自动控制原理习题及其解答 第三章.doc

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1、第三章例3-1 系统的结构图如图3-1所示。已知传递函数 。 今欲采用加负反馈的办法,将过渡过程时间ts减小为原来的0.1倍,并保证总放大系数不变。试确定参数Kh和K0的数值。解 首先求出系统的传递函数(s),并整理为标准式,然后与指标、参数的条件对照。 一阶系统的过渡过程时间ts与其时间常数成正比。根据要求,总传递函数应为即 比较系数得 解之得 、 解毕。例3-10 某系统在输入信号r(t)=(1+t)1(t)作用下,测得输出响应为: (t0)已知初始条件为零,试求系统的传递函数。解 因为故系统传递函数为 解毕。例3-3 设控制系统如图3-2所示。试分析参数b的取值对系统阶跃响应动态性能的影

2、响。解 由图得闭环传递函数为系统是一阶的。动态性能指标为因此,b的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。解毕。例 3-12 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。试确定系统的传递函数。h(t)t0.1034图3-34 二阶控制系统的单位阶跃响应解 首先明显看出,在单位阶跃作用下响应的稳态值为3,故此系统的增益不是1,而是3。系统模型为bs然后由响应的、及相应公式,即可换算出、。(s)由公式得换算求解得: 、 解毕。例3-13 设系统如图3-35所示。如果要求系统的超调量等于,峰值时间等于0.8s,试确定增益K1和速度反馈系数Kt 。同时,确定在此K1和Kt数值下

3、系统的延迟时间、上升时间和调节时间。1+Kts图3-35C(s)R(s)解 由图示得闭环特征方程为即 ,由已知条件 解得于是 解毕。图3-36 例3-14 控制系统结构图H(s)C(s)R(s)例3-14 设控制系统如图3-36所示。试设计反馈通道传递函数H(s),使系统阻尼比提高到希望的1值,但保持增益K及自然频率n不变。解 由图得闭环传递函数 在题意要求下,应取 此时,闭环特征方程为:令: ,解出,故反馈通道传递函数为: 解毕。例3-15 系统特征方程为试判断系统的稳定性。解 特征式各项系数均大于零,是保证系统稳定的必要条件。上述方程中s一次项的系数为零,故系统肯定不稳定。解毕。例3-16

4、 已知系统特征方程式为试用劳斯判据判断系统的稳定情况。解 劳斯表为 1 18 8 16 由于特征方程式中所有系数均为正值,且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号,满足系统稳定的充分和必要条件,所以系统是稳定的。解毕。例3-17 已知系统特征方程为试判断系统稳定性。解 本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。如果在劳斯行列表中某一行的第一列项等于零,但其余各项不等于零或没有,这时可用一个很小的正数来代替为零的一项,从而可使劳斯行列表继续算下去。劳斯行列式为 由劳斯行列表可见,第三行第一列系数为零,可用一个很小的正数来代替;第四行第一列系数为(2+2/,当趋于零时为正数;第五行第一列系数

5、为(4452)/(2+2),当趋于零时为。由于第一列变号两次,故有两个根在右半s平面,所以系统是不稳定的。解毕。例3-18 已知系统特征方程为试求:(1)在右半平面的根的个数;(2)虚根。解 如果劳斯行列表中某一行所有系数都等于零,则表明在根平面内存在对原点对称的实根,共轭虚根或(和)共轭复数根。此时,可利用上一行的系数构成辅助多项式,并对辅助多项式求导,将导数的系数构成新行,以代替全部为零的一行,继续计算劳斯行列表。对原点对称的根可由辅助方程(令辅助多项式等于零)求得。劳斯行列表为 由于行中各项系数全为零,于是可利用行中的系数构成辅助多项式,即求辅助多项式对s的导数,得原劳斯行列表中s3行各

6、项,用上述方程式的系数,即8和24代替。此时,劳斯行列表变为 1 8 20 2 12 16 2 12 16 8 24 6 16 2.67 16新劳斯行列表中第一列没有变号,所以没有根在右半平面。对原点对称的根可解辅助方程求得。令 得到 和 解毕。例3-19 单位反馈控制系统的开环传递函数为试求: (1)位置误差系数,速度误差系数和加速度误差系数;(2)当参考输入为,和时系统的稳态误差。解 根据误差系数公式,有位置误差系数为 速度误差系数为加速度误差系数为对应于不同的参考输入信号,系统的稳态误差有所不同。参考输入为,即阶跃函数输入时系统的稳态误差为参考输入为,即斜坡函数输入时系统的稳态误差为参考

7、输入为,即抛物线函数输入时系统的稳态误差为 解毕。例3-20 单位反馈控制系统的开环传递函数为输入信号为r(t)=A+t,A为常量,=0.5弧度/秒。试求系统的稳态误差。解 实际系统的输入信号,往往是阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数等典型信号的组合。此时,输入信号的一般形式可表示为系统的稳态误差,可应用叠加原理求出,即系统的稳态误差是各部分输入所引起的误差的总和。所以,系统的稳态误差可按下式计算:对于本例,系统的稳态误差为本题给定的开环传递函数中只含一个积分环节,即系统为1型系统,所以系统的稳态误差为 解毕。例3-21 控制系统的结构图如图3-37所示。假设输入信号为r(t)=at (为任意常数

8、)。证明:通过适当地调节Ki的值,该系统对斜坡输入的响应的稳态误差能达到零。Kis+1图3-37 例3-21控制系统的结构图C(s)R(s)解 系统的闭环传递函数为即 因此 当输入信号为r(t)=at时,系统的稳态误差为要使系统对斜坡输入的响应的稳态误差为零,即ess=0,必须满足所以 解毕。例3-22 设单位负反馈系统开环传递函数为。如果要求系统的位置稳态误差ess=0,单位阶跃响应的超调量Mp%=4.3%,试问Kp、Kg、T,各参数之间应保持什么关系?解 开环传递函数显然 解得:由于要求故应有 0.707。于是,各参数之间应有如下关系本例为I型系统,位置稳态误差ess=0的要求自然满足。解

9、毕。例3-23 设复合控制系统如图3-38所示。其中 , , 试求 时,系统的稳态误差。sK3C(s)图3-38 复合控制系统R(s)K1解 闭环传递函数等效单位反馈开环传递函数表明系统为II型系统,且当时,稳态误差为 解毕。例3-24 已知单位反馈系统的开环传递函数 。 试选择参数及的值以满足下列指标:(1)当r(t)= t时,系统的稳态误差ess0.02;(2)当r(t)=1(t)时,系统的动态性能指标Mp%30%,ts0.3s (=5%)解 开环增益应取K50 。现取K=60 。因故有,于是 取% ,计算得此时(S)满足指标要求。最后得所选参数为:K=60 T=0.02 (s) 解毕。例

10、3-25 一复合控制系统如图3-39所示。图3-39 复合控制R(s)C(s)G2(s)G1(s)Gr(s)E(s)图中:K1、K2、T1、T2均为已知正值。当输入量r(t)= t2/2时,要求系统的稳态误差为零,试确定参数 a和b 。解 系统闭环传递函数为故 误差为 代入 及、, 得 闭环特征方程为 易知,在题设条件下,不等式成立。由劳斯稳定判据,闭环系统稳定,且与待求参数、 无关。此时,讨论稳态误差是有意义的。而若 则有系统的稳态误差为因此可求出待定参数为 解毕。E(s)C(s)N(s)R(s)2.5 图3-40 控制系统结构图例3-26 控制系统结构如图3-40所示。误差E(s)在输入端

11、定义。扰动输入是幅值为2的阶跃函数。 (1)试求K=40时,系统在扰动作用下的稳态输出和稳态误差。(2)若K=20,其结果如何?(3)在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节1/s,对结果有何影响?在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节1/s,结果又如何?解 在图中,令 ,则 代入,得 令,得扰动作用下的输出表达式 此时,误差表达式为 即 而扰动作用下的稳态输出为代入N(s)、G1、G2和H的表达式,可得,(1)当时,(2)当时,可见,开环增益的减小将导致扰动作用下系统稳态输出的增大,且稳态误差的绝对值也增大。若1/s加在扰动作用点之前,则,不难算得,若1/s加在扰动作用点之后,则,容易求出可见,在扰动作用点之前的前向通道中加入积分环节,才可消除阶跃扰动产生的稳态误差。解毕。例3-27设单位反馈系统的开环传递函数为已知系统的误差响应为 (t0)试求系统的阻尼比、自然振荡频率n和稳态误差ess。解 闭环特征方程为由已知误差响应表达式,易知,输入必为单位阶跃函1(t),且系统为过阻尼二阶系统。故即,系统时间常数为令 得 代入求出的时间常数,得,稳态误差为实际上,I型系统在单位阶跃函数作用下,其稳态误差必为零。解毕。

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