1、梯形常用辅助线的做法常见的梯形辅助线基本图形如下:1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形【例1】 已知：如图,在梯形ABCD中,.求证：.分析:平移一腰BC到DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决,即AB=2CD.证明：过D作 ,交AB于E. AB平行于CD,且 ,四边形 是菱形. 又 为等边三角形. 又 , .【例2】如图,在梯形ABCD 中,ADBC , E、F 分别是AD 、BC 的中点,若 .AD = 7 ,BC = 15 ,求EF 分析：由条件 ,我们通过平移AB 、DC ；构造直角三角形MEN ,使EF 恰好是MEN 的中线解：
2、过E 作EMAB ,EN DC ,分别交BC 于M 、N , , 是直角三角形, , , . 、 分别是 、 的中点, 为 的中点, . 变式：如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。图1析解：过点B作BM/AD交CD于点M，则梯形ABCD转化为BCM和平行四边形ABMD。在BCM中，BM=AD=4，CM=CDDM=CDAB=83=5，所以BC的取值范围是：54BC54，即1BCCD，求证：BDAC。 图8析证：作AEBC于E，作DFBC于F，则易知AE=DF。在RtABE和RtDCF中，因为ABCD，AE=DF。所以由勾股定理得BECF。即BFC
3、E。在RtBDF和RtCAE中由勾股定理得BDAC4.平移对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一个平行四边形和三角形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决【例5】.如图,等腰梯形 中, , ,且 , 是高, 是中位线,求证： 分析：由梯形中位线性质得 ,欲证 ,只要证 过 点作 ,交 的延长线于 ,就可以把 、 和 移到三角形 中,再证明等式成立就简单多了证明：过 点作 交 的延长线于点 ,则四边形 是平行四边形 , 四边形 是等腰梯形, , 又 , , , . , 又 , . 【例6】.已知：如图,在梯形中, .求证：梯形 是等腰梯形.证明：过D
4、作 ,交BA延长线于E.则四边形 是平行四边形. 又 , 于是,可得 梯形ABCD是等腰梯形.变式1：如图3，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，AD=3，BC=7，BD=，求证：ACBD。图3析解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E，易得四边形BCED是平行四边形，则DE=BC，CE=BD=，所以AE=ADDE=ADBC=37=10。在等腰梯形ABCD中，AC=BD=，所以在ACE中，从而ACCE，于是ACBD。变式2：（平移对角线）已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_变式3:如图4，在梯形ABCD中，AD/BC，AC=15
5、cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。图4析解：过点D作DE/AC，交BC的延长线于点E，则四边形ACED是平行四边形，即。所以由勾股定理得（cm）（cm）所以，即梯形ABCD的面积是150cm2。5.遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线,中位线与上、下底都平行,且三线段有数量关系. 或利用“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形解决问题 【例7】.已知：如图4,在梯形 中, 是 的中点,且 .求证：.证明：取 的中点F,连结FE.则 ,. 【例8】.已知：梯形 ABCD中AD BC,E为AB中点,且ADBC=DC ,
6、求证：DEEC,DE平分ADC,CE平分BCD 证法1：取DC中点F,连结EF,E为AD中点,则EF为梯形的中位线 EFADBC EF=(ADBC) 1=5,3=6 DC=ADBC EF=DC=DF=CF 1=2,3=4 2=5,4=6 1324=180 13=90 DEC,DE平分ADC,CE平分CD 证法2：延长CE与DA延长线交于一点F,过程略证法3：在DC上截取DF=AD,连结AF、BF、EF解决.变式1：如图9，在梯形ABCD中，AB/DC，O是BC的中点，AOD=90，求证：ABCD=AD。图9析证：取AD的中点E，连接OE，则易知OE是梯形ABCD的中位线，从而OE=（ABCD）
7、在AOD中，AOD=90，AE=DE所以由、得ABCD=AD。变式2：在梯形ABCD中，ADBC， BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求AEB=2CBE。解、分析：分别延长AE与BC ，并交于F点，从而等到ADE与FCE是全等的，在利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可以求出结论”。解：分别延长AE与BC ，并交于F点BAD=900且ADBCFBA=1800BAD=900 又ADBCDAE=F(两直线平行内错角相等) AED=FEC （对顶角相等）DE=EC （E点是CD的中点）ADEFCE （AAS） AE=FE在ABF中FBA=900 且AE=FE BE=FE（直角
8、三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 在FEB中 EBF=FEBAEB=EBF+ FEB=2CBE6.已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。例10如图10，在梯形ABCD中，AD/BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）EF/AD；（2）。图10析证：连接DF，并延长交BC于点G，易证AFDCFG则AD=CG，DF=GF由于DE=BE，所以EF是BDG的中位线从而EF/BG，且因为AD/BG，所以EF/AD，EF7.当遇到以上的梯形辅助线添加后不能解决问题时,可以特题特解,结合具体问题中的具体条件,寻求特殊的方法解决问题.比
9、如可将对角线绕中点旋转 、利用一腰中点旋转、将梯形补成平行四边形或三角形问题.【例9】.已知：如图5,在梯形ABCD 中, M、N分别是BD 、AC 的中点.求证： .证明：连结并延长 ,交 于E.则 . 又N是AC的中点, ,故 取一腰的中点,连结顶点和这个中点并延长与对边的延长线相交,可得两个全等三角形【例10】.如图,梯形 中, , 、 分别平分 和 , 为 中点,求证： 分析：要证明 ,可以利用 为 中点,延长 与 的延长线交于 , ,得到 ,再证明 即可证明：延长 、 交于点 F,显然 , . 又 , , , , 是线段 的垂直平分线 , . 评注：添加辅助线后,沟通了 、 与 的联
10、系,由线段垂直平分线性质得出 ,从而问题获得解决利用一腰中点旋转 【例11】.已知：如图,在梯形 中, 是CD的中点.求证：. 证明：延长AE、BC相交于点F.易证. , , 即 .BE是等腰 底边上的高. .说明：在图5中, 相当于由 绕点E旋转 得到；在图6中, 是由 绕点E旋转 得到.【例12】.如图,梯形 中, , 为腰 的中点,求证： .分析： 与梯形ABCD的面积关系不明显,如果利用梯形助特点把它补成如图7的平行四边形,它们之间的关系就清晰了梯形补成平行四边形,各种关系明显、直观,解题思路清晰证明：延长 ,使 ,延长 ,使 ；则 ,则四边形 是平行四边形 为 的中点,连结 , 与
11、交于点 .连结 、 ,则 . , 是 中点, 为 中点且是 中点四边形 是平行四边形, , 【模拟试题】1. 若等腰梯形的锐角是60，它的两底分别为11cm，35cm，则它的腰长为_cm. 2. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，B60，AD2，BC8，则此等腰梯形的周长为（ ）A. 19B. 20C. 21D. 223. 如图所示，ABCD，AEDC，AE12，BD20，AC15，则梯形ABCD的面积为（ ）A. 130B. 140C. 150D. 1604. 如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知ADBC，对角线AC与BD互相垂直，且AD30，BC70，求BD的长. 5. 如图所示
12、，已知等腰梯形的锐角等于60，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长. 6. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，ADBC10，DEBC于E，求DE的长. 7. 如图所示，梯形ABCD中，ABCD，D2B，ADDC8，求AB的长. 8. 如图所示，梯形ABCD中，ADBC，（1）若E是AB的中点，且ADBCCD，则DE与CE有何位置关系？（2）E是ADC与BCD的角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系？【课后演练】1（本小题满分5分）已知：如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，BAD、CDA的平分线AE、DF分别交直线BC于点E、F求证： CE=BF2如图，在梯
13、形中，求的长3如图6，在梯形中，DE=EC，AB=4,AD=2，求的长4如图，在平面直角坐标系中，A（，0），B（，2）.把矩形OABC逆时针旋转得到矩形.（1）求点的坐标； （2）求过点（2，0）且平分矩形面积的直线方程；备用图（3）设（2）中直线交轴于点P，直接写出与的面积和的值及与的面积差的值.5. 如图，矩形纸片ABCD中，BC=4，AB=3，点P是BC边上的动点(点P不与点B、C重合)现将PCD沿PD翻折，得到PCD；作BPC的角平分线，交AB于点E设BP= x,BE= y,则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是6已知：如图，梯形ABCD中，DCAB，AD=BC，对角线AC
14、、BD交于点O，COD=60，若CD=3，AB=8，求梯形ABCD的高 7已知如图，直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，APD中边AP上的高为 .12题图 DCPBA8 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线作匀速运动，那么ABP的面积S与点P运动的路程之间的函数图象大致是O3113SxAO113SxO3Sx3O113SxBCD29如图，在四边形中，AC平分BAD，求AC的长OOOP10题10如图，直线：与直线：相交于点（1）求的值；（2）不解关于的方程组 请你直接写出它的解；（3）直线：是
15、否也经过点？请说明理由11已知：关于的一元二次方程（m为实数） 若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；12已知：如图，直线与轴、轴分别交于点和点，是轴上的一点，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，求直线的解析式14如图，在梯形ABCD中，AD/BC，BDDC，C=60，AD=4，BC=6，求AB的长15已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=45，BAC=105，AD=CD=4求BC的长DABC16已知：将函数的图象向上平移2个单位，得到一个新的函数的图像 (1)求这个新的函数的解析式；(2)若平移前后的这两个函数图象分别与y轴交于、两点，与直线xyO交于、两点试判断以、四点为顶点的四边形形状，并说明理由；17 如图，在梯形中，过点，求的长
