1、一选择题（共12小题）1（2014海口二模）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x0时，有恒成立，则不等式x2f（x）0的解集是（）A（2，0）（2，+）B（2，0）（0，2）C（，2）（2，+）D（，2）（0，2）2（2013安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x）2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A3B4C5D63（2013文昌模拟）设动直线x=m与函数f（x）=x3，g（x）=lnx的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为（）ABCDln314（2012辽宁）已知P，Q为抛物线x2=2y上两
2、点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（）A1B3C4D85（2012无为县模拟）已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足，且f（x）g（x）f（x）g（x），若有穷数列（nN*）的前n项和等于，则n等于 （）A4B5C6D76（2012桂林模拟）已知在（，+）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A（，1B1，4C1，1D（，1）7（2011武昌区模拟）已知f（x）是定义域为R的奇函数，f（4）=1，f（x）的导函数f（x）的图象如图所示若两正数a，b满足f（a+2b）1，则的取值范围是（）ABC（1，10）D（，1）8（2010辽宁）
3、已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A0，）BCD9已知函数f（x）的定义域为（2，2），导函数为f（x）=x2+2cosx且f（0）=0，则满足f（1+x）+f（x2x）0的实数x的取值范围为（）A（1，1）B）CD）10若函数，且0x1x21，设，则a，b的大小关系是（）AabBabCa=bDb的大小关系不能确定11已知函数f（x）=x3+ax2+2bx+c（a，b，cR），且函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则z=（a+3）2+b2的取值范围（）A（，2）B（，4）C（1，2）D（1，4）12若函数f（x）=（a3）
4、xax3在区间1，1上的最小值等于3，则实数a的取值范围是（）A（2，+）BCD（2，12二填空题（共7小题）13（2014江苏模拟）已知函数f（x）满足f（x）=2f（），当x1，3，f（x）=lnx，若在区间，3内，函数g（x）=f（x）ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是_14（2010盐城三模）设a0，函数，若对任意的x1，x21，e，都有f（x1）g（x2）成立，则实数a的取值范围为_15设函数f（x）=x3+bx（b为常数），若方程f（x）=0的根都在区间2，2内，且函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，则b的取值范围是_16已知函数f（x）=x33x，x2，2和函数g（x）
5、=ax1，x2，2，若对于x12，2，总x02，2，使得g（x0）=f（x1）成立，则实数a的取值范围_17某学生对函数f（x）=2xcosx进行研究后，得出如下四个结论：（1）函数f（x）在，0上单调递增，在0，上单调递减；（2）存在常数M0，使|f（x）|M|x|对一切实数x均成立；（3）点是函数y=f（x）图象的一个对称中心；（4）函数y=f（x）图象关于直线x=对称其中正确的_（把你认为正确命题的序号都填上）18设函数f（x）=lnx，有以下4个命题对任意的x1、x2（0，+），有f（）；对任意的x1、x2（1，+），且x1x2，有f（x1）f（x2）x2x1；对任意的x1、x2（e，
6、+），且x1x2有x1f（x2）x2f（x1）；对任意的0x1x2，总有x0（x1，x2），使得f（x0）其中正确的是_（填写序号）19（2014四川二模）函数f（x）=exex，当0，变化时，f（msin）+f（1m）0恒成立，则实数m的取值范围是_三解答题（共4小题）20（2014凉州区二模）已知函数f（x）=plnx+（p1）x2+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当P=1时，f（x）kx恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：1n（n+1）1+（nN+）21（2014佛山模拟）设aR，函数f（x）=lnxax（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）若a，试判
7、断函数f（x）在x（1，e2）的零点个数，并说明你的理由；（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：x1x2e222（2012武汉模拟）已知函数f（x）=ln（1+x）ax在x=处的切线的斜率为1（）求a的值及f（x）的最大值；（）证明：1+ln（n+1）（nN*）；（）设g（x）=b（exx），若f（x）g（x）恒成立，求实数b的取值范围23（2009聊城二模）已知函数为大于零的常数（1）若函数f（x）在区间1，+）内调递增，求a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间1，2上的最小值；（3）求证：对于任意的成立 1解答：解：因为当x0时，有恒成立，即0恒成立，所以在（0，+）内单调递减
8、因为f（2）=0，所以在（0，2）内恒有f（x）0；在（2，+）内恒有f（x）0又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以在（，2）内恒有f（x）0；在（2，0）内恒有f（x）0又不等式x2f（x）0的解集，即不等式f（x）0的解集所以答案为（，2）（0，2）故选D2解：f（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，不妨设x2x1，由3（f（x）2+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2x1=f（x1），如下示意图象：如图有三个交点，故选A3解：画图可以看到|MN|就是两条曲线间的垂直距离设F（x）=f（x）g（x）=x3lnx，求
9、导得：F（x）=令F（x）0得x；令F（x）0得0x，所以当x=时，F（x）有最小值为F（）=+ln3=（1+ln3），故选A4解：P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2P（4，8），Q（2，2）x2=2yy=y=x切线方程AP，AQ的斜率KAP=4，KAQ=2切线方程AP为y8=4（x4）即y=4x8切线方程AQ的为y2=2（x+2）即y=2x2令点A的纵坐标为4故选C5解：=，f（x）g（x）f（x）g（x），=0，即函数单调递减，0a1又，即，即，解得a=2（舍去）或，即数列是首项为，公比的等比数列，=，由解得n=5，故选B6解：要是一个分段函数在实数上是一个增函数
10、需要两段都是增函数且两个函数的交点处要满足递增，当x0时，y=3x2（a1）0恒成立，a13x2 a10 a1，当x=0时，a23a401a4，综上可知1a1故选C7解：由f（x）的导函数f（x）的图象，设f（x）=mx2，则f（x）=+nf（x）是定义域为R的奇函数，f（0）=0，即n=0又f（4）=m（64）=1，f（x）=x3=且f（a+2b）=1，1，即a+2b4又a0，b0，则画出点（b，a）的可行域如下图所示而可视为可行域内的点（b，a）与点M（2，2）连线的斜率又因为kAM=3，kBM=，所以3故选B8解：因为y=，ex+ex+24，y1，0）即tan1，0），0故选D9解：f（
11、x）=x2+2cosx知f（x）=（1/3）x3+2sinx+c f（0）=0，知，c=0即：f（x）=（1/3）x3+2sinx易知，此函数是奇函数，且在整个区间单调递增，因为f（x）=x2+2cosx在x（0，2】0恒成立根据奇函数的性质可得出，在其对应区间上亦是单调递增的f（1+x）+f（x2x）0f（1+x）f（x2x）即：f（1+x）f（xx2） 2x+12（保证有意义）2x2x2（保证有意义）x+1xx2（单调性得到的）解得即可故答案为A10解：f（x）= 0x1时，xtanxf（x）0，故函数单调递减，所以当0x1x21时，f（x1）f（x2）即ab故选A11解：f（x）=f（x
12、）=x2+ax+2b函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值f（x）=x2+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根f（0）0，f（1）0，f（2）0即（a+3）2+b2表示点（a，b）到点（3，0）的距离的平方，由图知（3，0）到直线a+b+2=0的距离，平方为为最小值，由得（3，1）（3，0）与（3，1）的距离为1，（3，0）与（1，0）的距离2，所以z=（a+3）2+b2的取值范围为（）故选项为B12解：由函数f（x）=（a3）xax3 求导函数为：f（x）=3ax2+（a3），当a=0时，f（x）=3x，此时函数在定义域内单调递减，所以函数的最小
13、值为：f（1）=3，符合题意，所以a=0符合题意；当a0时，f（x）=0，即 3ax2=a3 （I）当0a3时，f（x）=3ax2+（a3）为开口向下的二次函数，且=12a（a3）0，f（x）0恒成立所以函数f（x）在定义域上为单调递减函数，函数的最小值为f（1）=3，此时符合题意；（II）当a0或a3时，f（x）=0，即 3ax2=a3 解得：，当，即a，函数f（x）在1，上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以此时函数在定义域的最小值为f（1）=3或f（）= 令 解得：a，即时，函数在定义域上始终单调递减，则函数在定义域上的最小值为f（1）=3，符合题意综上所述：当即 时符合题意故选B
14、13解：在区间，3内，函数g（x）=f（x）ax，有三个不同的零点，a0若x1，3时，f（x）=lnx，可得g（x）=lnxax，（x0）g（x）=a=，若g（x）0，可得x，g（x）为减函数，若g（x）0，可得x，g（x）为增函数，此时g（x）必须在1，3上有两个交点，解得，a 设 x1，可得13，f（x）=2f（ ）=2ln ，此时g（x）=2lnxax，g（x）=，若g（x）0，可得x0，g（x）为增函数若g（x）0，可得x，g（x）为减函数，在，1上有一个交点，则 ，解得0a6ln3综上可得 a；若a0，对于x1，3时，g（x）=lnxax0，没有零点，不满足在区间，3内，函数g（x）
15、=f（x）ax，有三个不同的零点，a=0，显然只有一解，舍去综上：a故答案为：a14解：g（x）=xlnxg（x）=1，x1，e，g（x）0 函数g（x）单调递增g（x）的最大值为g（e）=e1f（x）=x+f（x）=，令f（x）=0a0x=a当0a1 f（x）在1，e上单调增 f（1）最小=1+a2e11a当1ae 列表可知 f（a）最小=2ae1 恒成立当ae时 f（x）在1，e上单调减 f（e）最小=e1 恒成立综上a故答案为：a15解：函数f（x）=x3+bx（b为常数），f（x）=x（x2+b）=0的三个根都在区间2，2内，b4函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，f（x）=3x2
16、+b0在区间（0，1）上恒成立，b3综上可知3b4，故答案为：3，416解：f（x）=x33x，f（x）=3（x1）（x+1），当x2，1，f（x）0，x（1，1），f（x）0；x（1，2，f（x）0f（x）在2，1上是增函数，（1，1）上递减，（1，2）递增；且f（2）=2，f（1）=2，f（1）=2，f（2）=2f（x）的值域A=2，2；又g（x）=ax+1（a0）在2，2上是增函数，g（x）的值域B=2a1，2a1；根据题意，有ABa同理g（x）=ax+1（a0）在2，2上是减函数，可以求出a故实数a的取值范围是：（，+）17解：f（x）=2xcosx是一个奇函数，在对称的区间上单调性相
17、同，故不对，排除（1）因为|cosx|1，令M=2即得|f（x）|M|x|成立，故（2）对，因为f（）+f（x）=（+2x）sinx+（2x）sinx=4xsinx0，所以点不是函数y=f（x）图象的一个对称中心，故（3）不对因为f（+x）=2（+x）cosx，f（x）=2（x）cosx，f（+x）f（x），函数y=f（x）图象不关于直线x=对称故（4）不对故答案为：（2）18解：f（x）=lnx是（0，+）上的增函数，对于由f（ ）=ln ，=ln，故f（）；故错误对于，x1x2则有f（x1）f（x2），故由增函数的定义得f（x1）f（x2）x2x1 故正确，对于由不等式的性质得x1f（x1
18、）x2f（x2），故错误；对于令1=x1x2=e2，x0=e得，f（x0） 故错误故答案为19解：由f（x）=exex，f（x）为奇函数，增函数，f（msin）+f（1m）0恒成立，即f（msin）f（m1），msinm1，当0时，sin0，1，解得m1，故实数m的取值范围是（，1，故答案为：（，120解：（1）f（x）的定义域为（0，+），f（x）=，当p1时，f（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递增；当p0时，f（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递减；当0p1时，令f（x）=0，解得x=则当x时，f（x）0；x时，f（x）0，故f（x）在（0，）上单调递增，在上单调递减；（2）x0
19、，当p=1时，f（x）kx恒成立1+lnxkxk，令h（x）=，则kh（x）max，h（x）=0，得x=1，且当x（0，1），h（x）0；当x（1，+），h（x）0；所以h（x）在0，1）上递增，在（1，+）上递减，所以h（x）max=h（1）=1，故k1（3）由（2）知，当k=1时，有f（x）x，当x1时，f（x）x，即lnxx1，令x=，则，即，ln2ln11，相加得1n（n+1）1+21解：在区间（0，+）上，（1）当a=2时，切线的斜率k=，又f（1）=ln121=2，由点斜式得切线方程为y（2）=（x1），即x+y+1=0 （2）方法一：（i）当a0时，f（x）0，则f（x）在（1，
20、e2）上单调递增，此时f（1）=a0，f（x）在x（1，e2）没有零点； （ii）当a0时，令f（x）=0，得时，则当x（1，e2），有f（x）0，从而f（x）在（1，e2）单调递增，此时f（1）=a0，f（e2）=lne2ae2=2ae20，f（x）在x（1，e2）有且只有一个零点 当即时，则当，f（x）在单调递增；当，f（x）在单调递减 而，f（1）=a0，f（e2）=2ae20，f（x）在x（1，e2）有且只有一个零点 综上，当a0时，f（x）在x（1，e2）没有零点；当时，函数f（x）有且只有一个零点方法二：由f（x）=0，得，函数f（x）在x（1，e2）的零点个数等价于函数y=a的图
21、象与函数的图象的交点个数，令g（x）=，则，由g（x）=0，得x=e，在区间（1，e）上，g（x）0，则函数g（x）是增函数，g（1）g（x）g（e），即；在区间（e，e2）上，g（x）0，则函数g（x）是减函数，g（e2）g（x）g（e），即，当a0时，f（x）在x（1，e2）没有零点；当时，函数f（x）有且只有一个零点（3）原不等式lnx1+lnx22 不妨设x1x20，f（x1）=0，f（x2）=0，lnx1ax1=0，lnx2ax2=0，lnx1+lnx2=a（x1+x2），lnx1lnx2=a（x1x2），a（x1+x2）2 令，则t1，于是设函数，则0，故函数h（t）在（1，+）上
22、为增函数，h（t）h（1）=0，即不等式lnt成立，故所证不等式成立22：（）解：函数f（x）的定义域为（1，+）求导数，得f（x）=a由已知，函数f（x）=ln（1+x）ax在x=处的切线的斜率为1f（）=1，即a=1，a=1此时f（x）=ln（1+x）x，f（x）=1=，当1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0当x=0时，f（x）取得极大值，该极大值即为最大值，f（x）max=f（0）=0（4分）（）证明：法（一）：由（），得ln（1+x）x0，即ln（1+x）x，当且仅当x=0时，等号成立令x=（kN*），则ln（1+），即ln，ln（k+1）lnk（k=1，2，n）将上述n个不等式
23、依次相加，得1+（ln2ln1）+（ln3ln2）+ln（n+1）lnn，1+ln（n+1）（nN*）（10分）法（二）：用数学归纳法证明（1）当n=1时，左边=1=lne，右边=ln2，左边右边，不等式成立（2）假设当n=k时，不等式成立，即1+ln（k+1）那么1+ln（k+1）+，由（），知xln（1+x）（x1，且x0）令x=，则ln（1+）=ln，ln（k+1）+ln（k+1）+ln=ln（k+2），1+ln（k+2）即当n=k+1时，不等式也成立（10分）根据（1）（2），可知不等式对任意nN*都成立（）解：f（0）=0，g（0）=b，若f（x）g（x）恒成立，则b0由（），知f（
24、x）max=f（0）=0（1）当b=0时，g（x）=0，此时f（x）g（x）恒成立；（2）当b0时，g（x）=b（ex1），当x（1，0）时，g（x）0，g（x）单调递减；当x（0，+）时，g（x）0，g（x）单调递增g（x）在x=0处取得极小值，即为最小值，g（x）min=g（0）=b0f（x），即f（x）g（x）恒成立综合（1）（2）可知，实数b的取值范围为0，+）（14分）23解：（1）函数为大于零的常数，=函数f（x）在区间1，+）内单调递增，当x1时，f（x）0恒成立，即（a0），x1，+）恒成立，（a0）x1，+）（a0）解得a1即为所求的取值范围（2）（i）由（1）可知：当a1时，f（x）在区间1，2上单调递增，当x=1时，函数f（x）取得最小值，且f（1）=0（ii）当0a时，当x1，2时，f（x）0，函数f（x）在区间1，2上单调递减，当x=2时，函数f（x）取得最小值，且f（2）=ln2（iii）当时，令f（x）=0，则当时，f（x）0；当时，f（x）0当时，函数f（x）取得极小值，因为在区间1，2内只有一个极小值，所以也即最小值，最小值为=（3）由（1）可知：令a=1，则函数f（x）=lnx在区间1，+）上单调递增再令，而，f（1）=0，lnn=（ln2ln1）+（ln3ln2）+lnnln（n1），即lnn2010-2014 菁优网
