1、 佛山一中 2015 届高三上学期数学（理科）段考试题 命题人 谭江南 审题人 卢志常 2014.10.14 本试卷共 4 页， 21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 设集合 A x| x2 3x0， B x|x0 2 函数 2cos 1yx在下列哪个区间上为增函数 A 0, 2 B , 2 C 0, D , 2 3已知幂函数 ()y f x 的图象过点 11( , )28，则 2log (4)f 的值为 A 3 B 4 C 6 D 6 4 已知函数 (
2、 ) 1 2 s i n ( ) c o s ( )2f x x x ， 则 ()fx是 A 周期为 的奇函数 B 周期为 的偶函数 C 周期为 2 的奇函数 D 周期为 2 的偶函数 5 向量 a， b 满足 |a| 1， |a b| 32 ， a 与 b 的夹角为 60，则 |b| A 12 B 13 C 14 D 15 6已知非零向量 a 、 b ，“函数 2( ) ( )f x ax b为偶函数”是“ ab ”的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件 7在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于 O， E 是线段 OD 的中点， AE
3、的延长线与 CD 交于点 F，若 AC a， BD b，则 AF 等于 A 14a 12b B 23a 13b C 12a 14b D 13a 23b 8 设 ()fx与 ()gx是定义在同 一区间 , ab 上的两个函数，若函数 ( ) ( )y f x g x在 , x ab 上有两个不同的零点，则称 ()fx和 ()gx在 , ab 上是 “ 关联函数 ” ，区间 , ab 称为 “ 关联区间 ” 若 2( ) 3 4f x x x 与 ( ) 2g x x m在 0,3 上是 “ 关联函数 ” ，则 m 的取值范围为 A. 9( , 24 B. 1,0 C.( , 2 D. 9( ,
4、)4 二、填空题： 本 大共 7小题，考生作答 6小题，每小题 5分，满分 30 分 (一 )必做题 (9 13 题 ) 9 已知函数 f(x) (m 2)x2 (m2 4)x m 是偶函数，函数 g(x) x3 2x2 mx 5 在 ( ， )内单调递减，则实数 m 等于 _ 10 已知向量 a 与 b 的夹角为 23 ，且 |a| 1， |b| 4，若 (2a b) a，则实数 _. 11 有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下： “ 在 ABC 中 ，已知3a ， 4B ， ，求 b .” 若破损处的条件为三角形的一个内角的大小，且答案提示6b . 试在横线上将条件
5、补充完整 . 12 若数 2( ) 1f x x a x 有且只有一个零点，则实数 a =_. 13 直 线 2 ( )y x m m R 和圆 122 yx 交于 A 、 B 两点 ,以 Ox 为始边 ,OA ,OB 为终边的角分别为 , ,则 )sin( 的值为 _. (二 )选做题 (14 15 题，考生只能从中选做一题 ) 14（ 坐标系与参数方程 ） 直角坐标系 xoy 中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设 A、 B 分别在曲线 C： sin23 cos24yx（ 为参数）和曲线 21 上，则 |AB的取值范围是 _ 15 （ 几何证明选讲 ） 如图， PC 切圆
6、 O 于点 C ，割线 PAB 经过圆心 O ，4, 8PC PB，则 OBCS 三、解答题： 本大题共 6小题，满分 80分，解答须写出文字说明、证明 过程或演算步骤 16（本题满分 12 分） 在 锐角 ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c 已知 3cos2 4C . （）求 sinC ； （）当 2ca ，且 37b 时，求 a . 17（本题满分 12 分） 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取 14件和 5 件，测量产品中的微量元素 x,y 的含量（单位：毫克）下表是乙厂的 5 件产品的测量数据： 编号
7、 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81 （ 1）已知甲厂生产的产品共有 98 件，求乙厂生产的产品数量； （ 2）当产品中的微量元素 x,y 满足 x 175，且 y 75 时 ,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； （ 3）从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随机抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品数 的分布列极其均值（即数学期望）。 18（本题满分 14 分） 如图，在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， SA 底面 ABCD ， 2AB ， 1AD ， 7SB ， 120BAD， E
8、在棱 SD 上 . ( ) 当 3SE ED 时，求证： SD 平面 AEC ； ( ) 当二面角 S AC E的大小为 30 时， 求直线 AE 与平面 CDE 所成角的正弦值 19（本小题满分 14 分） 已知向量 )c o s,( s i n),s in3,( s in xxnxxm ，设函数 nmxf )( ,若函数 )(xg 的图象与)(xf 的图象关于坐标原点对称 . （）求函数 )(xg 在区间 6,4 上的最大值 ,并求出此时 x 的值； （）在 ABC 中， cba, 分别是角 CBA , 的对边， A 为锐角 ,若 23)()( AgAf ， 7cb ，ABC 的面积为 3
9、2 ，求边 a 的长 20（本题满分 14 分） 已知函数)0()(,ln)( axaxgxxf，设 )()()( xgxfxF 。 （）求 F（ x）的单调区间； （）若以 3,0)( xxFy ）图象上任意一点 ),(00 yxP为切点的切线的斜率21k恒成立，求实数 a 的最小值。 （）是否存在实数 m ，使得函数1)12( 2 mx agy的图象与 )1(2xfy 的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出 m 的取值范围，若不存在，说明理由。 21（本题满分 14 分） 已知 M 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意 Mxf )( ，方程 0)( xxf 有实数根；函数 )(xf
10、的导数 )(xf 满足 1)(0 xf （）集合 M 中的元素 )(xf 具有下面的性质：若 )(xf 的定义域为 D ，则对于任意 Dnm , ，都存在 nmx ,0 ，使得等式 )()()()( 0xfmnmfnf 成立 试用这一性质证明：方程0)( xxf 有且只有一个实数根； （）对任意 Mxf )( ，且 ,x a b ，求证：对于 ()fx定义域中任意的 1x ， 2x ， 3x ，当 112 xx ，且 113 xx 时， 2)()( 23 xfxf . 佛山一中 2015 届高三上学期数学（理科）段考 参考答案 (10.14) 一、选择题： 本大题共 8小题，每小题 5分，满分
11、 40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C B A C B A 二、填空题： 本大共 7小题，考生作答 6小题，每小题 5分，满分 30 分 9 2 10 1 11 6A （或 712C ） 12 2 13 45 14 515 , 22 15 185 三、解答题 ： 本大题共 6 小题 ,共 80 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16（本题满分 12 分） 解： （） 由已知可得 2 31 2 sin 4C .所以 2 7sin 8C . 2 分 因为在 ABC 中 ， sin 0C ，所以 14sin 4C . 5 分 （）因为 2ca ，所以 1 1
12、 4sin sin28AC. 7 分 因为 ABC 是锐角三角形，所以 2cos 4C ， 52cos 8A . 9 分 所以 sin sin( )B A Cs in c o s c o s s inA C A C 1 4 2 5 2 1 48 4 8 4 37 . 11 分 由正弦定理可得： 37sin sinaBA ，所以 14a . 12 分 17 （本题满分 12 分） 解：（ 1） 98 7,5 7 3514 ，即乙厂生产的产品数量为 35 件。 2 分 （ 2）易见只有编号为 2， 5 的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品 2,5 故乙厂生产有大约 235 145 （件）优
13、等品 5 分 （ 3） 的取值为 0， 1， 2。 6 分 2 1 1 23 3 2 32 2 25 5 53 3 1( 0 ) , ( 1 ) , ( 2 )1 0 5 1 0C C C CP P PC C C 9 分 所以 的分布列为 0 1 2 P 310 610 110 10 分 故 3 3 1 40 1 2 .1 0 5 1 0 5E 的 均 值 为 12 分 18（本题满分 14 分） 解：在 ABCD 中 , 2 , 1 , 1 2 0A B A D B A D , ,CA AD 又 SA ABCD 平 面 1 分 以 A 为坐标原点， ,AC AD AS 所在直线为 x 轴，
14、y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则 0,0,0A , 3,0,0C , 0,1,0D 2 分 7 , 3SB SA 0,0, 3S 3 分 (1) 3SE ED 330, ,44E 4 分 330 , 1 , 3 , 0 , , , 3 , 0 , 044S D A E A C 0 , 0SD A E SD A C SD AEC平 面 6 分 (2) SADAC 平 面 , SA 底面 ABCD ， A C ,AE AC SA SAE 为二面角 S AC E的平面角 ,即 SAE =30 , 8 分 此时为 SD 的中点 130, ,22E设平面 CDE 的法向量为 ,n x y z 计算
15、可得 1, 3,1n 11 分 130, ,22AE 15cos , 5n AE 13 分 即直线 AE 与平面 CDE 所成角的正弦值为 155 14 分 19（本小题满分 14 分） 解：（）由题意得： 2 1 c o s 2 3( ) s in 3 s in c o s s in 222xf x x x x x 1 sin(2 )26x 2 分 所以 )62s in (21)( xxg 3 分 因为 6,4 x，所以 6,3262 x所以当 262 x 即 6x 时，函数 )(xg 在区间 6,4 上的最大值为 21 . 7 分 （）由 23)()( AgAf 得： 23)62s in
16、()62s in (1 AA 8 分 化简得： 212cos A 又因为 0 2A ，解得： 3A 10 分 由题意知： 32s in21 AbcS A B C，解得 8bc ， 11 分 又 7cb ,所以 2 2 2 22 c o s ( ) 2 ( 1 c o s )a b c b c A b c b c A 14 9 2 8 (1 ) 2 52 13 分 故所求边 a 的长为 5 . 14 分 20（本题满分 14 分） 解 .( ) F)0(ln)()()( xxaxxgxfx)0(1)( 22 xx axxaxxF 2分 ）上单调递增。在（由 ,)(),(0)(,0 axFaxxF
17、a 由 ）上单调递减在（ axFaxxF ,0)(),0(0)( 。 ），单调递增区间为（的单调递减区间为（ ,0)( aaxF 4分 （）恒成立)30(21)(),30()( 020002 xx axxFkxx axxFm a x020 )21( xxa 6分 当21211 0200 取得最大值时， xxx 21,21 nmnaa 8分 （）若21211)12( 22 mxmx agy的图象与 )1ln ()1( 22 xxfy 的图象恰有四个不同交点， 即)1ln (2121 22 xmx有四个不同 的根，亦即 2121)1ln ( 22 xxm有四个不同的根。 10分 令2121)1ln
18、 ()( 22 xxxG， 则1 )1)(1(1212)( 22 32 x xxxx xxxxx xxG。 当 x 变化时 )().( xGxG 的变化情况如下表： x ），（ 1 (-1,0) (0,1) (1, ) )(xG 的符号 + - + - )(xG 的单调性 由表格知：02ln)1()1()(,21)0()( GGxGGxG 极大值极小值。 13分 画出草图和验证212125ln)2()2( GG可知，当)2ln,21(m时， 恰有四个不同的交点，与 myxGy )( 的图象与时，当 21211)12()2ln,21( 22 mxmx agym交点。的图象恰有四个不同的)1l n
19、 ()1( 22 xxfy 14分 21（本题满分 14 分） （ ）假设方程 0)( xxf 存在两个实数根 ， () ， 则 ( ) 0f ， ( ) 0f . 2 分 不妨设 ，根据题意存在 ),( c ， 满足 )()()()( cfff . 因为 ()f ， )(f ，且 ，所以 1)( cf . 5 分 与已知 1)(0 xf 矛盾 .又 0)( xxf 有实数根， 所以方程 0)( xxf 有且 只有一个实数根 . 6 分 （ ） 当 32 xx 时，结论显然成立； 7 分 当 32 xx ， 不妨设 23a x x b . 因为 ,x ab ,且 ,0)( xf 所以 )(xf
20、 为增函数， 那么 )()( 32 xfxf . 又因为 01)( xf ，所以函数 xxf )( 为减函数， 9 分 所以 3322 )()( xxfxxf . 所以 2323 )()(0 xxxfxf ，即 2323 )()( xxxfxf . 10 分 因为 112 xx ，所以 1211xx ， （ 1） 又因为 113 xx ，所以 3111xx ， （ 2） （ 1） （ 2）得 22 32 xx 即 223 xx . 12 分 所以 2323 )()( xxxfxf 2 . 13 分 综上，对于任意符合条件的 1x , 23,xx总有 2)()( 23 xfxf 成立 . 14 分
