1、蒙娜丽莎教育初一升初二暑期培优教材 （数学） 编者：雷老师 成都2015.6 目 录第一部分温故知新专题一 整式运算1 专题二 乘法公式3 专题三 平行线的性质与判定9专题四 三角形的基本性质11专题五 全等三角形14专题六 如何做几何证明题17专题七 轴对称22 第二部分提前学习专题一 勾股定理25专题二 平方根与算数平方根29专题三 立方根32专题四 平方根与立方根的应用 35专题五 实数的分类39专题六 最简二次根式及分母有理化42专题七 非负数的性质及应用46专题八 二次根式的复习49第一部分温故知新 专题一 整式运算1.由数字与字母 组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式
2、。单项式中的 叫做单项式的系数单项式中所有字母的 叫做单项式的次数2.几个单项式的和叫做多项式多项式中 叫做这个多项式的次数3.单项式和多项式统称为 4.整式加减实质就是 后 5.同底数幂乘法法则：（m.n都是正整数）；逆运算 6.幂的乘方法则： （m.n都是正整数）；逆运算 7.积的乘方法则： （n为正整数）；逆运算 8.同底数幂除法法则：（a0，m.n都是正整数）；逆运算 9.零指数的意义：；10.负指数的意义：11.整式乘法：（1）单项式乘以单项式；（2）单项式乘以多项式；（3）多项式乘以多项式12.整式除法：（1）单项式除以单项式；（2）多项式除以单项式知识点1.单项式多项式的相关概念
3、归纳：在准确记忆基本概念的基础上，加强对概念的理解，并灵活的运用例1.下列说法正确的是（ ）A没有加减运算的式子叫单项式 B.的系数是 C.单项式-1的次数是0 D.是二次三项式例2.如果多项式是关于x的二次二项式，求m，n的值知识点2.整式加减归纳：正确掌握去括号的法则，合并同类项的法则 例3.多项式中不含xy项，求k的值知识点3.幂的运算归纳：幂的运算一般情况下，考题的类型均以运算法则的逆运算为主，加强对幂的逆运算的练习，是解决这类题型的核心方法。例4.已知 求（1）的值 （2）的值例5.计算 （1） （2）知识点4.整式的混合运算归纳：整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据，注意运算时
4、灵活运用法则。例6.先化简，再求值：，其中知识点5.运用幂的法则比较大小归纳：根据幂的运算法则，可以将比较大小的题分为两种：化为同底数比较；化为同指数比较例7.比较大小 （1） （2） 1.若A是五次多项式，B是三次多项式，则A+B一定是（ ） A.五次整式 B.八次多项式 C.三次多项式 D.次数不能确定2.已知，则、的大小关系是（ ） A B C D3.若，则等于（ ） A5 B.3 C.1 D.14.下列叙述中，正确的是（ ）A.单项式的系数是0，次数是3 B.a、0、22都是单项式 C.多项式是六次三项式 D.是二次二项式5.下列说法正确的是（ ） A.任何一个数的0次方都是1 B.
5、多项式与多项式的和是多项式 C. 单项式与单项式的和是多项式 D.多项式至少有两项6. 下列计算： 正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个7.在的积中，不想含有项，则必须为 .8.若中不含有项，则 ， .9.比较大小 （1） （2） (3)10.计算（1） （2）专题二 乘法公式1.平方差公式： 平方差公式的一些变形：（1）位置变化： （2）系数变化： （3）指数变化： （4）符号变化：= （5）数字变化：98102=（100-2）（100+2）=10000-4=9996（6）增项变化： （7）增因式变化： 2.完全平方公式：完全平方公式的一些变形：（1） 形如的计算方
6、法 （2）完全平方公式与平方差公式的综合运用 （3）幂的运算与公式的综合运用 （4）利用完全平方公式变形，求值是一个难点。已知： ：，已知： ：，已知：已知：（5） 运用完全平方公式简化复杂的运算 知识点1.平方差公式的应用例1.计算下列各题（1） （2） （3）9991001例2.计算（1） （2）知识点2.完全平方公式例3.计算（1） （2）例4.已知求（1） (2) 例5.已知，求xy的值知识点3.配完全平方式归纳：配完全平方式求待定系数有三种情况，求一次项系数（2个答案）求另一个平方项（1个答案）求另一个平方项的底数（2个答案）例6.已知是一个完全平方式，则的值为（ ） A.2 B.
7、C. 4 D. 知识点4.技巧性运算归纳：观察规律，找突破口，准确判断是添项还是拆项，熟记常见题型例6.（1-）（1+）（1-）（1+）（1-）（1+）（1-）（1+）例7.（1-）（1-）（1-）（1-）（1-）例8.（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）例9.1990-1989+1988-1987+2-11.已知m+n=2，mn= -2，则m+n的值为（ ）A.4 B.2 C.16 D.82.若为正整数，且，则的值为（ ）A.833 B.2891 C.3283 D.12253.若，则等于（ ） A.9 B.10 C.2 D.14.下列说法正确的是（ ） A2x3的项是2x，3 B
8、x1和1都是整式 Cx2+2xy+y2与都是多项式 D3x2y2xy+1是二次三项式5.若单项式3xmy2m与2x2n2y8的和仍是一个单项式，则m，n的值分别是（ ） A1，5 B5，1 C3，4 D4，36.下列多项式中是完全平方式的是( ) A.2x2+4x4 B.16x28y2+1 C.9a212a+4D.x2y2+2xy+y27.若a=2，则a2+的值为（ ） A0 B2 C4 D68.如果多项式是一个完全平方式，则m的值是（ ） A.3 B.3 C.6 D.69.的个位数字为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 810.下列叙述中，正确的是（ ）A.单项式的系数是0，次数是3
9、 B.a、0、22都是单项式 C.多项式是六次三项式 D.是二次二项式11.下列说法正确的是（ ） A.任何一个数的0次方都是1 B. 多项式与多项式的和是多项式 C. 单项式与单项式的和是多项式 D.多项式至少有两项12.下列计算： 正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个13. 已知,x、y是非零数，如果，则.14. .15. 乘积=_.16. 若，则= .17. 已知，则 =_ =_.18. 已知，则的值是 .19. 已知的值为 .20. 已知的值为 .21. 当= ，= 时，多项式有最小值，此时这个最小值是 .22. 若的值是 .23. 若的值为 .24. 若有意
10、义，则的取值范围是 .25. 若代数式的值为0，则 ， .26. 计算的结果为 .27. 已知的值为 .28. 多项式是一个六次四项式，则 .29. 若代数式的值是8，则代数式的值为 .30. 已知的值为 .31. 计算的结果为 .32. 已知，则= .33. 若的值为 .34. （1） （2）35.若，求y-x的值36.（1）若，求 （2）已知 ，求xy的值37.计算 ：38.已知，且xy，求x-y的值39.已知，求的值.40.已知ab=2，bc=3，求a2+b2+c2abbcca的值专题三 平行线的性质与判定 1.平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行（2）内错角相等，两直线平行（3）同
11、旁内角互补，两直线平行2.平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等（2）两直线平行，内错角相等（3）两直线平行，同旁内角互补3.余角性质： 或 的余角相等 补角性质： 或 的补角相等例1.如图，AB，CD被EF所截，且AEG=CFG,EM,FN分别例1图NMHFGCEDBA平分AEG，CFG。求证：EMFN例2图NMHFGCEDBA例2.如图，直线ABCD，MH，GN分别平分EMB,CNF，求证：MHNG例3.如图，已知ABCD，分别探索下列两个图中B,D，E之间的关系(图2)EDBCA(图1)ECDBA例4.已知，ABCD，ABE和CDE的平分线相交于F点，E=140，求：BFD的度数（例4
12、图)EDBCAF1.已知，ABCD，DCB=70，CBF=20，EFB=130，求证：EFABBAFEDC2. 如图，已知ABCD，分别探索下列三个图中B,D,E之间的关系图1EDCBA图2EDCBA图3EDCBA3. 如图，已知ABCD，猜想下列三个图中B,D,E，F之间的关系图3EBFDCA图2FEDCBA图1FEDCBA4.如图，已知l1l2，MN分别和直线l1、l2交于点A、B，ME分别和直线l1、l2交于点C、D点P在MN上（P点与A、B、M三点不重合）（1）如果点P在A、B两点之间运动时、之间有何数量关系？请说明理由（2）如果点P在A、B两点外侧运动时、有何数量关系？（只须写出结论
13、） 专题四 三角形的基本性质1三角形三边的关系（1）三角形任意两边之和大于第三边（2）三角形任意两边之差小于第三边设a，b，c为三角形的三边，用不等式表示三边的关系 2三角形内角和定理及推论（1）定理：三角形三个内角的和等于180（2）直角三角形的两个锐角互余3.三角形的外角（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角（2）三角形外角性质。三角形的一个外角等于和它不相邻的 三角形的外角和等于 4.三角形具有稳定性5.三角形中的三种重要线段（1）三角形的角平分线：三角形内一个内角的平分线与这个角对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。（2）三角形的中位线：在三角形中，连
14、接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中位线（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线注意：（1）三角形的角平分线、中线、高线都是 ；角的平分线是 （2）三角形的三条角平分线、三条中线均相交于三角形 一点：三角形的三条高线：锐角三角形在三角形 ；钝角三角形在三角形 ；直角三角形在三角形 。知识点1.三角形三边的关系归纳：三角形三边的关系常用来判断三条已知线段能否构成三角形，确定三角形第三边的范围，以及证明线段的不等关系。三角形边长问题中，一定要注意判断三角形的存在性。例1.如果三角形的两条边长分别为23cm和10cm，第三边与其中一边
15、的长相等，那么第三边的长为 cm例2.在ABC中，AB=AC，中线BD把ABC的周长分为15和6两部分，求ABC各边的长知识点2.三角形内角与外角归纳：（1）在角的计算中，尽量转化在同一三角形内，根据内角和定理进行计算 （2）三角形外角性质是非常重要的知识点，通常结合角平分线、高线及三角形内角定理来解题较为常见例3图CBDA例3. 如图，某零件中BAC=90，B，C应分别是21和32，检验工人量得BDC=148，就断定此零件不合格，为什么？例4.已知ABC中，C=ABC=2A，BD是AC边上的高，求DBC的大小CDA例4题B例5.如图，射线AD，BE，CF构成如图所示的角，求1+2+3等于多少
16、？例5图321FCAEBD1.已知三角形的三个内角度数比是1:5:6，则最大内角的度数为（ ）.现有长的四根木棒，任选三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）个个个个CDA第5题B.已知为直角三角形，若沿图中虚线剪去，则等于4.直角三角形两个锐角的平分线所构成的钝角是 度5.已知中，为中线，=则与的周长相差 6.如图，中，第6题图为边上的高，平方，求与的度数7.已知，（）图，若点是和的角平分线的交点，求与的关系（）图，若点是和外角的角平分线的交点，求与的关系（）图，若点是外角和的角平分线的交点，求与的关系图图图 专题五 全等三角形1.全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等（2）
17、全等三角形的对应角相等（3）全等三角形对应边上的高，中线以及对应角的平分线 （4）全等三角形的周长、面积 2. 三角形全等的判定（1）三边分别对应相等的两个三角形全等（简称SSS）（2）两边及夹角分别对应相等的两个三角形全等（简称SAS）（3）两角及夹边分别对应相等的两个三角形全等（简称ASA）（4）两角及其一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简称AAS）（5）斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称HL）注意：两边一角（SSA）和三角（AAA）对应相等的两个三角形不一定全等知识点1.三角形全等的证明问题归纳：灵活运用三角形全等证明线段的关系及角与角之间的关系是三角形全等中常见的问题。
18、例1.如图，一直DCE=90，CD=CE,ADAC于A，BEAC于B，试说明AB+AD=BEEC例1图DBA例2.如图，在MNP中，MNP=45，H是高MQ和NR的交点，证明：HN=PM例2图NQHMRP知识点2.多次证明三角形全等归纳：有些线段或角的问题只用一次三角形全等无法证明，所以，需要进行2次证明三角形全等。AEF例3图BDC例3.如图，AB=CD，AE=DF，CE=BF，求证：BECF知识点3.三角形中的和、差、倍、分问题归纳：利用三角形全等来证明线段的“和”“差”“倍”“分”，一般采用截长或补短的方法截长法：就是在长线段上截取一段，使截取的线段等于两条线段中的一条线段，然后证明剩下
19、的线段等于两条短线段中另一条线段。当遇到角平分线时，以角平分线为公共边在较长的边上截取相等部分的方法，构造三角形全等例4.如图，ADBC，1=2，3=4，点D、E、C在同一直线上，证明：AD+BC=AB例4图4321DECBA补短法：就是延长两条短线段中的一条线段，使延长线的部分等于两条短线段中的另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段当遇到中线时，通常延长中线一倍，采用补短的方法，构造三角形全等例5.如图，D为ABC的边BC上的一点，且CD=AB，ADB=BAD，AE是ABD的中线，CEDBA例5图求证：AC=2AE1.下面两个等腰三角形一定全等的是（ ）A.边长分别为2和3的两个等腰三角形
20、 B.边长分别为3和5的两个等腰三角形C.边长分别为4和7的两个等腰三角形 D.边长分别为5和11的两个等腰三角形A第2题图NMDBEC2.如图，AB=AC,AD=AE,AB,DC交于点M，AC,BE交于点N，DAB=EAC，证明：AM=AN3.如图，在ABC中，1=2,ABC=2C，求证：AB+BD=ACA第3题图1DB2C4.如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，E是BC中点，过E做EFAD，交AB于G，交CA的延长线于F，求证：BG=CFA第4题图GDBEC5.如图，在RtABC中，AB=AC，BAC=90，1=2，CEBD，CE交BD的延长线于E，2EC1DBA求证：BD=2CE6.
21、证明：在直角三角形中30所对的直角边等于90角所对的斜边的一半 专题六 如何做几何证明题 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，
22、直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的
23、性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 例1.已知：如图所示，中，。 求证：DEDF分析：由是等腰直角三角形可知，由D是AB中点，可考虑连结CD，易得，。从而不难发现说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED到G，使DGDE，连结BG，证是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。 例2. 已知：如图所示，ABCD，ADBC，AECF。求证：EF说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等
24、三角形，这时应注意： （1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。2、证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。例3. 如图所示，设BP、CQ是的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。 求证：KHBC 分析：由已知，BH平分ABC，又BHAH，延长AH交BC于N，则BABN，AHHN。同理，延长AK交BC于M，则CACM，
25、AKKM。从而由三角形的中位线定理，知KHBC。 说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。例4. 已知：如图所示，ABAC，。 求证：FDED 说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。 说明：证明两直线垂直的方法如下： （1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。 （2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。 （3）证明二直线的夹角等于90。3、证明一线段和的问题 （一）在较长线段上截取
26、一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法） 例5. 已知：如图，在中，BAC、BCA的角平分线AD、CE相交于O。 求证：ACAECD 分析：在AC上截取AFAE。易知，。由，知。，得：（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法） 例6. 已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，。 求证：EFBEDF 分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G，使BGDF。1.如图，四边形ABCD中，ADBC，点E是AB上一个动点，若B60，ABBC，且DEC60；求证：B
27、CADAE2.如图所示，已知为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AEBD，连结CE、DE。 求证：ECED3. 已知如图，在RtABC中，AB=CD，ABC=90，ABD=DBC，CEBD的延长线于点E，证明：BD=2CE A E D B C 4.图(1)中,C点为线段AB上一点,ACM,CBN是等边三角形,AN与BM相等吗?说明理由;如图（2）C点为线段AB上一点, 等边三角形ACM和等边三角形CBN在AB的异侧,此时AN与BM相等吗?说明理由;如图（3）C点为线段AB外一点,ACM,CBN是等边三角形,AN与BM相等吗? M N C BA N A CM B 说明理由。BCMN
28、图(1) 图(2) 图(3) 专题七 生活中的轴对称1.角平分线（1）角平分线上的一点到角两边的 相等（2）角的内部到角两边距离相等的点，一定在这个角的 2.线段垂直平分线（1）线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的 相等（2）到线段的两端点的距离相等的点在这条线段的 3.等腰三角形（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，两边相等的三角形叫做等腰三角形（2）等腰三角形底边上的中线、高线、顶角的角平分线重合叫做“ ”（3）等边三角形：是特殊的等腰三角形，其中有一个角为60的等腰三角形是等边三角形等边三角形同样具备“三线合一”的性质4含30的直角三角形在直角三角形中30所对
29、的直角边等于90角所对的斜边的一半知识点1.角平分线及线段垂直平分线例1.如图，AD为等腰直角三角形ABC的底角平分线，C=90，证明：AC+CD=ABD例1图CBAABCDE例2图例2.如图，ABC中，AB=10，AC=6.BC的平分线分别交AB，BC与点E,D.求：ACE的周长例3.如图，在RtABC中，C=90，CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求，B的度数ABCDE例3图知识点2.等腰三角形与等边三角形例4.等腰三角形的一腰上的高于另一腰的夹角为20，则顶角为多少度？ACEBD例5图例5.如图，在ABC中，AB=AC，E为BC中点，BDAC，垂足为D，若EAD=20求：
30、ABD的度数例6.如图，在等边ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=CD，证明：BD=DEACEBD例6图1.如图，DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11CM,则ABD的周长为 cm2.如图，在ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若DAB=20，DAC=30，则BDC= 度3.如图，ABC为等边三角形，BAD=CBE=ACF，则BEC= 度BDAC第2题图BDFCE第3题图AACDBE第1题图4.如图，DE是ABC中AB边的垂直平分线，分别交AB，BC与D，E，AE平方BAC，若B=30，求C的度数ADCB第4题图E5.如图，在ABC中，AB=AC,D,E都在BC上，且AD=AE，求证：BD=CEEDB第5题图CA6.如图，ABC，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，连接DE交BC于F，试探究DF与EF的数量关系BCEFDA 第二部分提前学习 专题一 勾股定理1、 勾股定理：1.内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。2.表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么a+b=c。二、勾股定理的证明：常用的是拼图法用拼图法验证勾股定理的思路是：
