1、高考资源网（ ） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ KS5U2015 江苏高考压轴卷 文科数学 第 卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.在复平面内，复数 iz 21 对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设全集 U=R， | A x N x 1 10， | B x R x x 2 60，则图 1 中阴影表示的集合为（ ） A.2 B. 2,3 C.3 D. 2,1,3 3.函数 sin cosy x x 的最小正周期是（ ） A. B. 2 C.
2、2 D.1 4. 已知 01a， lo g 2 lo g 3aax ， 1log 52ay， lo g 2 1 lo g 3aaz ，则zyx , 的大小关系是（ ） A. yxz B. xyz C. zyx D. zxy 5. 如图 2，用 6 种不同的颜色给图中的 “笑脸 ”涂色 ,要求 “眼睛 ”（即图中 A 、 B 所示区域）用相同颜色，则不同的涂法共有 ( ) . 36 种 .210 种 . 216 种 .120 种 6. 在某个容量为 300 的样本的频率分布直方图中，共有 9 个小长方形，若中间一个小长方形的面积 等于其他 8 个小长方形面积和的 15 ，则中间一组的频数为（ ）
3、 A.40 B.50 C.60 D.48 7.数列 na 满足 *1111( ) ,22nna a n N a ， nS 是 na 的前 n 项和，则 2011S （ ） A.502 B.500 C.504 D.498 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟 A B 图 2 图 1 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 8.若中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为 30xy，则此双曲线的离心率为（ ） A. 31 B. 10 C. 103D. 103或 10 9. 已知 nxix 2的展开式中第 3 项
4、与第 5 项的系数之比为143，则展开式中的常数项为（ ） A.21 B.16 C.35 D.45 10.设 niiiinfnn (1111)(N),则集合 )(nfxx 中元素的个数是（ ） A.1 B.3 C.2 D.4 11.如图 3， 四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形， SD AD，且 SD=1， SB= 3 ， M 为SA 的中点，则异面直线 DM 与 SB 所成角为（ ） A. 30 B. 60 C. 45 D. 90 12. 设函 数 12 , 0()( 1), 0x xfxf x x ， 方 程 axxf )( 有且只有两相 不等实数根， 则实数 a的取值范围
5、为 （ ） A. 3,4 B. )4,1( C. 3,( D. ),4 第 卷 二、（本大题共 4 小题，每小题 5 分 ，共 20 分 .把答案填在题中横线上 ） 13.不等式25 2( 1)xx 的解集 . 14.设 x 、 y 满足约束条件5,3 2 12,0 3,0 4.xyxyxy ，则目标函数 65z x y取得最大值的点 (, )xy 的坐标是 . 15.问题：在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得 n 次测量分别得到 a1， a2， ，A B D C S M 图 3 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ an，共 n 个数据我们规定所测量
6、的 “最佳近似值 ”a 是这样一个量：与其他近似值比较， a与各数据的差的平方和最小依此规定，从 a1， a2， ， an 推出的 a . 16.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点，焦点在 x 轴上，左、右焦点分别为 1F ， 2F ，且它们在第一象限的交点为 P， 12PFF 是以 1PF 为底边的等腰三角形 若 1PF 10， 双曲线的离心率的取值范围为 )2,1( ，则该椭圆的离心率的取值范围是 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 10 分） ABC 中，角 A 的对边长等于 2，向量 m= 22 2 cos 12BC ，向量 n= sin ,
7、12A . （ 1）求 mn 取得最大值时的角 A； （ 2）在（ 1）的条件下，求 ABC 面积的最大值 . 18. （本小题满分 12 分） 某社区举办北京奥运知识宣传活动 ，现场的 “抽卡有奖游戏 ”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有 8 张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有 “奥运福娃 ”或 “奥运会徽 ”，要求参加游戏的 4 人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽 2 张，抽取后不放回，直到 4 人中一人一次抽到 2 张 “奥运福娃 ” 卡才能得到奖并终止游戏 （ 1）游戏开始之前，一位高中生问：盒子中有几张 “奥运会徽 ” 卡？主持人说：若从盒中任抽 2 张卡片不都是 “奥运会徽 ”
8、 卡的概率为 2528 请你回答有几张 “奥运会徽 ” 卡呢？ （ 2）现有甲、乙、丙、丁 4 人参加游 戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取用 表示 4 人中的某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数，求 的概率分布及 的数学期望 19. （本小题满分 12 分） 如图 4，在四棱锥 P ABCD 中， PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形， AB 4， PA 3，A 点在 PD 上的射影为 G 点， E 点在 AB 上，平面 PEC平面 PDC. （ 1）求证： AG平面 PEC； （ 2）求 AE 的长； （ 3）求二面角 E PC A 的正弦值 . P A B D C G E 图 4
9、高考资源网（ ） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 20.（本小题满分 12 分） 如图 5，已知位于 y 轴左侧的圆 C 与 y 轴相切于点 (0,1) ，且被 x 轴分成的两段弧长之比为21: ，过点 (0, )Ht的直线 l 与圆 C 相交于 ,MN两点，且以 MN 为直径的圆恰好经过坐标原点 O （ 1）求圆 C 的方程； （ 2）当 1t 时，求出直线 l 的方程； （ 3）求直线 OM 的斜率 k 的取值范围 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) lnf x ax x， 21 1 4 5( ) ln6 3 9f x x x x ， 22 1( ) 22
10、f x x ax， aR （ 1）求证：函数 ()fx在点 (e, (e)f 处的切线恒过定点，并求出定点坐标； （ 2）若 2( ) ( )f x f x 在区间 1, 上恒成立，求 a 的取值范围； （ 3）当 23a时，求证：在区间 1, 上，满足 12( ) ( ) ( )f x g x f x恒成立的函数 ()gx 有无穷多个 请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 . 22. （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 已知 ABC 中， ACAB ， D 是 ABC 外接圆劣弧 AC 上的点（不与点A 、 C 重合），延长 B
11、D 至点 E 求证： AD 的延长线平分 CDE . x y O C 图 5 B A C D E （ 第 22 题图 ） 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方 程为 ,sin42 ,cos41 yx（ 为参数），直线 l 经过定点 )5,3(P ，倾斜角为3. （ 1）写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程； （ 2）设直线 l 与曲线 C 相交于 BA, 两点，求 PBPA 的值 . 24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
12、已知函数 xxxf 52)( . （ 1）求证： 5)( xf ，并说明等号成立的条件； （ 2）若关于 x 的不等式 2)( mxf 恒成立，求实数 m 的取值范围 . 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ KS5U2015 江苏高考压轴卷 文科数学答案 一、 选择题 1.D 2. A 3.D 4.A 5.C 6.B 7.A 8.D 9.D 10.B 11.D 12.A 解析： 1 iz 21 iii 5152422 ，即该复数 z 对应的点在第四象限 .故选 D. 2. 3,2B ，则 AB 2 .故选 A. 3. 1s i n c o s s i n 22y
13、 x x x ，周期 1T .故选 D. 4. lo g 2 lo g 3aax 6loga ， 1log 52ay 5loga，lo g 2 1 lo g 3aaz 7lo a ，又 01a，即对数函数在其定义域内为减函数，所以有 5lo g6lo g7lo g aaa ，即 yxz .故选 A. 5. 解法一： 6 种颜色中选三色、两色、一色填涂，共有 2161623263336 CACAC （种）； 解法二：涂眼睛有 16C 种，涂鼻子有 16C 种，涂嘴巴有 16C 种，共有 216161616 CCC 种 .故选C. 6. 在直方图中，小长方形的面积等于这组数的频率，小长方形的面积之
14、和为 1.设中间一个小长方形面积为 x ，则 1(1 )5xx，解得 16x， 中间一组的频数为 1 300 506.故选B. 7. 1 2 3 411, 1 , , 122a a a a ， ， 2011 110 05 1 10 06 50 22S .故选 A. 8. 当焦点在 x 轴上时，渐近线方程可写为 13yx，于是可设 3, 1ab，则 10c ， 103e ；当焦 点在 y 轴上时，渐近线可写为 3xy ， 可设 1, 3ab，则 10c ， 10e .故填写103 或 10 .故选 D. 9. 第 3 项，第 5 项的系数分别为 22 )( iCn ， 44 )( iCn .由题
15、意有143)( )( 4422 iC iCnn，整理得高考资源网（ ） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 05052 nn ，解得 10n 符合题意 . 由 rrrrn ixxCT )(2220101 ，当02220 rr 时，有 8r ，故常数项为 45)( 2108810 CiC .故选 D. 10. )(nf = 11 ()nn nnii ii ,分 n=4k,n=4k+1,n=4k+2,n=4k+3(k N)四种情况，分别代入可得的值为 2,0,2 .故选 B. 11. 取 AB 的中点 N，连结 MN， DN，则 MN SB， DMN 就是异面直线 DM 与 SB 所
16、成的角 M 为 SA 的中点 MN 12 SB 32 .在 Rt SAD 中，DM=12 SA=12 22SD AD = 22 在 RtAND 中， DN= 22AD AN = 11 4 = 52 . 在 Rt DMN 中， MN2+DM2=DN2=54 ， DMN 为直角三角形， DMN=90 . 异面直线 DM 与 SB 所成的角为 90 .故选 D. 12.作出函数图象， 由数形结合可知， axxf )( 经过 )4,1( 时有 2 个交点，因此可得 3a ，所以实数 a 的取值范围 3,4 .故选 A. 二、 填空题 13. 1 1 1 32 ， ，14. )3,2( 15. 12 n
17、a a aa n 16. 52,31解析： 13. 由25 2( 1)xx ，整理得 0352 2 xx ，解得 321 x .又 01x ，即 1x ，A B D C S M N x y O 2 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 所以原不等式的解集为 1 1 1 32 ， ，. 14. 在坐标平面上画出可行域，研究目标函数的取值范围 . 欲求 65z x y的最大值，即求y 轴上的截距最大值，由图可知，在 (2, 3) 点处目标函数 65z x y取得最大值 . 15. 本题涉及的数量较多，关键在于对题目所给信息的提炼、加工 .仔细读题后发现可以写出“最佳近
18、似值 ”a 的函数表达式，这样问题就转化为函数的最值问题了，即关于 a 的二次函数2 2 212( ) ( ) ( ) ( )nf a a a a a a a 2 2 2 21 2 1 22 ( )nnn a a a a a a a a 有最小值，而此时 12 na a aa n . 16. 如图，设椭圆的半长轴长，半 焦距分别为 1a ， c，双曲线的半实轴长，半焦距分别为 2a ，c， 1PF m， 2PF n，则1222102m n am n amnc ，得 1255ac ， 问题转化为 15cc 2，求5cc的取值范围 设5cc x，则 c 51xx，所以5cc21xx 12 142x
19、 因为 1 x 2，所以 12 16 12 142x 12 110，即 13 12 142x 25 三、 解答题 17. 解：（ 1） mn 2 sin2A 22 c o s 1 2 s in c o s ( )22B C A BC . 因为 A B C ，所以 B C A，于是 mn 2sin2A cosA 2 2sin 2 sin 122AA 2 213(sin )2 2 2A. 因为 0,22A ，所以当且仅当 sin2A 12，即 A 3 时， mn 取得最大值 32 . 故 mn 取得最大值时的角 A 3 . （ 2）设角 A、 B、 C 所对的边长分别为 a、 b、 c，由余弦定理
20、，得 b2 c2 a2 2bccosA，即bccbbc 24 22 ，所以 4bc ，当且仅当 2cb 时取等号 .又 343s in21 bcAbcS ABC.当且仅当 2 cba 时， ABC 的面积最大为 3 . 18. 解： （ 1）设盒子中有 “ 会徽卡 ” n 张，依题意有，28251 282 CCn， 解得 3n . 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 即盒中有 “ 会 徽卡 ” 3 张 （ 2）因为 表示某人一次抽得 2 张 “福娃卡 ”终止时，所有人共抽取了卡片的次数，所以 的所有可能取值为 1， 2， 3， 4. 145)1( 2825 CC
21、P ； 2 2 1 1 23 5 3 5 42 2 2 28 6 8 6 2( 2) 7C C C C CP C C C C ； 2 1 1 1 1 1 1 22 2 2 1 13 1 5 3 5 3 5 34 2 4 2 42 2 2 2 2 2 2 2 28 6 4 8 6 4 8 6 4 3( 3 ) 14C C C C C C C CC C C C CP C C C C C C C C C ； 1 1 1 11 1 23 5 1 32 4 22 2 2 28 6 4 2 1( 4 ) 7C C C CC C CP C C C C ， 概率分布表为： 1 2 3 4 P 14572143
22、71 的数学期望为 71571414337221451 E 19. 解（ 1）证明： CD AD， CD PA . CD平面 PAD CD AG， 又 PD AG ， AG平面 PCD. 作 EF PC 于 F，则面 PEC面 PCD . EF平面 PCD EF AG. 又 AG 面 PEC， EF 面 PEC， AG平面 PEC. （ 2）由（ 1）知 A、 E、 F、 G 四点共面，又 AE CD， AE平面 PCD. AE GF. 四边形 AEFG 为平行四边形， AE GF . PA 3， AB 4. PD 5， AG 125 ， 又 PA2 PGPD， 59PG . 又 PDPGCD
23、GF ， 25365 459GF ， 2536AE . （ 3）过 E 作 EO AC 于 O 点，易知 EO平面 PAC， 又 EF PC， OF PC EFO 即为二面角 E PC A 的平面角 . 25 21822253645s in AEEO ， 又 512 AGEF . P A B D C G E 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 10 2312525 218s in EFEOEFO. 20.解：（ 1）因为位于 y 轴左侧的圆 C 与 y 轴相切于点 (0,1) ，所以圆心 C 在直线 1y 上 设圆 C 与 x 轴的交点分别为 A 、 B ，由圆
24、 C 被 x 轴分成 的两段弧长之比为 21: 得23ACB ， 所以 2CA CB，圆心 C 的坐标为 (2,1) ，所以圆 C 的方程为22( 2 ) ( 1) 4xy .4 分 （ 2）当 1t 时， 由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 方程为 1y mx， 由221,( 2) ( 1) 4y mxxy 得 0,1xy 或 2224 ,141.1x mmmym 不妨令 2224 4 1( , ) , (0 , 1 )11mmMNmm ，因为以 MN 为直径的圆恰好经过 原点 O ， 所以 222 2 24 4 1 4 1( , ) (0 , 1 ) 01 1 1m m m mO M
25、 O N m m m ， 解得 23m ，所以所求直线 l 方程为 (2 3) 1yx 或 (2 3) 1yx （ 3）设直线 MO 的方程为 y kx ，由题意知，22121k k ，解之得 34k ， 同理得， 134k ，解之得 43k -或 0k 由（ 2）知， =0k 也满足题意 所以 k 的取值范围是 43( , 0, 34 . 21. 解：（ 1）因为 1( ) 2f x ax x ，所以 ()fx在点 (e, (e)f 处的切线的斜率为 12k ae e， 所以 ()fx在点 ( , ( )e f e 处的切线方程为 21( 2 ) ( ) 1y a e x e a ee ， 整理得 11( 2 )( )22ey ae xe ，所以切线恒过定点 1( , )22e （ 2） 令 xaxxaxfxfxp ln2)21()()()( 22 0，对 (1, )x 恒成立， 因为 21 ( 2 1 ) 2 1 ( 1 ) ( 2 1 ) 1 ( ) ( 2 1 ) 2 a x a x x a xp x a x a x x x （ *） 当 1 12 a时，有2 121x a 11x，即 1 12 a时，在（ 2x ， +）上有( ) 0px ，
