1、 佛山一中 2015届 10月考（文科）数学试题 命题人：张斌 2014-10-12 一、选择题： 本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 1 设集合 A x|y 3x x2， B y|y 2x， x1，则 A B 为 ( ) A B (2,3 C 2 已知 f(x) ln1x x01x x 1 的解集为 ( ) A ( ， 1) (0， e) B ( ， 1) (e， ) C ( 1,0) (e， ) D ( 1,0) (0， e) 3已知 Rx ，则“ 4|2|1| xx ”是“ 2x ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要
2、条件 4 设 a 12 0.5， b 0.30.5， c log0.30.2，则 a、 b、 c 的大小关系是 ( ) A abc B abc C bac D acb 5 已知 f(x) (x a)(x b) 2 (ab)，并且 、 是方程 f(x) 0 的两个根 ()，则实数 a、 b、 、 的大小关系可能是 ( ) A ab B ab C ab D ab 6 在 ABC 中 , 已知向量 )72c o s,18(c o s 00AB , )27c o s2,63c o s2( 00AC , 则 BACcos 的 值 为 A 0 B 21 C 22 D 23 7.若 f(x) x3 6ax
3、的单调递减区间是 ( 2,2)，则 a 的取值范围是 ( ) A ( ， 0 B C 2 D 43， 83 B ( 13， 1 12， 43) 43， 3) 9函数 xxy cos 的大致图象是 （ ） A B C D 10 已知命题“ xR ， 12x a x ”是假命题，则实数 a 的取值范围是 A. )1,3( B. 1,3 C. ),1()3,( D. ),13,( 二、填空题：本大题共 5小题，考生作答 4小题，每小题 5 分，满分 20 分 （一）必做题（ 11 13 题） 11 若函数 f(x) a 2x， x 212x 1， x2 是 R 上的单调减函数，则实数 a 的取值范围
4、是 12已知函数 )2( xf 是定义在 ),( 上的奇函数 . 当 )2,( x 时， 4)( xxxf ，则 当 ),2( x 时， )(xf 13 设函数 ()y f x 是定义域为 R 的奇函数，且满足 ( 2) ( )f x f x 对一切 xR 恒成立， 当 -1 x1 时， 3()f x x 则下列四个命题： ()fx是以 4 为周期的周期函数； ()fx在上的解析式为 3( ) (2 )f x x； ()fx在 33( , ( )22f 处的切线方程为 3 4 5 0xy ； ()fx的图像的对称轴中有 x =1. 其中正确的命题是 （二）选做题（ 14 15 题， 考生只能从
5、中选做一题） 14.(坐标系与参数方程选做题 )已知直线 l: 132xtyt （ t 为参数且 tR ） 与 曲线C: 22x cosy cos ( 是参数且 02, ) ，则 直线 l 与 曲线 C 的交点坐标为 . 15.（几何证明选讲选做） 如图 (4)， AB 是半圆的直径， C 是 AB 延长线上一点， CD 切半圆于点 D， CD=2， DE AB，垂足为 E，且 E 是 OB 的中点，则 BC 的长为 三、 解答题：本大题共 6小题，满分 80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16（ 本 小 题 满 分 12 分） 已知函数)2|,0,0)(s in ()( AxAxf
6、 的 图象的一部分如下图所示 . (1)求函数 )(xf 的解析式 ; (2)当 32,6 x 时 ,求函数 )2()( xfxfy 的最大值与最小值及相应的 x 的值 . 17. （本小题满分 12 分） 近年 空气质量 逐步 恶化， 雾霾 天气现象出现增多， 大气污染危害加重 大气污染 可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病 为了解某 市心肺疾病 是否与性别有关， 在某医院随机的 对 入院 50 人进行 了问卷调查得到了如下的列联表： 患心肺疾病 不 患心肺疾病 合计 男 5 女 10 合计 50 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人，抽到患心肺疾病的人的概率为 35 （ ）请将上面的列联表补充
7、完整； （ ）是否有 99.5% 的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由； （ ）已知在不患心肺疾病的 5 位男性中，有 3 位又患胃病现在从不患心肺疾病的 5 位男性中，任意选出 3 位进行其他方面的排查，求恰好有一位患胃病的概率 下面的临界值表供参考： 2()PK k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b cK a b c d a c b d 其中 n a b c d ） y O x 1
8、2 1 3 5 2 18（本小题满分 14 分） 如图， 1AA 、 1BB 为圆柱 1OO 的 母线， BC 是底面圆 O 的直径， D 、 E 分别是 1AA 、 1CB 的中点 （ I）证明： DE /平面 ABC ； （ II）若 21 BCBB ，求三棱锥 BCAA 1 的体积的最大值。 19. （本小题满分 14 分） 已知函致 f (x) x3十 bx2 cx+d. (1）当 b=0 时，求证：曲线 y=f(x)与其在点 (0, f(0)处的切线只有一个公共点； (2）若曲线 y=f(x)在点 (1， f(1)处的切线为 12x+y 13=0,且它们只有一个公共点，求函数 y=f
9、(x)的所有极值之和 20. （本小题满分 14 分） 如图所示，在平面四边形 ABCD 中，AD 1， CD 2， AC 7. (1)求 cos CAD 的值； (2)若 cos BAD 714 ， sin CBA 216 ，求 BC 的长 21 (本小题满分 14 分 ) 已知函数 1ln)1()( xxxbxf ，斜率为 1的直线与 )(xf 相切于 (1,0) 点 . （）求 ( ) ( ) lnh x f x x x的单调区间； （ ） 当实数 01a时 ，讨论 21( ) ( ) ( ) l n 2g x f x a x x a x 的极值点。 佛山一中 2015 届 10月考（文
10、科）数学试题 2014-10-15 参考答案及其评分标准 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C A C C B B C 二、填空题 11. 813,12. )4()4( 4 xxy ； 13. 3 14把 直线 l 的参数 方程化为普通方程得 25xy，把 曲线 C 的参数方程化为普通方程得 21 2 ( 1 1)y x x ，由方程组 21 2 ( 1 1)25y x xxy 解得交点坐标为（ 1， 3） 15 DE 为 OB 的中垂线且 OD=OB， OBD 为等边三角形， 060COD，2 3 4 3 2 3 2 3,.3 3 3 3O D B
11、 C O C O B 三、 16. 解 :(1)由图像知 A=2,T2 =4 T=8=2 , =4 ,得 f(x)=2sin(4 x+ ).-3分 由对应点得当 x=1时 , 4 1+ =2 =4 . f (x)=2sin(4 x+ 4 );-5 分 (2)y=2 sin(4 x+ 4 )+2 sin4 (x+2)+ 4 =2 sin(4 x+ 4 )+2cos(4 x+ 4 ) =2 2 sin(4 x+2 )=2 2 cos4 x, -8 分 x , 4 x ,- -10分 当 4 x= 6 ,即 x= 23 时 ,y 的最大值为 6 ;-11 分 当 4 x= ,即 x= 4 时 ,y
12、的最小值 2 2 .-12 分 17. ( )解：列联表补充如下 -3 分 患心肺疾病 不 患心肺疾病 合计 男 20 5 25 女 10 15 25 合计 30 20 50 ( )解：因为 K 2 = n(ad bc)2(a + b)(c + d)(a + c)(b + d) ，所以 K2 8.333 -6 分 又 P(k 2 7.789) = 0.005 = 0.5%. 那么 ， 我们有 99.5%的 把握认为 是否患心肺疾病 是与 性别 有关系 的 . -8 分 ( )解： 记所选 5人中没有 患胃病 的 2 人为 A1,A2, 患胃病 的 3 人为 B1,B2, B3,则所有基本事件为
13、 : (A1,A2,B1), (A1,A2,B2), (A1,A2,B3), (A1,B1,B2), (A1, B1,B3), (A1,B2,B3), (A2,B1,B2), (A2, B1,B3), (A2,B2,B3),(B1,B2,B3),共有 10 种 . -10分 设 从所选 5 人 任意选出 3位进行其他方面的排查 ， 其中恰好 有一位患胃病的 的事件为 M，则事件 M所包含的的基本事件有 3 个 ： (A1,A2,B1), (A1,A2,B2), (A1,A2,B3) -11 分 根据古典概型概率计算公式，得 103)( MP-12 分18 . （ I）证明：连结 EO， OA.
14、 E, O 分别为 B1C, BC 的中点， EO/BB1. 又 DA/BB1，且 DA=EO=12 BB1.四边形 AOED 是平行四边形， 即 DE/OA, DE 平面 ABC. DE / 平面 ABC. -6 分 （ II）解：设 yACxAB , ，则三棱锥 BCAA 1 的体积 xyACABVV A B CA 31212311 -10 分 又由题， xyyx 2422 ，得 2xy ，且等号当 2yx 时成立； 所以三棱锥 BCAA 1 的体积的最大值为 32 。 -14 分 19.【答案】（ 1）当 b 0 时， f (x) x3 cx d， f (x) 3x2 c f (0) d
15、， f (0) c -2 分 曲线 y f (x)与其在点 (0， f (0)处的切线为 y cx d 由 y x3 cx d，y cx d， 消去 y，得 x3 0， x 0 -4 分 所以 曲线 y f (x)与其在点 (0， f (0)处的切线只有一个公共 点即切点 -5 分 (2）由已知，切点为 (1， 1) 又 f (x) 3x2 2bx c，于是 12)1( 1)1(ff即 1 b c d 1，3 2b c 12， 得 c 2b 15， d b 15 -8 分 从而 f (x) x3 bx2 (2b 15)x b 15 由 y x3 bx2 (2b 15)x b 15，12x y
16、13 0， 消去 y，得 x3 bx2 (2b 3)x b 2 0 -10分 因直线 12x y 13 0 与曲线 y f (x)只有一个公共点 (1， 1)， 则方程 x3 bx2 (2b 3)x b 2 (x 1) (x 1) (x 1) (x b 2) 故 b 3 -12分 于是 f (x) x3 3x2 9x 12， f (x) 3x2 6x 9 3(x 1)(x 3) 当 x 变化时， f (x)， f (x)的变化如下： 由此知， 函数 y f (x)的所有极值之和为 2 -14分 20. 解： (1)在 ADC 中，由余弦定理，得 cos CAD AC2 AD2 CD22AC A
17、D ， 故由题设知， cos CAD 7 1 42 7 2 77 .-6 分 (2)设 BAC ，则 BAD CAD. 因为 cos CAD 2 77 ， cos BAD 714， -8 分 所以 sin CAD 1 cos2 CAD 1 2 772 217 ， -9 分 sin BAD 1 cos2 BAD 1 7142 3 2114 .-10 分 于是 sin sin ( BAD CAD) sin BADcos CAD cos BADsin CAD 3 2114 2 77 714 217 32 .-12 分 在 ABC 中，由正弦定理，得 BCsin ACsin CBA. 故 BC AC
18、sin sin CBA 7 32216 3.-14 分 21 解： （） 1)1(ln)( xxxbxf 2 分 1,112)1( bbf 3分 ( ) ( ) l n l n 1h x f x x x x x 1( ) 1hx x 4分 1( ) 1 0hx x 解得： 01x； 1( ) 1 0hx x 解得： 1x 所以 ()hx 在 (0,1) 上单调递增，在 (1, ) 上单调递减 5分 21( ) ( ) ( ) l n 2g x f x a x x a x = 21(1 ) ln 12a x a x x 2/ 11( ) 1a a x x ag x a xxx 6 分 1( 1
19、) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) a x xa x a x axx 7 分 0)( xg 得： 1,1121 xax 8 01 若 0,1110 aa 即 121 a ， 210 xx x ),0( 1x 1x ),( 21 xx 2x ),( 2x )(/ xf + 0 - 0 + )(xf 极大值 极小值 此时 )(xg 的极小值点 为 1x ，极大值点 11ax 10 分 02 若 0,111 aa 即 21a ， 121 xx ，则 0)( xg ， )(xg 在 ),0( 上单调递增，无极值点 11 分 03 若 0,111 aa 即 210 a ， 121 xx ， x ),0( 2x 2x ),( 12 xx 1x ),( 1x )(/ xf + 0 - 0 + )(xf 极大值 极小值 此时 )(xg 的极大值点 为 1x ，极小值点 11ax 13 分 综上述： 当 121 a 时， )(xg 的极小值点 为 1x ，极大值点 11ax ； 当 21a 时， )(xg 无极值点； 当 210 a 时， )(xg 的极大值点 为 1x ，极小值点 11ax 14 分
