1、 附录I 截面的几何性质 习题解习题I-1 试求图示各截面的阴影线面积对轴的静积。（a）解：（b）解：（c）解：（d）解：习题I-2 试积分方法求图示半圆形截面对轴的静矩，并确定其形心的坐标。解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。；微分面积的纵坐标：；微分面积对轴的静矩为：半圆对轴的静矩为：因为，所以 习题I-3 试确定图示各图形的形心位置。（a）解：习题I-3(a): 求门形截面的形心位置矩形LiBiAiYciAiYciYc离顶边上4002080001601280000左15020300075225000右15020300075225000140001730000123.6 4
2、6.4 Ai=Li*BiYc=AiYci/Ai(b)解：习题I-3(b): 求L形截面的形心位置矩形LiBiAiYciAiYciYcXciAiXciXc下1601016005800080128000左901090055495005450025005750023 13250053Ai=Li*BiYc=AiYci/AiXc=AiXci/Ai(c)解：习题I-3(c): 求槽形与L形组合截面的形心位置型钢号Ai(cm2)Yci(cm)AiYci(cm3)Yc(cm)Xci(cm)AiXci(cm3)Xc(cm)槽钢2032.83710328.37-1.95-64.03等边角钢80*1015.1262
3、.3535.5462.3535.54647.963363.927.6 -28.49-0.6 Yc=AiYci/AiXc=AiXci/Ai习题I-4 试求图示四分之一圆形截面对于轴和轴的惯性矩、和惯性积。解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。；微分面积的纵坐标：；微分面积对轴的惯性矩为：四分之一圆对轴的惯性矩为： 由圆的对称性可知，四分之一圆对轴的惯性矩为：微分面积对轴、轴的惯性积为：习题I-5 图示直径为的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴的惯性矩。解：圆的方程为：如图，作两条平行轴的、相距为线段，截圆构成微分面积，微分面积为：切去之
4、后，剩下部分对轴的惯性矩为： 习题I-6 试求图示正方形对其对角线的惯性矩。解：正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为，竖坐标轴为）。=故正方形对其的对角线的惯性矩为：。习题I-7 试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴的惯性矩。 (a)解：(b)习题I-8 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的 轴的惯性矩。解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是 ，利用平行轴定理，可求得截面对形心轴 的惯性矩 所以 再次应用平行轴定理，得 习题I-9 试求图示 的半圆形截面对于轴 的惯性矩，其中轴 与半圆形的底边平行，相距1 m。解：已知半圆形截面对其底边的惯性矩是 ，用平行轴定理得截面
5、对形心轴 的惯性矩 再用平行轴定理，得截面对轴 的惯性矩 习题I-10 试求图示组合截面对于形心轴的惯性矩。解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为 的等边三角形。该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴 的距离是 上面一个圆的圆心到 轴的距离是。 利用平行轴定理，得组合截面对 轴的惯性矩如下：习题I-11 试求图示各组合截面对其对称轴 的惯性矩。解：（a）22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是 。利用平行轴定理得组合截面对轴 的惯性矩 （b）等边角钢 的截面积是 ，其形心距外边缘的距离是28.4 mm，求得组合截面对轴 的惯性矩如下：习题I-11（b
6、）图图形bhIxcaAIx中间矩形1060018000000006000180000000 上矩形2501020833 3052500232583333 下矩形2501020833 3052500232583333 左上L形1795100271.61926143869495 右上L形1795100271.61926143869495 左下L形1795100271.61926143869495 右下L形1795100271.61926143869495 1220644645 习题I-12 试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴 的惯性矩。关于形心位置，可利用该题的结果。解：形心轴 位置及几何尺
7、寸如图所示。惯性矩 计算如下： 习题I-12 试求图示各截面对其形心轴的惯性矩。 习题I-13(a)图形bihiAiYciAiYciYcaiIxcIx(mm4)上矩形10001001000006506500000022583333333 5145833333下矩形300600180000300540000001255400000000 8212500000全图28000011900000042513358333333习题I-13( b)图形bihiAiYciAiYciYcaiIxcIx(mm4)上图(3)2515037502751031250148 7031250 89601489 中图(2)
8、2001503000012537500002 56250000 56328044 下图(1)10050500025125000102 1041667 52667577 全图387504906250127 198597110 习题I-13(c)图形bihirAiYciAiYciYcIxc(mm4)aiIx(mm4)矩形214011502461000 5751415075000 271222708333 159 333213698275 半圆790-980333 335-328692667 42750202791 399 198820222116 全图1480667 1086382333 734
9、134393476159 半圆：半圆：习题I-13(d)图形bihiAiYciAiYciYcaiIxciIx(mm4)从下往上220163520828160 374 75093 492438613 1801425202357960 359 41160 324821280 16674107843673957728 0 408242699 408242699 2201430807112189880 329 50307 333432587 44594005722.52893613 341 27034 464367735 239099127341 382 2023302914 习题I-14 在直径圆截
10、面中，开了一个的矩形孔，如图所示。试求截面对其水平形心轴和竖直轴形心的惯性矩和。解：先求形心主轴 的位置 截面图形对形心轴的静矩（面积矩）等于零： （y轴向下为正） （组合图形对过圆心轴x1的惯性矩） （组合图形对形心轴x的惯性矩）习题I-14b(a)h(a)r(a)Ai(a2)Yci(a)AiYciYc(a)IxcaiIx(a4)矩形42-8.00 1-82.667 1.1893 14.0 圆450.27 00201.062 -0.1893 202.9 42.27 -8-0.1893 188.9 习题I-15 正方形截面中开了一个直径为的半圆形孔，如图所示。试确定截面的形心位置，并计算对水平
11、形心轴和竖直形心轴的惯性矩。解：习题I-15图形bi hirAiYciAiYciYcIxciaiIx正方形20020040000100 4000000 133333333 2 133546801 半圆50-3927 79 -309365 685977 24 2860346 全图36073 3690635 102 130686455 形心位置：X（0，102）。对水平形心轴的惯性矩：。对竖直形心轴的惯性矩： 习题I-15图形arIy（mm4）正方形200133333333.3半圆502454367 全图130878966 习题I-16 图示由两个号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩
12、和相等，则两槽钢的间距应为多少？解：20a号槽钢截面对其自身的形心轴 、 的惯性矩是 ， ；横截面积为 ；槽钢背到其形心轴 的距离是 。 根据惯性矩定义 和平行轴定理，组合截面对 ， 轴的惯性矩分别是 ； 若 即 等式两边同除以2，然后代入数据，得 于是 所以，两槽钢相距 习题I-17 试求图示截面的惯性积解：设矩形的宽为b高为h，形心主惯性轴为，则由平行移轴公式得：故，矩形截面对其底边与左边所构成的坐标系的惯性积为： 习题I-17 图形bhIxy左矩形10100250000下矩形:10010250000重复加的矩形10102500全图上图+下图-重复图=497500习题I-18 图示截面由两
13、个的等边角钢及缀板（图中虚线）组合而成。试求该截面的最大惯性矩和最小惯性矩。解：从图中可知，该截面的形心C位于两缀板共同的形心上。过C点作水平线，向右为轴正向；过C点，垂直于轴的直线为轴向上为正。把坐标绕C点逆时针转后所得到的坐标系是截面的的两条对称轴，也就是该截面的形心主惯性轴。主惯性矩，查型钢表得：12.5号等边角钢的参数如下： ，角钢形心主惯性轴与截面形心主惯性轴之间的距离：（注：缀板用虚线画出，表示其面积可忽略不计）习题I-19 试求图示正方形截面的惯性积和惯性矩，并作出比较。解： （为形心主惯性轴）结论：1、过正方形形心的一对相互垂直的轴，它们的惯性矩相等，它们的惯性积为零；2、过正
14、方形形心的一对相互垂直的轴，绕形心转动之后，惯性矩、惯性积保持不变。习题I-20 确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。（a）解： 截面的形心主惯性轴与竖直矩形的形心主惯性轴重合。 IxIyIxy575146666.5183146666.6-259200000Ix0=704109187 575146666.5183146666.6-259200000Iy0=54184146 (b)解：以20号槽钢（图I）的下边缘为x轴，左边缘为y轴，建立坐标系。8号槽钢编号为图II。则组合截面的形心计算如下：习题I-20(b) 长度单位:cm图形AiXciYciAiXciAiYciXcYcI32
15、.81.951064328.3II10.2-1.416-15163.8全图43.149.4492.11.1511.4习题I-20（b）图形AiIxciIyciIxciIyciIxciyciIxciycitan2a0a0Ix0Iy0I32.8-1.430.8041913.7143.619811650-37.635II10.24.573-2.58101.316.6315.584.60-120.66全图43.122962490-158.290.15474.42308.2237.2 习题21 试用近似法求习题I-4所示截面的，并与该题得出的精确值相比较。已矩该截面的半径。解：圆的方程为：把y轴的半径1
16、0等分，即。过等分点，作x轴的平行线。从下往上，每个分块 的中点的y坐标与x坐标如下表所示。习题I-21599.87510249691598.8715102224542596.8225106051543593.67351011475184589.30451018083835583.52551025263736575.99651032107227566.14751037205888552.68851038060059531.2295102818055近似解19890221精确解19634938误差(%)1.30习题I-22 试证明：直角边长度为的等腰三角形，对于平行于直角边的一对形心轴之惯性积绝对值为（提示：最简单的证法是利用惯性积的平行移轴公式，并利用一对相互垂直的坐标轴中有一为截面的对称轴时，其惯性积为零的特征。）解: 令得:.18
