1、高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 甘肃省天水市秦安县第二中学 2015 届高三级最后一摸 理科数学试题 说明： 一、本试卷分为第 卷和第 卷第 卷为选择题；第 卷为非选择题，分为必考和选考两部分 二、答题前请仔细阅读答题卡上的 “注意事项 ”，按照 “注意事项 ”的规定答题 三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑如需改动，用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案 四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一
2、项符合题目要求 （ 1） 设集合 1, 0,1, 2, 3A ， 2 20B x x x ，则 AB =（ ） A 3 B 2,3 C 1,3 D 0,1,2 （ 2） 若复数 iia 21 3 （ iRa , 为虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为 （ ） A. 6 B. 2 C. 4 D. 6 （ 3） 已知随机变量 X 服从正态分布 N(1， 2)，若 P (X2) 0.72，则 P (X0) （ A） 0.22 （ B） 0.28 （ C） 0.36 （ D） 0.64 （ 4） 执行右面的程序框图 ，若输出的 k 2，则输入 x 的取值范围是 （ A） (21， 41) （ B）
3、21， 41 （ C） (21， 41 （ D） 21， 41) （ 5） 已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn， a1 a3 5 2 ， 且 a2a4 5 4 ，则 Snan （ A） 4n 1 （ B） 4n 1 （ C） 2n 1 （ D） 2n 1 （ 6） 过双曲线 x2a2y2b2 1 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段 OF（ O 为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 （ A） 2 （ B） 2 （ C） 5 （ D） 3 （ 7） 已知函数 f (x) cos(2x 3 )， g (x) sin(2x 23 )，将 f (x)的图象经过下列哪种变换可以
4、与g (x)的图象重合 （ A）向左平移 12 （ B）向右平移 12 开始 是 x 81？ 否 输入 x x 2x 1 结束 k 0 输出 k k k 1 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks （ C）向左平移 6 （ D）向右平移 6 （ 8） 若某几何体的三视图如 右 图所示 ， 则此几何体的体积等于 （ ） A 30 B 12 C 24 D 4 （ 9）已知向量 a=（ 1, 2） ， b=（ 2,3）若（ c+a） b， c （ b+a），则 c= （ A） （ 79 ， 73 ） （ B） （ 73 ， 79 ） （ C） （
5、73 ， 79 ） （ D） （ 79 ， 73 ） （ 10） 已知半圆的直径 10AB ， O 为圆心， C 为半圆上不同于 BA, 的任意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则 PCPBPA 的最小值是 （ ） 225 . 25 25 . 225 （ 11） 函数 ， 其图像的对称中心是 （ A）（ 1， 1） （ B）（ 1， 1） （ C）（ 0， 1） （ D）（ 0， 1） （ 12）关于曲线 C： x1 2 y 1 2 1， 给出下列四个命题： 曲线 C 有且仅有一条对称轴； 曲线 C 的长度 l 满足 l 2； 曲线 C 上的点到原点距离的最小值为 24 ； 曲线 C 与两
6、坐标轴所围成图形的面积是 1 6 上述命题中，真命题的个数是 （ A） 4 （ B） 3 （ C） 2 （ D） 1 第 卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在题中横线上 11.复数 z i(i 1)(i 为虚数单位 )的共轭复数是 4 3 2 3 3 正视图 侧视图 俯视图 3 2 4 3 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 12.若变量 ,xy满足约束条件 2 11yxxyy,则 2xy 的最大值是 5/3 13 2+2x（ ） 521()mxx 展开式中 2x 项的系数 490,则实数 m 的
7、值为 . 答案： 7 14.已知正项 nnaS数 列 的 前 n 项 和 为，奇数项成公差为 1 的等差数列，当 n 为偶数时点 2 1 2 2( , ) 3 2 1 , 2 , 2n n n na a y x a a a n S 在 直 线 上 , 又 知 则 数 列 的 前 项 和等于 答案：21332 nnn （ 16） ABC 的顶点 A 在 y2 4x 上， B， C 两点在直线 x 2y+5=0 上，若 |AB AC | 2 5 ，则 ABC 面积 的最小值为 _ 三、解答题：本大题共 70 分，其中（ 17） （ 21）题为必考题，（ 22），（ 23），（ 24）题为选考题解答
8、应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （ 17）（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 ab， sin A 3cos A 2sin B （ ）求角 C 的大小； （ ）求 a bc 的最大值 （ 18） （本小题满分 12 分） 4 月 10 日， 2015中国汉字听写大会全国巡回赛正式启动，并拉开第三届“汉听大会”全国海选的帷幕。某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理 后，绘制出频率分布直方图如图所示 （）求频率分布直方图中 a 的值 ,试估计全市学生参加汉字听写考试的平均
9、成绩； （）如果从参加本次考试的同学中随机选取 1 名同学，求这名同学考试成绩在 80 分以上（含 80 分）的概率； （）如果从参加本次考试的同学中随机选取 3 名同学，这 3名同学中考试成绩在 80 分以上（含 80 分）的人数记为 X ，求 X 的分布列及数学期望 （注：频率可 以视为相应的概率） （ 19） （本小题满分 12 分） 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 ABB1A1 为正方形，侧面 BB1C1C 为菱形， CBB1 60，AB B1C （ ）求证：平面 ABB1A1 BB1C1C； （ ）求二面角 B-AC-A1 的余弦值 B C B1B1 A C1 A1A1
10、高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks （ 20）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C： x2a2y2b2 1（ a b 0）经过点 M ( 2， 1)，离心率为22 过点 M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆 C 交于异于 M 的另外两点 P、 Q （ ）求椭圆 C 的方程； （ ） 证明： 直线 PQ 的斜率为定值，并求这个定值； （ ） PMQ 能否为直角？证明你的结论 （ 21）（本小题满分 12 分） 已知 函数 x 轴是函数图象的一条切线 （ ）求 a； （ ）已知； （ ）已知： 请考生在第（ 22），（ 23），（ 24）三
11、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 （ 22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图所示， AC 为 O 的直径， D 为 BC 的中点 ， E 为BC 的 中 点 （ ） 求证： DE AB； （ ）求证： ACBC 2ADCD （ 23） （本小题满分 10 分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系 Ox 中，直线 C1 的极坐标方程为 sin 2， M 是 C1 上任意一点，点 P 在射线 OM 上，且满足 |OP|OM| 4，记点 P 的轨迹为 C2 （ ）求曲线 C2 的极坐标方程； （ ）
12、求曲线 C2 上的点到直线 cos( 4 ) 2距离的最大值 （ 24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选 讲 设 f (x) |x 3| |x 4| （ ）解不等式 f (x)2； （ ）若存在实数 x 满足 f (x)ax 1，试求实数 a 的取值范围 理科数学答案 一、选择题： CABCD ABDCD BA 二、填空题： （ 13） 1 i； （ 14） 5/3； （ 15） 7 ； （ 16） 1 A B C D E O 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 三、解答题： （ 17） 解 ：（ ） sin A 3cos
13、A 2sin B 即 2sin(A 3 ) 2sin B，则 sin(A 3 ) sin B 3 分 因为 0 A， B ，又 ab 进而 AB， 所以 A 3 B，故 A B 23 ， C 3 6 分 （ ）由正弦定理及（ ）得 a bc sin A sin Bsin C 23sin A sin(A 3 ) 3sin A cos A 2sin(A 6 ) 10 分 当 A 3 时， a bc 取最大值 2 12 分 （ 18） 解：（） aaaaaa 2076322 , 11020 a , 005.0a , 2 分 估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为： 5.76951.0853.075
14、35.06515.0551.0 4 分 （）设被抽到的这名同学考试成绩在 80 分以上为事件 A 4.01001.01003.0)( AP 答：被抽到的这名同学考试成绩在 80 分以上的概率为 0.4 6 分 （）由（ 2）知，从参加考试的同学中随机抽取 1 名同学的成绩在 80 分以上的概率为 52 ， X 可能的取值是 0， 1， 2， 3 12527)53()52()0( 3003 CXP ； 1 2 554)53()52()1( 2113 CXP ； 1 2 536)53()52()2( 1223 CXP ； 1 2 58)53()52()3( 0333 CXP X 的分布列为： X
15、0 1 2 3 P 12527 12554 12536 1258 11分 所以 2 7 5 4 3 6 8 6( ) 0 1 2 31 2 5 1 2 5 1 2 5 1 2 5 5EX 12 分 （或 2 (3, )5XB ，所以 26( ) 3 55E X n p ） （ 19） 解 ： （ ）由侧面 ABB1A1 为正方形，知 AB BB1 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 又 AB B1C， BB1B1C B1，所以 AB 平面 BB1C1C， 又 AB平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1 BB1C1C 4 分 （ ）建立
16、如图所示的坐标系 O-xyz 其中 O 是 BB1 的中点， Ox AB， OB1 为 y 轴， OC 为 z 轴 设 AB 2，则 A (2， 1， 0)， B (0， 1， 0)， C (0， 0， 3)， A1(2， 1， 0) AB ( 2， 0， 0)， AC ( 2， 1， 3)， AA1 (0， 2， 0) 6 分 设 n1 (x1， y1， z1)为面 ABC 的法向量，则 n1AB 0， n1AC 0， 即 2x1 0， 2x1 y1 3z1 0取 z1 1，得 n1 (0， 3， 1) 8 分 设 n2 (x2， y2， z2)为面 ACA1 的法向量，则 n2AA1 0，
17、 n2AC 0， 即 2y2 0， 2x2 y2 3z2 0取 x2 3，得 n2 ( 3， 0， 2) 10 分 所以 cos n1， n2 n1n2|n1|n2| 77 因此 二面角 B-AC-A1 的余弦值 为 77 12 分 （ 20）解： （ ）由题设，得 4a2 1b2 1， 且 a2 b2a 22 ， 由 、 解得 a2 6， b2 3， 椭圆 C 的方程为 x26y23 1 3 分 （ ）记 P (x1， y1)、 Q (x2， y2) 设 直线 MP 的方程为 y 1 k(x 2)，与椭圆 C 的方程联立，得 (1 2k2)x2 (8k2 4k)x 8k2 8k 4 0， 2
18、， x1 是该方程的两根，则 2x1 8k2 8k 41 2k2 ， x1 4k2 4k 21 2k2 设 直线 MQ 的方程为 y 1 k(x 2)， 同理得 x2 4k2 4k 21 2k2 6 分 因 y1 1 k(x1 2)， y2 1 k(x2 2)， 故 kPQ y1 y2x1 x2 k(x1 2) k(x2 2)x1 x2 k(x1 x2 4)x1 x28k1 2k28k1 2k2 1， 因此 直线 PQ 的斜率 为定值 9 分 （ ）设直线 MP 的斜率为 k，则直线 MQ 的斜率为 k， B C B1B1 A C1 A1A1 x z y O 高考资源网（ ），您身边的高考专家
19、 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 假设 PMQ 为直角，则 k( k) 1， k 1 若 k 1，则直线 MQ 方程 y 1 (x 2)， 与椭圆 C 方程联立，得 x2 4x 4 0， 该方程有两个相等的实数根 2，不合题意； 同理 ，若 k 1 也不合题意 故 PMQ 不可能为直角 12 分 （ 21）解： （ ） f (x) = 当 x (0， a)时， f (x) 0， f (x)单调递减， 当 x (a， )时， f (x) 0， f (x)单调递增 x 轴是函数图象的一条切线， 切点为（ a， 0） f (a)=lna 1=0，可知 a=1. 4 分 （ ）
20、令 1 ， 由 x0 得知 t1，于是原不等式等价于： . 取，由 （ ）知： 当 t (0， 1)时， g (t) 0， g (t)单调递减， 当 t (1， )时， g (t) 0， g (t)单调递增 g (t) g (1)=0，也就是 . . 8 分 （ ） 由（ ）知： x 是正整数时，不等式 也成立，可以令： x=1， 2， 3， ， n-1，将所得各不等式两边相加，得： 即 . 12 分 （ 22）证明： （ ）连接 OE，因为 D 为 BC的中点 ， E 为 BC的 中 点，所以 OED 三点共线 因为 E 为 BC 的 中 点且 O 为 AC 的 中 点，所以OE AB ，故
21、DE AB 5 分 （ ）因为 D 为 BC的中点 ，所以 BAD DAC，又 BAD DCB DAC DCB 又因为 AD DC， DE CE DAC ECD ACCD ADCEADCD ACCE 2ADCD AC2 CE 2ADCD ACBC 10 分 （ 23）解： （ ）设 P (， )， M (1， )，依题意有 1sin 2， 1 4 3 分 消去 1，得曲线 C2 的极坐标方程为 2sin 5 分 （ ）将 C2， C3 的极坐标方程化为直角坐标方程，得 C2： x2 (y 1)2 1， C3： x y 2 7 分 C2 是以点 (0， 1)为圆心，以 1 为半径的圆，圆心到直线
22、 C3 的距离 d 3 22 ， EBOA CD高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 故曲线 C2 上的点到直线 C3 距离的最大值为 1 3 22 10 分 （ 24） 解 ： （ ） f (x) |x 3| |x 4|7 2x， x 3，1， 3x4，2x 7， x 4 2 分 作函数 y f (x)的图象，它与直线 y 2 交点的横坐标为 5 2 和 9 2 ，由图象知 不等式 f (x)2 的解集为 5 2 ， 9 2 5 分 （ ）函数 y ax 1 的图象是过点 (0， 1)的直线 当且 仅当函数 y f (x)与直线 y ax 1 有公共点时，存在题设的 x 由图象知 ， a 取值范围为 ( ， 2) 1 2 ， ) 10 分 新课标第一网 系列资料 版权所有：高考资源网 () 3 O x y 4 5 2 9 2 1 y 2 y ax 1 y f (x) y ax 1 a 1 2 a 2 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks
