1、全等三角形中辅助线的添加一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。二知识要点：1、添加辅助线的方法和语言表述（1）作线段：连接；（2）作平行线：过点作；（3）作垂线（作高）：过点作，垂足为；（4）作中线：取中点，连接；（5）延长并截取线段：延长使等于；（6）截取等长线段：在上截取，使等于；（7）作角平分线：作平分；作角等于已知角；（8）作一个角等于已知角：作角等于。2、全等三角形中的基本图形的构造与运用常用的辅助线的添加方法：（1） 倍长中线（或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。（2） 截
2、长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。（3） 一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。（4） 角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。（5） 角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：用旋转构造三角形全等。（6） 构造特
3、殊三角形：主要是30、60、90、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。三、基本模型： （1）ABC中AD是BC边中线方式1： 延长AD到E，使DE=AD，连接BE 方式2：间接倍长，作CFAD于F，作BEAD的延长线于E，连接BE方式3： 延长MD到N，使DN=MD，连接CD （2） 由ABEBCD导出 由ABEBCD导出 由ABEBCD导出BC=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD（3）角分线，分两边，对称全等要记全角分线+垂线，等腰三角形必呈现（三线合一）（4） 旋转： 方法：延长其中一个补角的线段（延长CD到E，使
4、ED=BM ，连AE或延长CB到F，使FB=DN ，连AF ） 结论：MN=BM+DN AM、AN分别平分BMN和DNM翻折： 思路:分别将ABM和ADN以AM和AN 为对称轴翻折，但一定要证明 M、P、N三点共线.（B+D=且AB=AD）（5）手拉手模型ABE和ACF均为等边三角形 结论：（1）ABFAEC；（2）B0E=BAE=60（“八字型”模型证明）；（3）OA平分EOF拓展： 条件：ABC和CDE均为等边三角形 结论：（1）、AD=BE （2）、ACB=AOB （3）、PCQ为等边三角形 （4）、PQAE （5）、AP=BQ （6）、CO平分AOE （7）、OA=OB+OC （8）、
5、OE=OC+OD （7），（8）需构造等边三角形证明）ABD和ACE均为等腰直角三角形 结论：（1）、BE=CD （2）BECD ABEF和ACHD均为正方形 结论：（1）、BDCF （2）、BD=CF变形一：ABEF和ACHD均为正方形，ASBC交FD于T，求证：T为FD的中点. 方法一： 方法二： 方法三： 变形二：ABEF和ACHD均为正方形，M为FD的中点，求证：ANBC 当以AB、AC为边构造正多边形时，总有：1=2=. 四、典型例题：考点一：倍长中线（或类中线）法：核心母题 已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_. 练习：1、如图，ABC中，E、F分别在A
6、B、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.2、 如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE. 3、 如图，CE、CB分别是ABC与ADC的中线，且ACB=ABC，求证：CD=2CE。 考点二：截长补短法：核心母题 如图，ADBC，EA，EB分别平分DAB，CBA，CD过点E，求证：AB=AD+BC 练习：1、在ABC中，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。 ABCDEO2、如图，在中，AD，CE分别为的平分线，求证：AC=AE+CD 3、如图，在ABC中，AB=AC，D是ABC
7、外一点，且ABD=60，ACD=60求证：BD+DC=AB 4、已知：如图在ABC中，AB=AC，D为ABC外一点，ABD=60，ADB=90BDC，求证：AB=BDDC。 考点三：一线三等角问题（“K”字图）核心母题 已知：如图，在RtABC中，BAC=90，AB=AC，D是BC边上一点，ADE=45，AD=DE，求证：BD=EC. 练习：1、已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EFED求证：AE平分BAD 2、两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC试判断E
8、MC的形状，并说明理由 3、如图所示，AEAB，BCCD且AB=AE，BC=CD，F、A、G、C、H在同一直线上，如按照图中所标注的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是？ 考点四：角平分线、中垂线法核心母题 1、在中，是的平分线是上任意一点求证： 2、已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE 3、 如图，ABC的边BC的中垂线DF交BAC的外角平分线AD于D，F为垂足，DEAB于E，且ABAC，求证：BE-AC=AE 考点五：角含半角、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法核心母题 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，EAF=45，求证：EF=BE+DF. 练习 1、如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180求证：AD平分CDE. 2、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90，求五边形ABCDE的面积 3、如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，P是ABC内一点，且PA=3，PC=2，PB=1求BPC的度数 考点六：构造特殊三角形核心母题 如图，在ABC中，AD交边BC于点D，BAD=15，ADC=4BAD，DC=2BD（1）求B的度数；（2）求证：CAD=B 10
