1、 河南省罗山高中 2015 届高三高考模拟考试（一） 理科数学试题 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 如果集合 | 2 0 5M x y x ，集合 3| logN x y x则 MN （ ） A | 0 4xx B. | 0 4xx C. | 0 4xx D. | 0 4xx 2已知 ,x y Ri 为虚数单位，且 ( 2) 1x i y i ，则 (1 )xyi 的值为（ ） A 4 B 4 C 44i D 2i 3下列说法中，正确的是（ ） （ A） ， （ B）
2、命题 p： ， ，则 ： ， （ C）在 ABC 中， “ ”是 “ ABC 为锐角三角形 ”的必要不充分条件 （ D）已知 ，则 “ ”是 “ ”成立的充分不必要条件 4. 等差数列 na 的前 n 项和为 *()nS n N ，且满足 15 0S ， 16 0S ，则 11Sa ， 22Sa ， ， 1515Sa 中最大的项为（ ） A. 66Sa B. 77Sa C. 99Sa D. 88Sa 5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ） A. 163 B. 803 C. 643 D. 433 6. 已知不等式组3 4 10 043xyxy 表示区域 D ，过区域 D
3、中任意一点 P 作圆 221xy的两条切线且切点分别为 ,AB，当 APB 最大时， cos APB（ ） A. 32 B.12 C. 32 D. 12 7. 现有 12 张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各 3 张，从中 任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多 1 张 . 则不 同的取法共有（ ） （ A） 135 （ B） 172 （ C） 189 （ D） 216 8. 执行如图所示的算法，则输出的结果是（ ） A 1 B 43 C 54 D 2 ,R s in ( ) s in s in xR 2 0xx p Rx 2 0xx0AB ACxR 1x
4、2x9. 方程 0cos3sin axx 在 )2,0( 内有相异 两解 , ，则 （ ） A37B3C3或37D3或 35 10.已知函数 ()y f x 是定义在 R 上的增函数， 函数 ( 1)y f x的图象关于点 (1,0) 对称，若任意的 ,xy R ，不等式 22( 6 2 1 ) ( 8 ) 0f x x f y y 恒成立，则当 3x 时， 22xy 的取值范围是（ ） A (3,7) B (9,25) C (13,49) D (9,49) 11如图，已知椭圆 111: 221 yxC，双曲线 )0,0(1:22222 babyaxC，若以 C1 的长轴为直径的圆与 C2 的
5、一条渐近线交于 A， B 两点，且 C1 与该渐近线的两交点将线段 AB 三等分，则 C2 的离心率为（ ） A 5 B 17 C 5 D 7142 12已知函数21 , 0() lo g , 0xxfx xx ，若方程 ()f x a 有四个不同的解 1x ， 2x ， 3x ， 4x ，且1 2 3 4x x x x ，则 3 1 2 2341()x x x xx的取值范围是（ ） A ( 1, ) B 1,1 C ( ,1) D 1,1 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题： 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上 . 13. 已知( , )Mxy为
6、由不等式组0222xyxy ，所确定的 平面区域上的动点，若点 ,1A，则z OM OA的最大值为 14. 若 2015 20150 1 20 1531x a a x a x （ xR ） ,记 20152015 1 3iii aS ,则 2015S 的值为 _. 15. 设 Sn为数列 an的前 n 项之和，若不等式 2 2 2 2 214nnn a S n a对任何等差数列 an及任何正整数 n 恒成立，则 的最大值为 16. 已知球 O 的直径 4PQ , CBA , 是球 O 球面上的三点， ABC 是正三角形，且 30 C P QB P QA P Q ,则三棱锥 ABCP 的体积为
7、_. 三、解答题： 本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. （ 本 小 题 满 分 12 分） 设 ABC 的 三 内 角 ,ABC 所 对 的 边 分 别 为 ,abc 且( c o s 3 c o s ) ( 3 ) c o sb A C c a B . （ ） 求 sinsinAC 的值 ;（ ） 若 1cos 6B ，且 ABC 的周长为 14， 求 b 的值 . 19. （本小题满分 12 分 ） 如图，在 ABC 中，已知 ,45ABC O 在 AB上，且 ,32ABOCOB 又 PO 平面1, / / ,2A B C D A P O
8、D A A O P O. （ ）求证： PD 平面 COD ； （ ）求二面角 B DC O的余弦值 20. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 ： 过点 ，离心率为 . （ ）求椭圆 的标准方程； （ ）设 分别为椭圆 的左、右焦点，过 的直线 与椭圆 交于不同两点 ，记 的内切圆 的面积为 ，求当 取最大值时直线 的方程，并求出最大值 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 ()f x ax ， ( ) lng x x ，其中 aR ,（ e 2.718） （ 1）若函数 ( ) ( ) ( )F x f x g x有极值 1，求 a 的值； （ 2）若函数 ( ) ( s in (
9、1 ) ) ( )G x f x g x 在区间 (0,1 上为减函数，求 a 的取值范围； C 22 1 ( 0 )xy abab 3(1, )2P 21C12FF、 C 2F l C ,MN 1FMNS S l（ 3）证明：21 1sin ln 2( 1)nk k 请考生在 22、 23、 24 题中任选择一题作答，做答题请写清题号。 22. （本小题满分 10 分） 选修 4 1：几何证明选讲 如图所示， AB 为圆 O 的直径， CB ， CD 为圆 O 的切线， B ， D 为切点 . 求证 ： OCAD/ ； 若圆 O 的半径为 2，求 OCAD 的值 . 23. (本小题满分 1
10、0 分 ) 选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 sin24 cos23yx（ 为参数） . 以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 C 的极坐标方程； 已知 ( 2,0), (0, 2)AB ，圆 C 上任意一点 ),( yxM ，求 ABM 面积的最大值 . 24（本小题满分 10 分）选修 4 5；不等式选讲 函数 ( ) | 1 | | 2 |f x x x k . （ 1）若 5k ，求函数 )(xf 的定义域 A； （ 2） 在（ 1）的条件下 设 21| xxB ，当实数 )(, ACBba R 时，证明： |41|2 |
11、abba . 参考答案 一、选择题： 1【解析】集合 M 指函数 20 5yx的定义域，故 20 5 0x，即 |4M x x；集合 N 指函数3logyx 的定义域，即 |0N x x，所以 | 0 4M N x x 选 C 2. 【解析】由 ( 2) 1x i y i ，可得 2 1 311xxyy ， 4xy ， 414i ，故选 B 3. 【解析】 试题分析：对（ A），当 0时， s in ( ) s in s in .故 错 . 对（ B）， 应为： ， 2 0xx . 对（ C），在 ABC 中，当 ABC 为锐角三角形时， 必有 .当 时，只能说明角 A 为锐角，角 B 或角
12、C 还有可能为钝角，故不一定为锐角三角形，所以是必要不充分条件，结论正确 . 对（ D）， “ ” 时，不一定有 “ ” ，比如取 1.5x .当 时，必有 .所以应为必要不充分条件 . 综上知，选 C. 4. 试 题 分 析 ： 由 16 15 16S S a ，又 15 0S ， 16 0S ，所以 16 0a . 又1 1 5 81 5 8( ) 2 0 , 022a a n a nSa .所以数列的公差小于 0，且 1 0a .所以 17 90, 0Sa .由1 9 59 9 ( ) 9 2 022a a aS .所以 99Sa 0.故选 D. 5. 试题分析： 根据三视图可知该几何体
13、为一个四棱锥和三棱锥的组合体，如图 所示 ,且 EA 平面 ABCD ，FD 平面 ABCD ，底面 ABCD 为正方 形，则有 4 , 2 , 4 , / /F D A E A D D C F D E A ,所以 F 和 D到平面 AEB 的距离相等，且为 4 ，故 1 1 1 1 64243 3 2 3F A E B B A EV S A D , 1 1 6 44443 3 3F A B C D A B C DV S F D 四 形，则该几何体的体积为 16 64 803 3 3. 6. 【解析】由题可得，当圆心与区域 D 中的点距离最小时， APB 最大，所以圆心 0,0 到直线3 4
14、10 0xy 的距离最小，即2210 234d ，因为半径 1r ，所以角 60APB，即1cos 2APB，故选 B. 7. 【解析】 C 试题分析：取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，则这 3 张可以是两种颜色，也可以是 三种颜色；蓝色卡片至多 1 张，则有两种情况：一是无蓝色，二是有一张是蓝色 .若无蓝色，则共有22333 3 3 3 2 8 1CC 种；若有 1 张蓝色，则共有 22333 3 3 3 3 1 0 8CC .共有 189 种 . p Rx0AB AC 0AB AC1x 2x 2x 1x8. 【解析】试题分析： 0, 2;sn 23 1 4 43 , , 0
15、l o g ;3 3 3n M S 2 2 25 4 5 54 , , l o g l o g l o g ;4 3 4 3n M S 2 2 26 5 65 , , l o g l o g l o g 2 1 ;5 3 5n M S Q 输出 1s ；故选 A. 9. A 【解析】 0cos3sin axx 可化为 2 sin( )3xa ，画出函数 2sin( )3yx在 )2,0( 的图象，原条件等价于直线 ya 与函数 2sin( )3yx在 )2,0( 的图象有两个交点，如图直线所在位置的两种情况下，由 2sin( )3yx图象的对称性知， 263 ，或 77263 10. C 【解
16、析】 试题分析： ( 1)y f x的图象关于点 (1 0)， 对称， ()y f x 的图象关于点 (0 0)， 对称，即 ()fx为 奇函数 由 不等式 2 2 2 2( 6 2 1 ) ( 8 ) 0 ( 6 2 1 ) ( 8 )f x x f y y f x x f y y 2(8 )f y y， 又 函数 ()y f x是定义在 R 上的增函数 226 2 1 8x x y y 2( 3)x 22( 4) 2y 222 1, ( , )x y O M M x y O 圆 ：2 2 2( 3 ) ( 4 ) 2 ( 3 )x y x 22xy 2 (13, 49)OM 考点：函数的单
17、调性、奇偶性、对称性 11. 【答案】 C 【解析】 试题分析：设椭圆与双曲线的渐近线相交于 ),(),( 2211 yxNyxM 两点（设 M 在 x 轴的上方）以及),.( 33 yxA ，由题意，可得 OMOA 3 ，即 13 3xx ；联立xabyyx 1122 ，得22223 11 ba ax ；联立xabyyx 111 22， 得22221 1111 ab ax ，即 )(911 2222 baab ，即 22 4ab ，即 22 5ac ，即 5e 12. 【答案】 B 【解析】 试题分析：先画出 函数21 , 0() lo g , 0xxfx xx ，的图象，方程 ()f x
18、a 有四个不同的解 1x ， 2x ， 3x ，4x ，且 1 2 3 4x x x x ，由 0x 时， ( ) 1f x x，则横坐标为 1x 与 2x 两点的中点横坐标为 1x 即： 122xx ，当 0x 时，由于 2logyx 在 (0,1) 上是减函数，在 (1, ) 上是增函数，又因为 34xx ，4232 lo glo g xx ，则 43 10 xx ，有 1lo glo g 434232 xxxx ，又因为方程 axf )( 有四个不同的解，所以 1log 32 x ，则 213x，则3 1 2 2341()x x x xx3312 xx ， )121( 3 x ，设ttt
19、g 12)( ，（ 121 t ），由于 012)( 2 ttg ，则 )(tg 在 )1,21 上是减函数，则 1)(1 tg ，故应选择 B 二、填空题： 13. 14 试题分析：根据题意画出可行域如图： c o s 3 c o sO M O A O M O A M O A O M M O A ,其几何意义为向量 OM 在 OA 上的投影，当动点 M 坐标为 2,2 ，所以 2 ,1 2 , 2 4O M O A ，所以答案为： 4 14. 1 试题分析：令 31x 得2 0 1 502 0 1 52 0 1 52210 3330 Saaaaa ，又令 0x 得 10 a ，所以 12 1
20、5S 15. 12 试 题 分 析 ： 当 1 0a 时， R ; 当 1 0a 时，2 2 2 2 22 2 2 2 2 211 2 2 2 21 1 1 1 14 ( )4 2 ( ) 2 ( ) 1n n n n n nnn n a S a a a a an a S n a n a a a a a 221112( ) 22naa ，所以 max11,22 16. 【解析】 试题分析： 设球心为 M， 三角形 ABC 截面小圆的圆心为 O ， ABC 是等边三角形， APQ= BPQ= CPQ=30 P 在面 ABC 的投影 O 是等边 ABC 的中心， PQ 是直径， PCQ=90， P
21、C=4cos30 =23 ， P O = 2 3 c o s 3 0 3 , 2 3 s i n 3 0 3OC ，由 O 是等边 ABC 的中心， 23OC OH ，等边三角形 ABC的高 O H=332 ， AC= 33sin 60 32 ， 1 1 1 3 3 9 3333 3 2 2 4P A B C A B CV P O S 三、解答题： 17. （ 1） 13 ； （ 2） 6b . （ 1）由正弦定理 得 ， 33 .co sA co sC sin C sin Aco sB sin B 即 3 ( ) ( ) 3 c o s A c o s C s in B s in C s i
22、n A c o s B ， 化简可得 3( ) ( )sin A B sin B C 又 A B C ， 所以 3 sin C sin A ，因此 sinsinAC 13 . 5 分 （ 2）由 sinsinAC 13 得 3ca . 由余弦定理及 cosB 16 得 2 2 2 2 2 2 22 9 6 9 .b a c a c c o s B a a a a 所以 3ba .又 14a b c .从而 2a ，因此 6b . 12 分 考点： 1.正弦定理、余弦定理的应用 ;2.两角和差的三角函数 . 19解：（ ）设 1 , 2 , 1O A P O O B D A 则 ， 1 分 由
23、/ ,DA PO PO 平面 ABC ，知 DA 平面 ,ABC DA AO.从而2 , 2DO PD 在 PDO 中 2PO PDO 为直角三角形，故 DOPD 3 分 又 2 , 4 5O C O B A B C ， ABCO 又 PO 平面 ,ABC ,PO O C PO AB 平面 ,P A B P O A B O， CO 平面PAB 5 分 故 .PDCO CO DO O PD 平面 .COD 6 分 （ ）以 ,OC OBOP 所在射线分别为 ,xyz 轴，建立直角坐标系如图 .7 分 则由（ ）知， ( 2 , 0 , 0 ) , (0 , 2 , 0 ) , (0 , 0 ,
24、2 ) , (0 , 1 , 1 )C B P D , ( 0 , 1 , 1 ) , ( 2 , 2 , 0 ) , ( 0 , 3 ,1 )P D B C B D 8 分 由（ ）知 PD 平面 ,COD PD 是平面 DCO 的一个法向量， 设平面 BDC 的法向量为 0 2 2 0( , , ) , ,300n B C x yn x y z yzn B D ， 令 1y ，则 1, 3, (1,1 , 3 )x z n ， 10 分 1 3 2 2 2c o s , 11| | | 2 1 1P D nP D n P D n 11 分 由图可知，二面角 B DC O的余弦值为 2 22
25、.11 12 分 20. 【答案】 （ ）椭圆 的标准方程为 22143xy； （ ）max 9: 1, 16l x S . 试题解析： （ ）由题意得 解得 椭圆 的标准方程为 22143xy. 4 分 （ ）设 ， 的内切圆半径为 ，则 所以要使 取最大值，只需 最大 6 分 设直线 的方程为 将 代入 可得 (*) 恒成立，方程 (*)恒有解， 记 在 上递减 ， 所以 当 1m 即 0t 时，1 max( ) 3FMNS ， 此时max 9: 1, 16l x S . 12 分 考点： 1、椭圆的标准方程； 2、直线与圆锥曲线的位置关系； 3、函数的最值 . C2 2 22291141
26、 , ,2c a b ca b a 2, 3, 1a b c C1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y2FMN r2 2211( ) 8 422F M NS M N F M F N r r r S 2FMNS2 1 2 1 2 1 212F M NS F F y y y y l 1x ty1x ty 22143xy 22(3 4 ) 6 9 0t y ty 0 1 2 1 2226 ,3 4 3 4ty y y ytt 121 2 1 2 21 2 14 34F M N tS y y y y t （ ） 2 1 ( 1)m t m 1 21 2 1 2 1313F M N
27、mS mm m 1,21.（ 1）解： ( ) lnF x ax x， ( 0)x 1( )F x a x 1 分 若 0a ，则对任 意的 (0, )x 都有 ( ) 0Fx ，即函数 ()Fx在 (0, ) 上单调递减 函数 ()Fx在 (0, ) 上无极值 1 分 若 0a ，由 ( ) 0Fx 得 1x a 当 1(0, )x a 时 ( ) 0Fx ，当 1( , )x a 时， ( ) 0Fx 即函数 ()Fx在 1(0, )a 单调递减，在 1( , )a 单调递增 函数 ()Fx在 1x a 处有极小值 1()Fa 11 ln 1a 1a 3 分 （ 2）解法 1：函数 ( )
28、 ( s in ( 1 ) ) ( )G x f x g x = sin( 1) lna x x 在区间 (0,1) 上为减函数且当 (0,1)x时， cos( 1) 0x 1( ) c o s ( 1 ) 0G x a x x 在 (0,1) 上恒成立 1cos( 1)a xx 在 (0,1) 上恒成立 5 分 设 1()cos( 1)Hx xx ，则 2 2 2 2c o s 1 s in 1 s in 1 c o s 1( ) c o s ( 1 ) c o s ( 1 )x x x x x xHx x x x x 当 0,1x 时， sin 1 0x， cos 1 0x 所以 ( )
29、0Hx 在 0,1 上恒成立，即函数 ()Hx在 0,1 上单调递减 当 0,1x 时， ( ) (1) 1H x H 1a 8 分 考点： 1、 利用导数 研究 函数的 极 值； 2、 利用导数研究函数的单调性 ； 3、不等式的恒成立； 22【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到 圆的切线的性质，三角形相似等 内容 . 本小题重点考查考生对平面几何推理能力 . 【试题解析】 解： (1) 连接 CDCBODBD , 是圆 O 的两条切线， OCBD ， 又 AB 为直径，DBAD ， /AD OC . 5 分 (2)由 /AD OC ， DAB COB ， BADRt Rt COB ， AD ABOB OC ， 8AD OC AB OB . 10 分 23【命题意图】 本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识， 具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标
