1、第1章 函数的极限与连续极限是现代数学的最基本的概念，是学习微积分学的重要基础.在后面的几章学习中可以看到，微积分中的重要概念都是通过极限来定义的.本章将介绍极限的概念、性质及运算法则，在此基础上建立函数连续的概念，并讨论连续函数的性质1.1 初等函数1.1.1 函数1函数的定义设是一个数集，如果对属于中的每一个数，依照某个对应关系，都有确定的数值和它对应，那么就叫做定义在数集上的的函数，记作叫做函数的自变量，数集叫做函数的定义域函数的取值范围叫做函数的值域.由定义可知，对应关系和定义域构成函数的二要素.2函数的定义域在实际问题中，根据所考察问题的实际意义来确定其定义域对于不具有实际意义的抽象
2、函数，其定义域是使得函数有意义的全体自变量的集合常见的有:(1) 在分式函数中，分母不能为零；(2) 在根式函数中，负数不能开偶次方；(3) 在对数函数中，真数大于零；(4) 在三角函数和反三角函数中，要符合它们的定义域；(5) 在含有多种式子的函数中，应取各部分定义域的交集.例1 求下列函数的定义域：（1）；（2）3反函数在研究函数的同时，有时函数和自变量的地位会相互转换，于是就出现了反函数的概念例如，在函数中，定义域和值域都是，按照和的对应关系，任意给出一个，都有唯一确定的与之对应一般地，设函数，定义域为，值域为如果对于中的每一个值，都可由确定唯一的值与之对应，这样就确定一个以为自变量的函
3、数，该函数称为函数的反函数，记作显然，函数的定义域为，值域为习惯上常用表示自变量，表示函数，故常把的反函数记为若把函数与其反函数的图形画在同一个平面直角坐标系内，则这两个图形关于直线对称因此，函数是函数的反函数，其定义域为，值域为将函数改为，自变量改为，则函数的反函数为（图11）图11例2 求的反函数4分段函数在自然科学及工程技术中，用公式表示函数时，经常会遇到一个函数在不同的范围内用不同的式子表示的情况.如函数是定义在区间内的一个函数.当时，；当时，.在不同的区间内用不同的式子来表示的函数叫分段函数.分段函数是用几个解析式子来表示的一个函数，而不是表示几个函数.求分段函数值时，应把自变量的值
4、代入相应取值范围的表达式中进行计算.如在上面的分段函数中，；.5函数的几种特性（1）奇偶性如果函数的定义域关于原点对称，且对于任意的，都有，那么叫做奇函数；如果函数的定义域关于原点对称，且对于任意的，都有，那么叫做偶函数；如果函数既不是奇函数也不是偶函数，则称为非奇非偶函数.如是奇函数，是偶函数.奇函数的图象关于原点对称(如图12)；偶函数的图象关于轴对称(如图13). 图12 图13例3 判断下列函数的奇偶性(1) ；(2) ；(3) .（2）单调性如果函数在区间内随着的增大而增大，即对于内任意两点与，当时，有，那么称函数在区间内是单调增加的，区间叫做函数的单调增加区间如果函数在区间内随着的
5、增大而减小，即对于内任意两点与，当时，有，那么称函数在区间内是单调减少的，区间叫做函数的单调减少区间.显然，单调增加函数的图象沿轴正向是逐渐上升的；单调减少函数的图象是沿轴正向是逐渐下降的.如图14为单调增加函数，图15为单调减少函数. 图14 图15在整个区间上单调增加（减少）的函数，称为这区间上的单调增（减）函数，这个区间称为这个函数的单调区间.例如，指数函数在其定义域内是单调增加的而幂函数在内是单调增加的，在内是单调减少的，所以在内不是单调函数.例4 判断函数的单调性.（3）周期性对于函数，如果存在一个非零常数，使得对于其定义域内的每一个，都有成立，则称是周期函数，称为其周期.显然，如果
6、是的周期，则（是整数）均为其周期一般提到的周期均指最小正周期.我们常见的三角函数都是以为周期；都是以为周期.（4）有界性设函数在区间内有定义，如果存在一个正数，使得对于任意，恒有，那么称在内有界；如果不存在这样的数，那么称在内无界.例如，函数，存在正数，使得对于任意的，均有,所以函数在其定义域内是有界的1.1.2 基本初等函数我们学过的幂函数 (为实数）、指数函数 且、对数函数 且、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.1幂函数（为实数）(1) 当时，函数经过两定点和，图象在第象限内单调增加且无界（如图16（1）.(2) 当时，函数经过定点，图象在第象限内单调减少且无界（如图16（2）. （
7、1） （2）图162指数函数且它的定义域为，值域为，图象经过定点(1) 当时，函数单调减少且无界（如图17（1）(2) 当时，函数单调增加且无界(如图17（2） （1） （2）图173对数函数且它的定义域为，值域为，图象经过定点(1) 当时，函数单调递减且无界(如图18(1)；(2) 当时，函数单调递增且无界(如图18(2) (1) (2)图18 4三角函数(1) 正弦函数定义域为，值域为，奇函数，周期为的周期函数，有界（如图19）图19(2) 余弦函数定义域为，值域为，偶函数，周期为的周期函数，有界（如图110）.图110(3) 正切函数定义域为，值域为，奇函数，周期为的周期函数，无界（如图
8、111） 图111 图112(4) 余切函数定义域为，值域为，奇函数，周期为的周期函数，无界（如图112）5反三角函数（1）反正弦函数定义域为，值域为，奇函数，单调增加，有界（图1-13）.（2）反余弦函数，定义域为，值域为，非奇非偶函数，单调减少，有界（图1-14）.（3）反正切函数定义域为，值域为，奇函数，单调增加，且有界（图1-15）.（4）反余切函数定义域为，值域为，非奇非偶函数，单调减少，有界（图1-16）. 图1-13 图1-14 图1-15 图1-161.1.3 复合函数、初等函数1复合函数在同一问题中，两个变量的联系有时不是直接的，而是通过另一变量间接联系起来的.例如：某汽车每
9、公里油耗为公升，行驶速度为公里/小时.汽车行驶的里程是其行驶时间的函数：，而汽车的油耗量又是其行驶里程的函数：于是，汽车的油耗量与汽车行驶时间之间就建立了函数关系：.这时我们称函数是由与复合而成的复合函数.一般地，设是的函数，是的函数，如果值域与定义域的交集非空，则通过中间变量成为的函数，我们称为的复合函数.记作.其中称为中间变量.例5 指出下列函数的复合过程和定义域：(1) ；(2) .例6 已知，将表示成的复合函数.2初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限复合运算构成的，并且能用一个解析表示的函数称为初等函数.例如：，等都是初等函数.1.1.4 建立函数关系举例为了解决应用问题，先
10、要给问题建立数学模型，即建立函数关系为此需要明确问题中有因变量与自变量，再根据题意建立等式，从而得出函数关系，再确定函数的定义域应用问题的定义域，除使函数的解析式有意义外，还要考虑变量在实际问题中的含义.下面就一些简单实际问题，说明建立函数关系的过程.例7 某市场对西红柿的批发价格如下规定：批发量在千克以下为元/千克；批发量在千克以下超过千克的部分为元/千克；批发量超过千克的部分为元/千克设批发量为千克，总费用为元，试建立与的函数关系.例8 一物体作直线运动，已知所受阻力的大小与其运动速度成正比，方向相反设物体的速度为米/秒时，所受阻力为牛顿，试建立与的函数关系.例9 公共电话收费问题.在公共
11、电话亭打市内电话，每收费元，不足按收费，求电话收费与用时的函数关系.1.2 函数的极限1.2.1 数列的极限数列（整标函数）可以看作是按自然数顺序列出的一串函数值：.现在来考察当自变量无限增大时，数列的变化趋势.试看下面几个下例子：(1) ，即，；(2) ，即，；(3) ，即，；(4) ，即，.通过仔细观察可以发现，当时，这几个数列的变化情况是大不相同的数列(1)随着的无限增大，无限接近常数；数列(2)随着的无限增大，无限接近常数；数列(3)、(4)随着的无限增大，都不能无限接近于某一个确定的常数，当时，数列的值也无限增大，数列的值在与两个数上来回跳动.为清楚起见，我们把表示(1)、(2)这两
12、个数列的点分别在数轴上描出一些(图118,119).图118图119可以看出，当无限增大时，数列在数轴上的对应点逐渐密集在右侧，即数列无限趋近于；数列在数轴上的对应点逐渐密集在附近，即数列无限趋近于总之，当无限增大时，数列(1)、(2)都趋近于一个常数，这种数列称其为有极限；当无限增大时，数列(3)、(4)都不趋近于一个常数，这种数列称为无极限一般地，有下面定义定义1.1 设数列，如果当无限增大时，无限趋近于一个确定的常数，则称当趋于无穷大时，数列以为极限，记作或此时，也称数列是收敛的；如果数列没有极限，就称其为发散的因此，当时，的极限是，可记作；的极限是，可记作；而数列和没有极限，没有极限的
13、数列，也说数列的极限不存在例1 观察下面数列的变化趋势，写出它们的极限：（1）；（2）；（3）；（4）.一般地，任何一个常数数列的极限就是这个常数本身，即（为常数）.例2（无穷递缩等比数列的求和公式）设数列其中首项，公比，求其所有项的和1.2.2 函数的极限1当时,函数的极限例3 考察当时,函数的变化趋势定义1.2 如果当的绝对值无限增大（即）时，函数无限接近于一个确定的常数，那么就叫做函数当时的极限，记作（或当时，）.有时，的变化趋向只取或中的一种情况.因此，类似地有下面的定义.定义1.3 如果当时，函数无限接近于一个确定的常数，则称为函数当时的极限，记作（或当时，）.定义1.4 如果当时，
14、函数无限接近于一个确定的常数，则称为函数当时的极限，记作（或当时，）.于是，由图120可以看出.可以证明：若，则反之也成立.例4 求和.2时函数的极限为了研究方便，下面介绍邻域的概念设是任一正数，开区间叫做点的邻域，记作，其中叫做邻域中心，叫做邻域半径去掉邻域中心的邻域叫做去心邻域下面研究当时，函数的极限表示无限趋近于定值（），它包含两种情况：(1) 从大于的一侧趋近于，记作；(2) 从小于的一侧趋近于，记作.例5 考察当时，函数的变化趋势.定义1.5 设函数在的某邻域内有定义(可以除外)，如果当无限趋近于定点（可以不等于）时，函数值无限趋近于一个确定的常数，那么就叫做函数当时的极限记作（或当
15、时，)需要注意：函数在点的极限状况与函数在该点是否有定义及如何定义无关.例6 讨论极限和.解 因为函数是常量函数，函数值恒等于常数C，所以.因为函数的函数值与自变量相等，所以当时函数值也趋于，因此.例7 考察极限.3时函数的左极限与右极限定义1.6 如果当时，函数无限趋近于一个确定的常数，那么就叫做函数当时的左极限，记作（或当时，）.如果当时，函数无限趋近于一个确定的常数，那么就叫做函数当时的右极限，记作（或当时，）.一般地，当时，函数在点处的极限与左极限、右极限的关系为.也就是说，如果函数在点处的左、右极限都存在且相等，那么函数在点处的极限存在，且与左、右极限相等；反之，如果那么函数在点处的
16、极限存在，那么函数在点处的左、右极限都存在，且与函数的极限相等.例8 讨论当0时，函数的极限.例9 讨论当时，函数的极限.例10 讨论当时，函数的极限.1.3 极限的运算1.3.1 极限运算法则利用极限的定义只能求一些简单函数的极限，对于复杂函数的极限却无法解决下面介绍极限的运算法则，进而解决复杂函数的求极限问题设，则(1) ；(2) ；(3) ；(4) （为常数）；(5) （为正整数）以上结论仅就时加以叙述，对于自变量的其它变化过程同样成立其中，法则（1）、（2）可以推广到有限个函数的情况.例1 求极限例2 求极限例3 求极限例4 求极限例5 求极限例6 求极限由以上三例，可得一般结论（）：
17、.1.3.2 两个重要极限1极限例7 求极限例8 求极限例9 求极限例10 求一般地，这就是说不论在怎样的情况下，只要这种特定形式的极限均为.2极限例11 求极限例12 求极限例13 求极限1.4 无穷小量与无穷大量1.4.1 无穷小量1无穷小量的定义在实际问题中，经常会遇到以零为极限的变量.例如，当关掉电源时，电扇的扇叶会逐渐慢下来，直至停止转动；又如，电容器放电时，其电压随时间的增加而逐渐减少并趋近于零；再如，用抽气机来抽容器中的空气，容器中的空气含量将随着时间的增加而逐渐减少并趋近于零.对于这种变量，给出下面的定义.定义1.7 如果当（或）时， ，则称当（或）时，函数为无穷小量，简称无穷
18、小，通常用等表示.例如，当时，函数都是无穷小；当时，函数，都是无穷小；当时，函数是无穷小量.应当注意：(1) 无穷小是以零为极限的函数当我们说函数是无穷小量时，必须同时指明自变量的变化趋向例如，当时，函数是无穷小量，而当时，函数就不是无穷小量.(2) 常数中只有“”是无穷小，这是因为.而对其它函数，尽管它的值可以很小，因其值已取定（不为零），极限都不是，因此都不能说成是无穷小.2无穷小量的性质（1）有限个无穷小的代数和是无穷小.（2）有限个无穷小的乘积是无穷小.（3）有界函数与无穷小的乘积是无穷小.例1 求极限.3无穷小与函数极限的关系定理 函数以常数为极限的充分必要条件是可以表示为与一个无穷
19、小之和.即，其中.例如，而.4无穷小的阶无穷小虽然都是趋近于0的变量，但不同的无穷小趋近于0的速度却不一定相同，有时可能差别很大.如当时，都是无穷小，但它们趋近于的速度却不一样，列表如下：000显然，比与趋近于0的速度都快得多.快慢是相对，是相互比较而言的，下面通过比较两无穷小趋于0的速度引入无穷小的阶的概念.定义1.8 设是同一过程中的两个无穷小.如果，则称是比较高阶的无穷小.如果，则称与是同阶的无穷小.特别是当时，称与是等价无穷小，记作.如果，则称是比较低阶的无穷小.例如，所以当时，是比较高阶的无穷小量.反之，当时，是比较低阶的无穷小量.又如，所以当时，与是同阶无穷小量.1.4.2 无穷大
20、量1无穷大量的定义定义1.8 如果当（或）时，函数的绝对值无限增大，则称当（或）时，函数为无穷大量，简称无穷大例如，当时，函数是无穷大量.应当注意：(1) 说函数是无穷大量，必须同时指明自变量的变化趋势.例如，当时，函数是无穷大量，但当时，函数就不是无穷大量.(2) 一定要把绝对值很大的数与无穷大量区分开.因为绝对值很大的数，无论多么大，都是常数，不会随着自变量的变化而绝对值无限增大，所以都不是无穷大量.根据定义，函数是无穷大时，其极限是不存在的，但为了便于叙述，我们常说函数的极限是无穷大，并记作.如果当（或）时，取正值而无限增大，记作.如果当（或）时，取负值而绝对值无限增大，记作.例如，当时
21、，函数取正值而无限增大，所以是时的无穷大量，记作；当时，函数取负值而绝对值无限增大，所以是时的无穷大量，记作.2无穷大与无穷小的关系为了说明无穷大与无穷小的关系，我们先考察下面的例子：当时，函数是无穷小，而函数则是无穷大；当时，函数是无穷大，而函数是无穷小.一般地，在自变量的同一变化过程中，如果是无穷大量，那么是无穷小量；如果是无穷小量，且，那么是无穷大量.例2 求极限.例 求极限.1.5 函数的连续性连续性是函数的重要性态之一，它反映了许多自然现象的一个共性例如气温的变化、动植物的生长、空气的流动等，都是随着时间在连续不断地变化着的.这些现象反映在数学上，这是函数的连续性.1.5.1 连续函
22、数的概念1函数的增量设函数在点的某邻域内有定义，当自变量从(称为初值)变化到(称为终值)时，终值与初值之差称为自变量的增量(或改变量)，记为.相应地，函数的终值与初值之差称为函数的增量，记为.容易理解，增量可以是正值，可以是负值，也可以是零.例1 设，求适合下列条件的自变的增量和函数的增量：（1）从变到时；（2）从变到时；（3）从变到时.2函数在点的连续性函数在点连续，反映到图形上即为曲线在的左右近旁是连绵不断的，如（图126）所示，给自变量一个增量，对应就有函数的增量，且当趋于时，的绝对值将无限变小图126定义1.10 设函数在点的某邻域内有定义，如果在点自变量的增量趋于时，相应函数的增量也
23、趋于，即，那么，称函数在点连续例2 利用定义证明函数在点处连续令，则当时，同时时，于是，函数在点处连续可描述成下面的定义.定义1.11 设函数在点的某邻域内有定义，如果当时，函数的极限存在，且等于在点的函数值，即，那么，称函数在点处连续.由定义可以看出，函数在点处连续，必须同时满足如下条件：(1) 函数在点处必须有定义；(2) 函数在点处必须有极限；(3) 函数在点处的极限值必须等于它在点处的函数值，即.函数在点处连续和函数当时有极限的区别.函数在点处连续能保证存在，同时还能保证在点有定义，并且极限值为函数值.反之，仅当存在时，在点处不一定连续，甚至在处可能没有定义，所以，函数在时有极限，是在
24、点处连续和必要条件.如果，则称函数在点处左连续.如果，则称函数在点处右连续.函数在点处连续的充分必要条件是在点处既左连续又右连续.3函数在区间的连续性如果函数在区间内的任一点都连续，那么称函数在区间内连续此时，函数叫做区间内的连续函数，区间叫做的连续区间.如果函数在闭区间上有定义，在区间内连续，且在区间的左端点处右连续，即，在区间的右端点左连续，即，那么称函数在闭区间上连续.1.5.2 函数的间断点如果函数在点处不连续，那么称函数在点处间断，点称为函数的间断点由函数连续的定义可知，函数在点间断有下列几种情况：(1) 函数在点处没有定义；(2) 不存在；(3) 虽然存在，但.即在点处出现上述一种
25、或几种情况时，点是函数的间断点例3 判断函数在点处连续性.例4 判断函数在点处的连续性例5 判断函数在点处的连续性.1.5.3 初等函数的连续性1基本初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内都是连续的.例如指数函数且在定义域内是连续的对数函数且在定义域内是连续的.2连续函数的和、差、积、商的连续性可以证明，连续函数经过四则运算仍然是连续函数，即若函数、在点处连续，则、（）在点处都是连续的.3复合函数的连续性如果函数在点处连续，而函数在对应点处连续，那么复合函数在点处也是连续的即.上式说明，求复合函数的极限时，函数记号与极限记号可以交换运算次序，也可以直接代入求值例6 求极限.例7 求极限.4初
26、等函数的连续性根据以上所述，可以得出：一切初等函数在其定义区间内都是连续的对于初等函数，当是其定义域内的点时，就有，即求连续函数的极限时只需把直接代入函数式求出函数值即可.例8 求极限.例9 求极限.例10 求极限.1.5.4 闭区间上连续函数的性质1最大值和最小值性质闭区间上的连续函数，一定取得最大值和最小值如图127所示，函数在闭区间上连续，那么至少存在一点，使得函数在点处取得最大值即对于任意的，都有；又至少存在一点，使得函数在点处取得最小值即对于任意的，都有.图1272介值性质如果函数在闭区间上连续，和分别是函数在上的最大值和最小值，那么对于任意介于和之间的常数，至少存在一点，使得.特别地，如果函数在闭区间上连续，且函数在两端点的函数值与异号，那么至少存在一点，使得.由图128可以看出，曲线连续地从负值变到正值，必定要与轴相交(至少相交一次)，交点的横坐标、处的就是性质中的图128例11 证明方程在内至少有一个根.
