1、和差倍分及位置关系一、和差倍分问题线段或角的和差倍分问题，一般是通过平移、轴对称或旋转等变换构造全等代换线段，最终转化为证明相等的问题。1在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且，BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系图1 图2 图3()如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_； 此时_； ()如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DMDN时，猜想(I)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； ()如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线
2、上时，若AN=，则Q=_(用、L表示)解：()如图1， BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN此时 ()猜想：结论仍然成立证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE，且又是等边三角形，在与中：(SAS)DM=DE， 在与中：(SAS)MN=NE=NC+BM的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NC+BM)=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC=2AB而等边的周长L=3AB. ()如图3，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q=2+(用、L表示)2在四边形中，对角线平分(1)如图1，当，时，求证：；(2)如图2，当，与互补时，线段、有怎样的数量关系？写出你
3、的猜想，并给予证明；(3)如图3，当，与互补时，线段、有怎样的数量关系？写出你 的猜想，并给予证明解：(1)在四边形中， ， 又， 即(2) 证明如下：如图，过点分别作和延长线的垂线段，垂足分别为、 ， ， ， 由(1)知 (3) 证明如下：如图， 过点分别作和延长线的垂线段，垂足分别为、 ， ， ， . ， . 延长至，使，联结. ， . . . . . 3如图，在四边形ABCD中，ADBC，点E是AB上一个动点，若B=60，AB=BC，且DEC=60，确定AD+AE与BC的关系解: 有BC=AD+AE.连结AC，过E作EFBC交AC于F点. 则可证 AEF为等边三角形.即 AE=EF及AE
4、F=AFE=60.所以 CFE=120. 又 ADBC，B=60， 故 BAD=120. 又 DEC=60， 所以 AED=FEC. 在ADE与FCE中， EAD=CFE，AE=EF，AED=FEC，所以 ADEFCE. 所以 AD=FC. 则 BC=AD+AE.4如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=AC，ABD=60，过D作EDAD，交AC于点E，恰有DE平分BDC试判断线段CD、BD 与AC之间有怎样的数量关系？并证明你的结论 结论：AC=BDCD证法一：延长BD至，使得D=DCDE平分BDC，1=2EDAD，ADC=901，3=902AD=1803=902ADC=AD 在A
5、DC和AD中，ADCAD(SAS) AC=A AB=AC， AB=A ABD=60，AB是等边三角形 A=B， AC=BDCD 证法二：延长CD至，使D=DBEDAD，23=90，14=90DE平分BDC，1=23=4在ADB和AD中， ADBAD(SAS) AB=A，ABD=60 AC=A AC是等边三角形 AC=C AC=BDCD二、位置关系的证明位置关系的证明以线段的平行、垂直为主，对于这类问题的解决方法，大家也要注意总结归纳。比如证明垂直的方法除了利用角度推导外，还可以考虑勾股定理的逆定理、等腰三角形三线合一、若三角形中一边中线等于这边一半，则这边所对的角为直角等方法；平行证明除了利用
6、同位角、内错角、同旁内角的关系外，还可利用中位线定理、比例出平行等方法。5抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B，抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D.(1)求此抛物线的解析式；(2)试判断ABD的形状，并证明你的结论；解：(1)如图，直线与坐标轴的两个交点为A、B， 点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(0，3). 又 抛物线经过点A、B， 解得 抛物线的解析式为. (2)ABD为直角三角形. 抛物线的顶点D的坐标为(1，4)， 过点D作DEx轴于E，DFy轴于F. 可求BD=，AB=，. . ABD为直角三角形.6已知：如图，矩形ABCD中，延长BC至E点，使BE=BD，连结DE
7、，若F是DE的中点试确定线段AF与CF的位置关系解：AFCF一连BF 易证ADFBCF(SAS)DFA=CFBBFA+CFB=BFA+DFA=90二连AC交BD于O，连OFOF为DBE的中位线OF=BE=BD=AC7在ABC中，BM、CN分别是、的平分线，而于E，于F求证：EF/BC证明：延长AF交BC于D，延长AE交BC于G易证：CAFCFDAF=FD同理可证AE=EGEF为ADG的中位线 EF/BC8请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结若，探究与的位置关系及的值小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：(1)写出上面问题中线段与的位置关系及的值；(2)将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图2)你在(1)中得到的两个结论是否发生变 化？写出你的猜想并加以证明解：(1)线段与的位置关系是； (2)猜想：(1)中的结论没有发生变化 证明：如图，延长交于点，连结 是线段的中点， 由题意可知 ， ， 四边形是菱形， ， 由， 且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上， 可得 四边形是菱形， ， 即 ， ，
