1、第三章例3-1 系统的结构图如图3-1所示。已知传递函数 。 今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间ts减小为原来的0.1倍，并保证总放大系数不变。试确定参数Kh和K0的数值。解 首先求出系统的传递函数（s），并整理为标准式，然后与指标、参数的条件对照。 一阶系统的过渡过程时间ts与其时间常数成正比。根据要求，总传递函数应为即 比较系数得 解之得 、 解毕。例3-10 某系统在输入信号r(t)=(1+t)1(t)作用下，测得输出响应为： （t0）已知初始条件为零，试求系统的传递函数。解 因为故系统传递函数为 解毕。例3-3 设控制系统如图3-2所示。试分析参数b的取值对系统阶跃响应动态性能的影
2、响。解 由图得闭环传递函数为系统是一阶的。动态性能指标为因此，b的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。解毕。例 3-12 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。试确定系统的传递函数。h(t)t0.1034图3-34 二阶控制系统的单位阶跃响应解 首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1，而是3。系统模型为bs然后由响应的、及相应公式，即可换算出、。（s）由公式得换算求解得： 、 解毕。例3-13 设系统如图3-35所示。如果要求系统的超调量等于，峰值时间等于0.8s，试确定增益K1和速度反馈系数Kt 。同时，确定在此K1和Kt数值下
3、系统的延迟时间、上升时间和调节时间。1+Kts图3-35C(s)R(s)解 由图示得闭环特征方程为即 ，由已知条件 解得于是 解毕。图3-36 例3-14 控制系统结构图H(s)C(s)R(s)例3-14 设控制系统如图3-36所示。试设计反馈通道传递函数H(s)，使系统阻尼比提高到希望的1值，但保持增益K及自然频率n不变。解 由图得闭环传递函数 在题意要求下，应取 此时，闭环特征方程为：令： ，解出，故反馈通道传递函数为： 解毕。例3-15 系统特征方程为试判断系统的稳定性。解 特征式各项系数均大于零，是保证系统稳定的必要条件。上述方程中s一次项的系数为零，故系统肯定不稳定。解毕。例3-16
4、 已知系统特征方程式为试用劳斯判据判断系统的稳定情况。解 劳斯表为 1 18 8 16 由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号，满足系统稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。解毕。例3-17 已知系统特征方程为试判断系统稳定性。解 本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。如果在劳斯行列表中某一行的第一列项等于零，但其余各项不等于零或没有，这时可用一个很小的正数来代替为零的一项，从而可使劳斯行列表继续算下去。劳斯行列式为 由劳斯行列表可见，第三行第一列系数为零，可用一个很小的正数来代替；第四行第一列系数为（2+2/，当趋于零时为正数；第五行第一列系数
5、为（4452）/（2+2），当趋于零时为。由于第一列变号两次，故有两个根在右半s平面，所以系统是不稳定的。解毕。例3-18 已知系统特征方程为试求：（1）在右半平面的根的个数；（2）虚根。解 如果劳斯行列表中某一行所有系数都等于零，则表明在根平面内存在对原点对称的实根，共轭虚根或（和）共轭复数根。此时，可利用上一行的系数构成辅助多项式，并对辅助多项式求导，将导数的系数构成新行，以代替全部为零的一行，继续计算劳斯行列表。对原点对称的根可由辅助方程（令辅助多项式等于零）求得。劳斯行列表为 由于行中各项系数全为零，于是可利用行中的系数构成辅助多项式，即求辅助多项式对s的导数，得原劳斯行列表中s3行各
6、项，用上述方程式的系数，即8和24代替。此时，劳斯行列表变为 1 8 20 2 12 16 2 12 16 8 24 6 16 2.67 16新劳斯行列表中第一列没有变号，所以没有根在右半平面。对原点对称的根可解辅助方程求得。令 得到 和 解毕。例3-19 单位反馈控制系统的开环传递函数为试求： （1）位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数；（2）当参考输入为，和时系统的稳态误差。解 根据误差系数公式，有位置误差系数为 速度误差系数为加速度误差系数为对应于不同的参考输入信号，系统的稳态误差有所不同。参考输入为，即阶跃函数输入时系统的稳态误差为参考输入为，即斜坡函数输入时系统的稳态误差为参考
7、输入为，即抛物线函数输入时系统的稳态误差为 解毕。例3-20 单位反馈控制系统的开环传递函数为输入信号为r（t）=A+t，A为常量，=0.5弧度/秒。试求系统的稳态误差。解 实际系统的输入信号，往往是阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数等典型信号的组合。此时，输入信号的一般形式可表示为系统的稳态误差，可应用叠加原理求出，即系统的稳态误差是各部分输入所引起的误差的总和。所以，系统的稳态误差可按下式计算：对于本例，系统的稳态误差为本题给定的开环传递函数中只含一个积分环节，即系统为1型系统，所以系统的稳态误差为 解毕。例3-21 控制系统的结构图如图3-37所示。假设输入信号为r(t)=at (为任意常数
8、)。证明：通过适当地调节Ki的值，该系统对斜坡输入的响应的稳态误差能达到零。Kis+1图3-37 例3-21控制系统的结构图C(s)R(s)解 系统的闭环传递函数为即 因此 当输入信号为r(t)=at时，系统的稳态误差为要使系统对斜坡输入的响应的稳态误差为零，即ess=0，必须满足所以 解毕。例3-22 设单位负反馈系统开环传递函数为。如果要求系统的位置稳态误差ess=0，单位阶跃响应的超调量Mp%=4.3%，试问Kp、Kg、T，各参数之间应保持什么关系？解 开环传递函数显然 解得:由于要求故应有 0.707。于是，各参数之间应有如下关系本例为I型系统，位置稳态误差ess=0的要求自然满足。解
9、毕。例3-23 设复合控制系统如图3-38所示。其中 ， ， 试求 时，系统的稳态误差。sK3C(s)图3-38 复合控制系统R(s)K1解 闭环传递函数等效单位反馈开环传递函数表明系统为II型系统，且当时，稳态误差为 解毕。例3-24 已知单位反馈系统的开环传递函数 。 试选择参数及的值以满足下列指标：（1）当r(t)= t时，系统的稳态误差ess0.02；（2）当r(t)=1(t)时，系统的动态性能指标Mp%30%，ts0.3s (=5%)解 开环增益应取K50 。现取K=60 。因故有，于是 取% ，计算得此时(S)满足指标要求。最后得所选参数为：K=60 T=0.02 (s) 解毕。例
10、3-25 一复合控制系统如图3-39所示。图3-39 复合控制R(s)C(s)G2(s)G1(s)Gr(s)E(s)图中：K1、K2、T1、T2均为已知正值。当输入量r(t)= t2/2时，要求系统的稳态误差为零，试确定参数 a和b 。解 系统闭环传递函数为故 误差为 代入 及、, 得 闭环特征方程为 易知，在题设条件下，不等式成立。由劳斯稳定判据，闭环系统稳定，且与待求参数、 无关。此时，讨论稳态误差是有意义的。而若 则有系统的稳态误差为因此可求出待定参数为 解毕。E(s)C(s)N(s)R(s)2.5 图3-40 控制系统结构图例3-26 控制系统结构如图3-40所示。误差E(s)在输入端
11、定义。扰动输入是幅值为2的阶跃函数。 （1）试求K=40时，系统在扰动作用下的稳态输出和稳态误差。（2）若K=20，其结果如何？（3）在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节1/s，对结果有何影响？在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节1/s，结果又如何？解 在图中，令 ，则 代入，得 令，得扰动作用下的输出表达式 此时，误差表达式为 即 而扰动作用下的稳态输出为代入N(s)、G1、G2和H的表达式，可得，（1）当时，（2）当时，可见，开环增益的减小将导致扰动作用下系统稳态输出的增大，且稳态误差的绝对值也增大。若1/s加在扰动作用点之前，则，不难算得，若1/s加在扰动作用点之后，则，容易求出可见，在扰动作用点之前的前向通道中加入积分环节，才可消除阶跃扰动产生的稳态误差。解毕。例3-27设单位反馈系统的开环传递函数为已知系统的误差响应为 （t0）试求系统的阻尼比、自然振荡频率n和稳态误差ess。解 闭环特征方程为由已知误差响应表达式，易知，输入必为单位阶跃函1(t)，且系统为过阻尼二阶系统。故即，系统时间常数为令 得 代入求出的时间常数，得，稳态误差为实际上，I型系统在单位阶跃函数作用下，其稳态误差必为零。解毕。
