF，ACB=60，3=60，AC E=AC F=120，EC=ECE C EECF（SAS），4分E E=EF BE=EF5分（3）猜想BE=EF证明：将线段BE绕点B顺时针旋转60，得线段BE，连接EC、EE，EB E为等边三角形，BE=E E, 又ABC为等边三角形，AB=BC，ABC=ACB= 60，ABE=CB E, ABECB E（SAS），AE=C E, A=B C E =60，又CF=AE，C E=CF，ACB=60，B C E=60，EC E=EC F=60，EC=ECE ECEFC（SAS），6分E E=EF又BE=E E, BE=EF7分
