1、高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 侧（左）视图 4 2 1 俯视图 2 正（主）视图 （第 6 题图） 揭阳第一中学 2014-2015 年度第二学期第 2 次阶段考试 高二级理科数学 试题 参考数据： 1、台体的体积公式： hSSSSV )(31 ，其中 S 、 S 分别表示上、下底面面积， h 表示高； 2、若 ),( 2NX ，有 6 8 2 8.0)( XP ，9544.0)22( XP ， 9 9 7 4.0)33( XP . 一、选择题 （ 本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有
2、一项是符合题目要求的 ） 1. 集合 | ln 0A x x， 2 | 16B x x，则 BA （ ） A. )4,1( B. )4,1 C. ),1 D. )4,e 2已知复数 ，则 z 等于（ ） A. 22 B.1 C.2 D. 2 3.“ ”是“曲线 )2sin( xy 过坐标原点”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 已知集合 2,1A ， 6B ， 7,4,3C ，从这三个集合中各取一 个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（ ） A.6 B.12 C.24 D.36 5.有 5 本不同的书，其中语文书
3、 2 本，数学书 2 本，物理书 1本，若将其 随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率是（ ） A.51 B.52 C.101 D.203 6. 某几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是 （ ） A 203 B 103 C 6 D 163213z i 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 7. 已知随机变量 服从正态分布 )49,1(N ，则 )4(P （ ） A. 0013.0 B. 0026.0 C. 0228.0 D. 0456.0 8 等比数列 na 的各项均为正数 ，且
4、 5 6 4 7 18a a aa ，则 3 1 3 2 3 1 0l o g l o g l o ga a a （ ） A. 12 B. 10 C. 5log1 3 D. 5log2 3 9. 通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由)()()( )(22dbcadcba bcadnK 得， 8.750605060 )20203040(1 1 0 22 K . 附表： 参照附表，下列结论正确的是（ ） A在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与
5、性别有关” B在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 10. 若椭圆 22 1( 0 , 0 )xy abab 的面积为 ab ，则 2 220 12x dx（ ） A 4 B8C 24 D 2811.设 1F 、 2F 为椭圆的两个焦点，以 2F 为圆心作圆 2F ，已知圆 2F 经过椭圆的中心，且与椭圆相交于 M 点，若直线 1MF 恰与圆 2F 相切，则该椭圆的离心率 e 为（ ） A 13 B 32 C 22 D 23 12.设 )(xf 是连续的
6、偶函数，且当 0x 时， )(xf 是单调函数，则满足 )43()( xxfxf 的所有 x 之和为（ ） A.3 B. 3 C.8 D. 8 )( 2 kKP 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分） 13若 3tan ，则 2sin 14 在矩形 ABCD 中， AB (1, 3) ， ( , 2)AC k，则实数 k 15 已知等差数列 na 中，有 11 12 20 1 2 3010 30a a a
7、a a a 成立类似地，在等比数列 nb 中， 有 _成立 16. 函数 ()fx是定义在 R 上的偶函数，且满足 ( 2) ( )f x f x 当 1,0x 时， ( ) 2f x x .若在区间 3,2 上方程 +2 ( ) 0ax a f x恰有四个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围为 三、解答题 （ 本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17（本小题满分 10 分） 已知 2 31( ) c o s s in 222f x x x ， （ 1）写出 )(xf 图像的对称中心的坐标和单调递增区间； （ 2） ABC 三个内角 A 、 B 、 C
8、 所对的边为 a 、 b 、 c ，若 01)( Af ， 2cb 求a 的最小值 18.（本小题满分 10 分） 某网站用“ 10 分制”调查一社区人们的幸福度 .现从调查人群中随机抽取 16 名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数 (以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶 )： 幸福 度 7 3 0 8 6 6 6 6 7 7 8 8 9 9 9 7 6 5 5 若幸福度不低于 9.5 分，则称该人的幸福度为“极幸福” . （ 1）从这 16 人中随机选取 3 人， 记 X 表示 抽到“极幸福”的人数， 求 X 的分布列及数学期望，并求出 至多有 1 人是“极幸福”的概率； （ 2
9、）以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区 (人数很多 )任选 3 人，高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 记 表示抽到“极幸福”的人数，求 的数学期望 19.（本小题 满分 12 分） 如图，菱形 ABCD 与矩形 BDEF 所在平面互相垂直，3BAD （ 1） 求证： FC 平面 AED ； （ 2） 若 BDkBF ，当二面角 CEFA 为直二面角时，求 k 的值； （ 3） 在 （ 2） 的条件下，求直线 BC 与平面 AEF 所成的角 的正弦值 20（本小题 满分 12 分） 已知数列 na 满足： 1 2
10、3 , ( 1 , 2 , 3 , )nna a a a n a n （ 1）求证：数列 1na 是等比数列； （ 2）令 (2 )( 1)nnb n a （ 1,2,3.n ），如果对任意 *nN ，都有 214nb t t，求实数 t 的取值范围 21 （本小题 满分 12 分） 如图，过点 (0, 2)D 作抛物线 2 2 ( 0)x py p的切线 l ，切点 A在第二象限 （ 1） 求切点 A 的纵坐标 ； （ 2） 若离心率为 23 的椭圆 )0(12222 babyax 恰好经过切点 A ，设切线 l 交椭圆的另一点为 B ，记切线 l ， OA， OB 的斜率分别为 k ， 1
11、k ， 2k ，若 kkk 42 21 ，求椭圆方程 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 22 （本小题满分 14 分） 已知函数 ( ) ln 1f x x a x ，其中 0a . （ 1） 若 函数 ()fx在 (0, ) 上 有极大值 0， 求 a 的值； （提示：当且仅当 1x 时， 1ln xx ） （ 2） 讨论并 求出函数 ()fx在区间 1 , ee 上的最大值； （ 3）在（ 2）的条件下设 ( ) ( ) 1h x f x x ，对任意 1 2 1 2, ( 0 , )( )x x x x ， 证明：不等式 1 2
12、1 212( ) ( ) 2x x x xh x h x 恒成立 . 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 揭阳第一中学 2014-2015 年度第二学期第 2 次阶段考试 高二级理科数学 答案 一、 选择题： BBADA BCBCD AD 二、 填空题 : 13.53 14. 4 15. 30 302110 201211 bbbbbb 16. 3252 a 三、 解答题： 17.解：（ 1）化 简得： )32c o s()( xxf ， 2 分 对称中心为： )(0,122( Zkk ， 4 分，单调递增区间为：)(6,32 Zkkk 6
13、 分（ 2） 由 （ 1）知： 01)32c o s ()( AAf ，1)32c o s( A ， A0 ， 37323 A ， 32A ， 3A ， 8 分 根据余弦定理： 1)2(34343c o s2 2222 cbbcbccba ， 当且仅当 1cb 时， a 取最小值 1. 12 分 18.解：（ 1） X 的可能取值为 0 、 1、 2 、 3 ， 1 分 2811)0( 316312 CCXP，7033)1( 31614212 C CCXP， 709)2( 31624112 C CCXP，1 4 01)3( 31634 CCXP， 3 分 X 的分布列 为 4 分 数学期望 4
14、31401370927033128110)( XE ， 5 分 至多有 1 人 是 “ 极 幸 福 ” 记 为 事 件 A ，则1 4 01 2 170332811)1()0()( XPXPAP . 6 分 （ 2）解法一： 的可能取值为 0、 1、 2、 3， 随机选取 1人是“极幸福”的概率为 41164 P 6427)43()0( 3 P ； 6427)43(41)1( 213 CP X 0 1 2 3 P 2811 7033 709 1401 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks zyxNMFED CBA64943)41()2( 2
15、23 CP ； 641)41()3( 3 P 的 分布列 为 数学期望 )(E 2 7 2 7 9 10 1 2 3 0 . 7 56 4 6 4 6 4 6 4 . 10分 解法二：依题意 知， 随机选取 1人是“极幸福”的概率为 41164 P ， 故随机变量 满足二项分布 )41,3(B ，故数学期望 43413)( E . 10 分 19 （ 1）证明： ADBCEDFB , ， BBCPB ， DADED ， 平面 FBC 平面 EDA ， 故 FC 平面 AED 4 分 （ 2） 解： 取 BDEF, 的中点 NM, .由于 , CFCEAFAE 所以 EFCMEFAM , ， A
16、MC 就是二面角 CEFA 的平面角 6 分 当二面角 CEFA 为直二面角时， BDANMN 23 ，即 .23k 8 分 （ 3） 几何方法： 由（ 2） CM 平面 AEF ，欲求直线 BC 与平面 AEF 所成的角，先求 BC 与 MC 所成的角 . 9 分 连结 BM ，设 .2BC 则在 MBC 中， 6322 MNCM ， 2MB ，.462c o s 222 BCMC MBBCMCM C B .46sin 12 分 （ 3） 向量方法： 以 D 为原点， DC 为 y 轴、 DE 为 z 轴 ， 建立如图的直角坐标系， 设 .2AD 则 )3,21,23(M ， )0,2,0(
17、C ，平面 AEF 的法向量 )3,23,23( MCn ， 10 分 ， )0,1,3( DACB . 0 1 2 3 P 6427 6427 649 641 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks .46,c o s CBn CBnCBn .46sin 12 分 20 解：（ 1）由题可知： 1 2 3 1n n na a a a a n a 1 2 3 1 11n n na a a a a n a 可得 121nnaa .即：1 11 ( 1)2nnaa ，又1 11 2a 所以数列 1na 是以 12为首项，以 12为公比的等比数列
18、6 分 （ 2）由 （ 1） 可得 11 ( )2 nna ， 22n nnb 8 分 由1 1 1 11 2 2 1 2 ( 2 ) 3 02 2 2 2nn n n n nn n n n nbb ， 可得 3n 而 由 1 0nnbb 可得3n 所以 1 2 3 4 5 nb b b b b b ， 故 nb 有最大值3418bb 1 0 分 所以，对任意 *nN ，有 18nb 如果对任意 *nN ，都有 214nb t t，即 2 14nb t t成立， 则 2max 1() 4nb t t，故有 ： 21184tt 解得 12t 或 14t 所以，实数 t 的取值范围是 11( ,
19、42 ， ） 1 2 分 21.解： （ 1） 设切点 ),( 00 yxA ，且pxy 2200 ，由切线 l 的斜率为pxk 0， 得 l 的方程为pxxpxy 2200 ，又点 )2,0( D 在 l 上， 2220 px，即点 A 的纵坐标0y 2. 4 分 （ 2） 由 （ 1） 得 )2,2( pA ，切线斜率pk 2， 设 ),( 11 yxB ，切线方程为 2kxy ，由 23e ，得 22 4ba ， 所以椭圆方程为 142222 bybx ，且过 )2,2( pA ， 42 pb 由高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks
20、041616)41(44 2 222222 bkxxkbyx kxy 2210210414164116kbxxkkxx， 7分 0 1 0 0 11120 1 0 11 0 0 1011001222( 2) 2 ( 2)243y x y x yykkx x x xx k x x k xxxxxkxx 1 0 001222222( ) 2332414316 41432 4 (1 4 )316 44x x xkxxkpkkbkk p kkbk 将pk 2， 42 pb 代入得： 32p ，所以 144,36 22 ab 椭圆方程为 136144 22 yx 12 分 22. 分析： （ 1） 11
21、( ) axf x axx 1 分 明显，当 x 1(0, )a 时， 0)( xf ，当 x 1( , )a 时， 0)( xf 故函数 )(xf 在 1(0, )a 上单调递增，在 1( , )a 上单调递减， 3 分 因此函数 )(xf 在 (0, ) 上有极大值 1( ) ln 1 0f a aa ln 1aa，解得 1a 5 分 （ 2） 11( ) axf x axx 若 1 ea ，即 10 a e ，则当 1 , xee 时，有 ( ) 0fx ， 函数 )(xf 在 1 , ee 上单调递增，则 m a x( ) ( ) 1f x f e ea a 6 分 若 11eea，即
22、 1 aee，则函数 f (x)在 11( , )ea 上单调递增，在 1( , )ea 上单调递减， m a x 1( ) ( ) ln 1f x f a aa 7 分 若 11ae ，即 ae ，则当 1 , xee 时，有 ( ) 0fx ，函数 f (x)在 1 , ee 上单调递减， 高考资源网（ ），您身边的高考专家 投稿兼职请联系： 2355394692 www.ks 则m a x 1( ) ( ) 1 af x f aee 8 分 综上得，当 10 a e 时， m ax( ) 1f x ea a ；当 1 aee时， m a x( ) ln 1f x a a ； 当 ae
23、时，m ax( ) 1 af x ae 9 分 （ 3）要证明 1 2 1 212( ) ( ) 2x x x xh x h x ，只需证明 1 2 1 212ln ln 2x x x xxx 10 分 只需证明 121212 1 ln ln2xx xxxx 即证明1211 221 1ln21xxxx xx， 11 分 不妨设 120xx，令 12x tx ，则 1t ，则需证明 0ln2111 ttt 12 分 令 )1(ln2111)( ttttx ，则 0)1(2 )1()( 22 tt tx， ）上单调递减，在（ 1)(t 0ln21110)1()( tttt 即 故不等式 1 2 1 212( ) ( ) 2x x x xh x h x 得证 14 分
