1、圆锥曲线32题 1. 如图所示， 分别为椭圆 ：（）的左、右两个焦点， 为两个顶点，已知椭圆 上的点 到 ， 两点的距离之和为 （1）求椭圆 的方程；（2）过椭圆 的焦点 作 的平行线交椭圆于 ， 两点，求 的面积2. 已知椭圆 ： 的离心率为 ，过左焦点且倾斜角为 的直线被椭圆截得的弦长为 （1）求椭圆 的方程；（2）若动直线 与椭圆 有且只有一个公共点，过点 作 的垂线，垂足为 ，求点 的轨迹方程3. 已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上（1）求 的方程；（2）直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ，线段 的中点为 证明：直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值4. 已知 的顶点
2、 ， 在椭圆 上，点 在直线 ： 上，且 （1）当 边通过坐标原点 时，求 的长及 的面积；（2）当 ，且斜边 的长最大时，求 所在直线的方程5. 已知椭圆 的中心为坐标原点 ，一个长轴顶点为 ，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于异于椭圆顶点的两点 ，且 （1）求椭圆的方程；（2）求 的取值范围6. 已知抛物线 的焦点为 ， 是抛物线上横坐标为 ，且位于 轴上方的点， 到抛物线准线的距离等于 ，过 作 垂直于 轴，垂足为 ， 的中点为 （1）求抛物线的方程；（2）若过 作 ，垂足为 ，求点 的坐标7. 已知圆 过定点 ，且与直线 相切，圆心 的轨迹
3、为 ，曲线 与直线 相交于 ， 两点（1）求曲线 的方程；（2）当 的面积等于 时，求 的值8. 已知直线 与椭圆 相交于 两个不同的点，记 与 轴的交点为 （1）若 ，且 ，求实数 的值；（2）若 ，求 面积的最大值，及此时椭圆的方程9. 如图，设抛物线 （）的焦点为 ，抛物线上的点 到 轴的距离等于 （1）求 的值；（2）若直线 交抛物线于另一点 ，过 与 轴平行的直线和过 与 垂直的直线交于点 ， 与 轴交于点 求 的横坐标的取值范围10. 已知点 在椭圆 上，且点 到两焦点的距离之和为 （1）求椭圆 的方程；（2）若斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，以 为底作等腰三角形，顶点为
4、，求 的面积11. 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 （1）求椭圆 的方程；（2）若 ， 是椭圆 上的两个动点，且使 的角平分线总垂直于 轴，试判断直线 的斜率是否为定值?若是，求出该值；若不是，说明理由12. 已知椭圆 ： 的离心率为 其右顶点与上顶点的距离为 ，过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点（1）求椭圆 的方程；（2）设 是 中点，且 点的坐标为 当 时，求直线 的方程13. 设 ， 分别是椭圆 的左，右焦点， 是 上一点且 与 轴垂直直线 与 的另一个交点为 （1）若直线 的斜率为 ，求 的离心率；（2）若直线 在 轴上的截距为 ，且 ，求 ，14. 在平面直角坐标系 中，点 ，直
5、线 与动直线 的交点为 ，线段 的中垂线与动直线 的交点为 （1）求点 的轨迹 的方程；（2）过动点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ，求证： 的大小为定值15. 已知中心在原点的双曲线 的右焦点为 ，右顶点为 （1）求该双曲线 的方程；（2）若直线 ： 与双曲线 左支有两个不同的交点 ，求 的取值范围16. 己知椭圆 与抛物线 共焦点 ，抛物线上的点 到 轴的距离等于 ，且椭圆与抛物线的交点 满足 （1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点 作抛物线的切线 交椭圆于 ， 两点，设线段 的中点为 ，求 的取值范围17. 已知右焦点为 的椭圆 ： 关于直线 对称的图形过坐标原点（1）
6、求椭圆 的方程；（2）过点 且不垂直于 轴的直线与椭圆 交于 ， 两点，点 关于 轴的对称原点为 ，证明：直线 与 轴的交点为 18. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点是原点，以 轴为对称轴，且经过点 （1）求抛物线 的方程；（2）设点 ， 在抛物线 上，直线 ， 分别与 轴交于点 ，求直线 的斜率19. 已知抛物线 与直线 相切（1）求该抛物线的方程；（2）在 轴正半轴上，是否存在某个确定的点 ，过该点的动直线 与抛物线 交于 ， 两点，使得 为定值如果存在，求出点 坐标；如果不存在，请说明理由20. 左、右焦点分别为 ， 的椭圆 经过点 ， 为椭圆上一点， 的重心为 ，内心为 ，（1）
7、求椭圆 的方程；（2） 为直线 上一点，过点 作椭圆 的两条切线 ， 为切点，问直线 是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由21. 已知抛物线 ， 为其焦点，过点 的直线 交抛物线于 ， 两点，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，如图所示（1）求点 的轨迹 的方程；（2）直线 是抛物线的不与 轴重合的切线，切点为 ， 与直线 交于点 ，求证：以线段 为直径的圆过点 22. 已知椭圆 ，其短轴为 ，离心率为 （1）求椭圆 的方程；（2）设椭圆 的右焦点为 ，过点 作斜率不为 的直线交椭圆 于 ， 两点，设直线 和 的斜率为 ，试判断 是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是
8、定值，请说明理由23. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 ，准线交 轴于点 ，过 作直线 交抛物线于 ， 两点，且 （1）求直线 的斜率；（2）若 的面积为 ，求抛物线的方程24. 过双曲线 的右支上的一点 作一直线 与两渐近线交于 ， 两点，其中 是 的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当 坐标为 时，求直线 的方程；（3）求证： 是一个定值25. 如图，线段 经过 轴正半轴上一定点 ，端点 ， 到 轴的距离之积为 ，以 轴为对称轴，过 ， 三点作抛物线 （1）求抛物线 的标准方程；（2）已知点 为抛物线 上的点，过 作倾斜角互补的两直线 ，分别交抛物线 于 ，求证：直线 的斜率
9、为定值，并求出这个定值26. 如图，已知椭圆 的左右顶点分别是 ，离心率为 设点 ，连接 交椭圆于点 ，坐标原点是 （1）证明：；（2）若三角形 的面积不大于四边形 的面积，求 的最小值27. 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 ， 两点， 为线段 的中点， 为坐标原点， 的延长线与直线 分别交于 ， 两点（1）求动点 的轨迹方程；（2）连接 ，求 与 的面积比28. 已知抛物线 过点 过点 作直线 与抛物线 交于不同的两点 ，过点 作 轴的垂线分别与直线 ， 交于点 ，其中 为原点（1）求抛物线 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证： 为线段 的中点29. 如图，在平面直角坐
10、标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，两准线之间的距离为 点 在椭圆 上，且位于第一象限，过点 作直线 的垂线 ，过点 作直线 的垂线 （1）求椭圆 的标准方程；（2）若直线 ， 的交点 在椭圆 上，求点 的坐标30. 如图： 中，曲线 过 点，动点 在 上运动，且保持 的值不变（1）建立适当的坐标系，求曲线 的标准方程；（2）过 点且倾斜角为 的直线 交曲线 于 ， 两点，求 的长度35. 已知椭圆 的焦点在 轴上，中心在坐标原点；抛物线 的焦点在 轴上，顶点在坐标原点在 ， 上各取两个点，将其坐标记录于表格中：（1）求 ， 的标准方程；（2）已知定点 ， 为抛物线 上一动点，过
11、点 作抛物线 的切线交椭圆 于 ， 两点，求 面积的最大值36. 已知点 为椭圆 ： 的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线 与椭圆 有且仅有一个交点 （1）求椭圆 的方程；（2）设直线 与 轴交于 ，过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，若 ，求实数 的取值范围圆锥曲线32题答案1. （1） 由题设知：，即 将点 代入椭圆方程得 ，解得 所以 ，故椭圆方程为 （2） 由（）知 ，所以 ，所以 所在直线方程为 ，由 得 ，设 ，则 ，所以 所以 2. （1） 因为椭圆 的离心率为 ，所以 解得 ，故椭圆 的方程可设为 ，则椭圆 的左焦点坐标为 ，过左焦点且倾斜角为 的直线
12、方程为 ：设直线 与椭圆 的交点为 ，由 消去 ，得 ，解得 ，因为 ，解得 故椭圆 的方程为 （2） 当切线 的斜率存在且不为 时，设 的方程为 ，联立直线 和椭圆 的方程，得 消去 并整理，得 因为直线 和椭圆 有且只有一个交点，所以 化简并整理，得 因为直线 与 垂直，所以直线 的方程为 联立方程组 解得 所以 把 代入上式得 当切线 的斜率为 时，此时 或 ，符合 式当切线 的斜率不存在时，此时 或 符合 式综上所述，点 的轨迹方程为 3. （1） 由题意得 解得 ，所以 的方程为 （2） 设直线 （，），将 代入 ，得 故 ，于是直线 的斜率 ，即 所以直线 的斜率与直线 的斜率的乘
13、积为定值4. （1） 因为 ，且 通过原点 ，所以 所在直线的方程为 由 得 ， 两点坐标分别是 ，所以 又因为 边上的高 等于原点到直线 的距离所以 ，（2） 设 所在直线的方程为 ，由 得 因为 ， 两点在椭圆上，所以 ，即 设 ， 两点坐标分别为 ，则 ，且 ，所以 又因为 的长等于点 到直线 的距离，即 所以 当 时， 边最长（显然 ）所以， 所在直线的方程为 5. （1） 由题意，知椭圆的焦点在 轴上，设椭圆方程为 ，由题意，知 ，又 ，则 ，所以椭圆方程为 （2） 设 ，由题意，知直线 的斜率存在，设其方程为 ，与椭圆方程联立，即 消去 ，得 ，由根与系数的关系，知 又 ，即有 ，
14、所以 则 ，所以 整理，得 ，又 时等式不成立，所以 ，得 ，此时 所以 的取值范围为 6. （1） 抛物线 的准线为 ，于是 ，所以 ，所以抛物线方程为 （2） 由（1）知点 的坐标是 ，由题意得 ，又因为 ，所以 因为 ，所以 ，所以 的方程为 的方程为 由 联立得 ，所以 的坐标为 7. （1） 设圆心 的坐标为 ，由题意，知圆心 到定点 和直线 的距离相等，故圆心 的轨迹 的方程为 （2） 由方程组 消去 ，并整理得 设 ，则 ，设直线 与 轴交于点 ，则 所以 因为 ，所以 ，解得 经检验， 均符合题意，所以 8. （1） 因为 ，所以设点 的坐标为 ，点 的坐标为 由 得 则 ，则
15、 ，解得 （2） 设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，由 得 ，得 ，则 由 得 ，解得 ，代入上式得：，则 ，当且仅当 时取等号，此时 ，又 ，则 ，解得 所以， 面积的最大值为 ，此时椭圆的方程为 9. （1） 由题意可得，抛物线上点 到点 的距离等于点 到直线 的距离，由抛物线的定义 ，即 （2） 由（1）得，抛物线方程为 ，可设 ，因为 不垂直于 轴，可设直线 ：，由 消去 得 ，故 ，所以 又直线 的斜率为 ，故直线 的斜为 从而得直线 ：，直线 ：所以 设 ，由 ， 三点共线得，于是 所以 或 经检验， 或 满足题意综上，点 的横坐标的取值范围是 10. （1） 因为 ，所以 又点
16、在椭圆上，所以 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 （2） 设直线 的方程为 由 得，设 ， 的坐标分别为 ， 的中点为 ，则 ，因为 是等腰 的底边，所以 所以 的斜率 ，解得 此时方程 为 ，解得 ，所以 ，所以 此时，点 到直线 的距离 ，所以 的面积 11. （1） 因为椭圆 的离心率为 ，且过点 ，所以 ，因为 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 （2） 法1：因为 的角平分线总垂直于 轴，所以 与 所在直线关于直线 对称设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 设点 ，由 消去 ，得 因为点 在椭圆 上，所以 是方程 的一个根，则 所以 同理 所以 又 所以直
17、线 的斜率为 所以直线 的斜率为定值，该值为 法2：设点 ，则直线 的斜率 ，直线 的斜率 因为 的角平分线总垂直于 轴，所以 与 所在直线关于直线 对称所以 ，即 因为点 ， 在椭圆 上，所以 由 得 ，得 同理由 得 由 得 ，化简得 由 得 得 得 ，得 所以直线 的斜率为 为定值法3：设直线 的方程为 ，点 ，则 ，直线 的斜率 ，直线 的斜率 因为 的角平分线总垂直于 轴，所以 与 所在直线关于直线 对称所以 ，即 ，化简得 把 ， 代入上式，并化简得由 消去 得 则 ，代入 得 ，整理得 ，所以 或 若 ，可得方程 的一个根为 ，不合题意若 时，合题意所以直线 的斜率为定值，该值为
18、 12. （1） 由题意可知：，又 ，所以 ，所以椭圆 的方程为 ： （2） 若直线 的斜率不存在，此时 为原点，满足 ，所以，方程为 若直线 的斜率存在，设其方程为 ，将直线方程与椭圆方程联立可得 即 ，可得 设 ，则 ，由 可知 ，化简得 ，解得 或 ，将结果代入 验证，舍掉 此时，直线 的方程为 综上所述，直线 的方程为 或 13. （1） 根据 及题设知 ，将 代入 ，解得 或 （舍去）故 的离心率为 （2） 由题意，得原点 为 的中点， 轴，所以直线 与 轴的交点 是线段 的中点，故 ，即 由 得 设 ，由题意知 ，则 即 代入 的方程，得 将 及 代入 得 解得 ，故 ，14. （
19、1） 据题意，所以 为点 到直线 的距离，连接 ，因为 为线段 的中垂线与直线 的交点，所以 ，所以 点的轨迹是抛物线，焦点为 ，准线为直线 ，所以曲线 的方程为 （2） 据题意，过点 的切线斜率存在，设为 ，则切线方程为：，联立抛物线方程 可得 ，由直线和抛物线相切，可得 ，即 因为 ，所以方程 存在两个不等实根，设为 ，因为 ，由方程 可知，所以切线 ，所以 ，结论得证15. （1） 由题意设双曲线方程为 由已知得 ，再由 ，得 故双曲线 的方程为 （2） 设 ，将 代入 ，得 由题意知 解得 所以 的取值范围为 16. （1） 因为抛物线上的点 到 轴的距离等于 ，所以点 到直线 的距离
20、等于点 到焦点 的距离，得 是抛物线 的准线，即 ， 解得 ，所以抛物线的方程为 ；可知椭圆的右焦点 ，左焦点 ，由 ，得 ， 又 ，解得 ，由椭圆的定义得 ， 所以 ， 又 ，得 ，所以椭圆的方程为 （2） 显然 ，由 消去 ，得 ，由题意知 ，得 ，由 消去 ，得 ， 其中 ，化简得 ，又 ，得 ， 解得 ，设 ，则 ，由 ，得 ，所以 的取值范围是 17. （1） 由题意可得：，又 ，解得 所以椭圆 的方程为：（2） 设直线 的方程为：， 代入椭圆方程可得：，由 ，解得 设 ，所以 ，则直线 的 方 程 为：，令 ，可得 所以直线 与 轴的交点为 18. （1） 依题意，设抛物线 的方程
21、为 由抛物线 且经过点 ，得 ，所以抛物线 的方程为 （2） 因为 ，所以 ，所以 ，所以直线 与 的倾斜角互补，所以 依题意，直线 的斜率存在，设直线 的方程为：，将其代入抛物线 的方程，整理得 设 ，则 ，所以 以 替换点 坐标中的 ，得 所以 所以直线 的斜率为 19. （1） 联立方程有，有 ，由于直线与抛物线相切，得 ，所以 ，所以 （2） 假设存在满足条件的点 ，直线 ，有 ，设 ，有 ，当 ，满足 时， 为定值，所以 20. （1） 因为椭圆 焦点在 轴上，且过点 ，所以 设 内切圆的半径为 ，点 的坐标为 ，则 的重心 的坐标为 ， 因为 ， 所以 由 面积可得 ，即 ，则解得
22、 ， 即所求的椭圆方程为则椭圆方程为 （2） 设 ，则切线 ， 的方程分别为 ，因为点 在两条切线上，所以 ，故直线 的方程为 又因为点 为直线 上， 所以 ，即直线 的方程可化为 ，整理得 ，由 解得 因此，直线 过定点 21. （1） 由题意可得：直线 的斜率存在，设方程为：，设 ，动点 ，由 可得 可得 ；由 可得 ，即点 的轨迹方程为 （2） 设直线 的方程为：（ 且 ），由 可得 ，可得 ，因为直线 与抛物线相切，所以 ，可得 ，可得 ，又由 可得 ，可得 ，所以以线段 为直径的圆过点 22. （1） 由题意可知：，椭圆的离心率 ，则 ，所以椭圆的标准方程：（2） 设直线 的方程为
23、消去 整理得：设 ，则 ，所以 为定值23. （1） 过 ， 两点作准线的垂线，垂足分别为 ，易知 ，因为 ，所以 ，所以 为 的中点，又 是 的中点，所以 是 的中位线，所以 ，而 ，所以 ，所以 ，所以 ，而 ，所以 ；（2） 因为 为 的中点， 是 的中点，所以 ，所以 ，所以 ，所以抛物线的方程为 24. （1） 双曲线 的 ，可得双曲线的渐近线方程为 ，即为 （2） 令 可得 ，解得 ，（负的舍去），设 ，由 为 的中点，可得 ，解得 ，即有 ，可得 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，即为 （3） 设 ，即有 ，设 ，由 为 的中点，可得 ，解得 ，则为定值25. （1） 设 所在直线
24、的方程为 ，抛物线方程为 ，联立两方程消去 得 设 ，则 由题意知，且 ，所以 ，所求抛物线的方程为 （2） 由点 为抛物线 上的点，得 由题意知直线 ， 的斜率均存在，且不为 ，设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 由 得 ，因而 由 得 ，因而 从而直线 的斜率 ，为定值26. （1） 由题意可知：，则 ，所以椭圆的标准方程：，设直线 的方程 ，则 整理得：，解得：，则 点坐标 ，故直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，所以 ，所以 ；（2） 由（）可知：四边形 的面积 ，则三角形 ，由 ，整理得：，则 ，所以 ， 的最小值 27. （1） 设 ，由题知抛物线焦点为 ，设焦点弦方程为 ，代入抛物
25、线方程得 ，有 ，解之得 ，由韦达定理：，所以中点 横坐标：，代入直线方程，中点 纵坐标：即中点 为 ，消参数 ，得其方程为：，当线段 的斜率不存在时，线段 中点为焦点 ，满足此式，故动点 的轨迹方程为：（2） 设 ，代入 ，得 ，联立，得 ，同理 ，所以 ，又因为 ，故 与 的面积比为 28. （1） 因为 过点 ，所以 ，解得 ，所以抛物线方程为 ，所以焦点坐标为 ，准线为 （2） 设过点 的直线方程为 ，所以直线 为 ，直线 为：，由题意知 ，由 可得 ，所以 ，所以 ，所以 为线段 的中点29. （1） 由题意可知：椭圆的离心率 ，则 椭圆的准线方程 ，由 由 解得：，则 ，所以椭圆的
26、标准方程：（2） 方法一：设 ， 时， 与 相交于点 ，与题设不符，当 时，则直线 的斜率 ，直线 的方程 ，直线 的斜率 ，则直线 的斜率 ，直线 的方程 ，联立 解得： 则 ，由 ， 在椭圆上， 的横坐标互为相反数，纵坐标应相等或相反，则 或 ，所以 或 ，则 解得： 则 或 无解，又 在第一象限，所以 的坐标为：方法二：设 ，由 在第一象限，则 ，当 时， 不存在，解得： 与 重合，不满足题意，当 时，由 ，则 ，直线 的方程 ，直线 的方程 联立解得：，则 ，由 在椭圆方程，由对称性可得：，即 ，或 ，由 ，在椭圆方程， 解得： 或 无解，又 在第一象限，所以 的坐标为：30. （1）
27、 设 中点为 ， 中点为 ，以 ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 为原点建立直角坐标系因为 ，动点的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，设其长、短半轴的长分别为 ，半焦距为 ，则 ，所以曲线 的方程为：（2） 直线 的方程为 ，设 ，由方程组 得方程 ，故 35. （1） 设 ，由题意知，点 一定在椭圆上，则点 也在椭圆上，分别将其代入，得 ，解得 ，所以 的标准方程为 设 ，依题意知，点 在抛物线上，代入抛物线 的方程，得 ，所以 的标准方程为 （2） 设 ，由 知 ，故直线 的方程为 ，即 ，代入椭圆 的方程，整理得 ，所以 设点 到直线 的距离为 ，则 所以 当且仅当 时，取等号，此时满足 综上， 面积的最大值为 36. （1） 由题意，得 ，则椭圆 为 由 得 因为直线 与椭圆 有且仅有一个交点 ，所以 ，所以椭圆 的方程为 （2） 由（1）得 因为直线 与 轴交于 ，所以 ，当直线 与 轴垂直时，所以 ，当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，由 ，依题意得，且 ，所以所以 ，因为 ，所以 综上所述， 的取值范围是
