1、我所认识的应力与应变关系机械与动力工程学院 张淑颖 612080706053在弹塑性力学中，可变性固体在外力作用下将发生变形。根据变形的特点，固体在受力过程中的力学行为可分成两个明显不同的阶段：当外力小于某一限值（通常称之为弹性极限荷载）时，在引起变形的外力卸载后固体能完全恢复原来的形状，这种能恢复的变形成为弹性变形，固体只产生弹性变形的阶段成为弹性阶段；外力一旦超过弹性极限荷载，这时再卸除和在，固体也不能恢复原状，其中有部分不能消失的变形被保留下来，这种保留下来的永久变形就成为塑性变形，这一阶段成为塑性阶段。在弹性阶段，应力和应变之间存在一一对应的单值函数关系，而且还假设是线性关系；在塑性阶
2、段，应力和应变之间通常不存在一一对应的关系，而且通常还是非线性关系（这种非线性成为物理非线性）。构成实际固体的材料种类很多，它们的性质各有差异，为方便研究，往往根据材料的主要性质做出某些假设，在弹性理论中，有如下的基本假设：假设物体是连续的。物体内部由连续介质组成，物体中没有空隙， 因此物体中的应力、应变、位移等量是连续的， 可以用坐标的连续函数表示。假设物体是均匀的。整个物体是由同一材料组成的，所有各部分具有相同的弹性， 物体弹性常数不随位置坐标而变，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析， 然后把分析的结果应用于整个物体。假设物体是各向同性的。物体的弹性在所有各个方向都相同，物体的弹性常数
3、弹性模量、泊松系数不随方向而变。显然，木材和竹材的构件都不能当做各向同性体。至于钢材的构件，虽然含有各向异性的晶体，但由于晶体很微小，而且是随机排列的，因此钢材构件的弹性包含无数多微小晶体随机排列时的统观弹性大致是各向同性的。假设物体是完全弹性的。凡是符合以上四个假定的物体，就称为理想弹性体。假设位移和应变是微小的。假定物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且应变和转角都远小于。这样，在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸，而不致引起显著的误差。并且，在考察物体的应变及位移时，转角和应变的二次幂或乘积都可以略去不计，这才可能使得弹性
4、力学中的代数方程和微分方程为线性方程。假设物体内无初应力。认为物体是处于自然状态，即在荷载或温度变化等作用之前，物体内部没有应力。上列基本假设中， 第五条假设是属于几何假设， 其它假设是属于物理假设。以上述基本假设为根据的弹性理论，称为线性弹性理论。如物体中应力超过弹性极限，物体将处于塑性状态，此时，应力与应变不是线性关系，这是物理上的非线性，研究物体处于塑性状态时的应力与应变的学科，称为塑性理论。在大塑性变形的塑性加工中，其几何关系也是非线性的。在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系极其简单，这就是在材料力学中导出的如下形式的胡克定律：，胡克定律是一个实验定律，式中的E是与材料
5、性质有关的弹性常数，称为弹性模量或杨氏模量。在一般情况下，物体的应力与应变呈某一函数关系，可表示为：应力与应变张量均为六个独立分量。则: 如果材料呈单值连续关系（不一定线性），则称为柯西（Cauchy）弹性材料（一般意义上的弹性）。呈线性单值连续关系的材料性质称为线弹性。在柯西弹性的基础上附加等温绝热的外部环境条件，使有势函数存在，则这种弹性性质又称为超弹性。可以证明线弹性一定是超弹性。受材料在单向拉伸试验时弹性阶段的应力与应变呈线性关系（胡克定律）的启发，线弹性材料在复杂应力状态下其应力张量与应变张量亦呈线性关系。称为广义胡克定律的一般形式，即矩阵表示形式：其中分别称为应力和应变列阵 称为弹
6、性矩阵。其元素为36个张量表示形式：其中称为弹性常数，共81个系数，因 、 各六个独立， 缩减为36个独立的常数。对线弹性体而言，如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。根据热力学第一定律和相应数学推导，有势，其势函数U0() 为物体单位体积的变形能（应变能）。 Green公式则有由： 同理：，即： 弹性矩阵为对称矩阵，共有21个独立的弹性常数。广义胡克定律的上述形式表征的是各向异性材料的本构关系。如果材料具有弹性对称面，则本构关系还可简化，使弹性常数进一步缩减。弹性体中每一点均有一个对称方向，在这些对称方向上弹性性质相同，即应力应变关系不变。称为弹性对称。相应的对称方向和对称面称为弹性对称方向
7、和弹性对称面。垂直于弹性对称面的方向称为弹性主轴。仅具有一个弹性对称面的材料称为横观各向异性材料。设Oxy平面为材料的弹性对称面，z轴为弹性主轴。体内一点P(x, y, z)的应力和应变为 和。则其中C为各向异性的弹性矩阵 现将z轴反向，考察其本构关系 在新坐标下，由于弹性对称，应力应变关系保持不变但P点坐标和应力应变分量发生变化，两坐标系三轴的方向余弦为xyzx100y010z00-1由坐标变换代入上式由比较得 例如比较 C 和 C 中的第一行 横观各向异性材料的广义胡克定律可表示为 横观各向异性材料，其独立的弹性常数为13个；正应变会产生切应力，切应变也会产生正应力，工程上，单斜晶体（如正
8、长石）可简化为横观各向异性弹性体。具有三个相互垂直弹性对称面的材料称为正交各向异性材料。设三个弹性对称面分别为Oxy、Oyz和Ozx平面，材料沿 x、 y、 z 三方向弹性性质各异。将 x 轴反向，仿前分析步骤可得将 y 轴反向，不产生新的结果。综合之，正交各向异性材料的广义胡克定律可表示为 正交各向异性材料，其独立的弹性常数为9个；正应变仅产生正应力，切应变仅产生切应力。工程上一般用三个弹性模量（Ex、 Ey 、 Ez ），三个泊松比（Poisson）（、）和三个切变模量（Gxy、 Gyz、Gzx）表示。煤、木材、增强纤维复合材料等可简化为正交各向异性弹性体。对横观各向同性材料，设体内每一点
9、存在一轴（z轴），在与此轴垂直的平面（Oxy）内，所有射线方向的弹性性质均相同，称该平面为各向同性面。具有各向同性面，且各各向同性面相互平行（或具有弹性对称轴）的物体，称为横观各向同性材料。在正交各向异性的基础上，按照相似的分析步骤，设 xy 平面绕 z 轴旋转任意角度，旋转前后应力应变关系不变，比较其弹性常数可得所以，横观各向同性材料的广义胡克定律可表示为横观各向同性材料，其独立的弹性常数为5个，工程上一般用两个弹性模量（Exy、 Ez ），两个泊松比（、）和一个切变模量（G）表示。地层、层状岩体、复合板材等可简化为横观各向同性弹性材料。对各向同性材料，在横观各向同性的基础上，将 z 轴反向
10、，考察其反向前后的应力应变关系可得所以，各向同性材料的广义胡克定律可表示为:各向同性材料独立的弹性常数只有2个对于各向同性材料的广义胡克定律表达式，展开 令 ，则 其中 张量形式 、G 称为拉梅（Lam）常数体积胡克定律 体积弹性模量 （注： Lam原文所用符号为和而非G，也不是泊松比。在工程形式中，Lam常数， 实际上被定义为切变模量G）形变理论是塑性力学中物理关系比较简单的一种，这个理论和弹性力学分析问题的方法是一致的，即要以变形的全量作为基础，因此确定物理方程时，就需要保持弹性力学物理方程中的一些特点。为了建立塑性力学中全量理论的物理方程，需要采用如下几个假定：应力主方向与应变主方向是重
11、合的，即应力Mohr圆与应变Mohr圆相似，应力Lode参数和应变Lode参数相等，而且在整个加载过程中主方向保持不变。平均应力与平均应变成比例。应力偏量分量与应变偏量分量成比例。应力强度是应变强度的函数, 而这个函数对每个具体材料都应通过实验来确定。即，这里的E不仅与材料有关，而且也和塑性变形程度有关。将上述几点假设与广义Hooke定律做一个比较，发现只有第四点与弹性力学不同，而形变理论却包括了前一种情况，因为Hooke定律是这里的一种特殊情况。全量理论依留申本构方程，主要适用于强化材料或简写形式在塑性变形阶段，应力和应变的关系是非线性的，应变不仅和应力状态有关，还和变形历史有关。考虑应变历
12、史，研究应力和应变增量之间的关系，以这种关系为基础的理论称为增量理论。塑性变形过程是不可逆的，变形功的较大部分皆转变为热，最后状态的应力与变形路径有关。由于这一点，描写塑性变形的方程式原则上不能由应力分量和应变分量的有限关系式相联系，而必须是微分关系式，此外，还必须是非积分形式的。塑性流动理论方程式建立了应变的无限小增量与应力的无限小增量，应力本身，以及塑性状态的某些参数之间的关系。因为塑性变形与应力路径有关，因此常常需考虑取全部加载过程增长了的塑性应变，并通过积分，确定总的塑性应变。但是，如果是有一比例的应力路径即简单加载时，如各应力按相同比例增加则塑性应变状态与加载过程无关，而只与最终的应
13、力状态有关。增量理论又称流动理论，是描述材料在塑性状态时应力与应变速度或应变增量之间关系的理论。历史上这个理论发展得比形变理论更早，它不受加载条件的限制, 在理论上比形变理论更有优越性，但在实际应用时，需要按加载过程中的变形路径进行积分，因此计算是比较复杂的。在复杂加载的条件下，变形过程将不按统一的比例变化，因而问题比形变理论复杂得多。在这种情况下，可以假设在某一瞬时，应变增量的主轴与应力偏量的主轴是重合的，因而各应力偏量分量与各应变增量或与各应变偏量增量的分量在此瞬时成同一比例如图。由此在各向同性体的塑性流动理论中，有下列假设，而这些假设一般是可以通过实验验证的。主伸长增量速度的方向与主应力
14、方向重合。体积变形的变化与平均应力成正比, 而且完全是弹性的。应力偏量与应变增量速度成比例。应力强度是应变增量速度强度的函数。对于理想塑性材料，应力强度是个常数。增量理论着重指出了塑性应变增量的偏量与应力偏量的关系，可理解为它是建立起各瞬时应力或应力增量与应变的变化关系。增量理论之一适用于理想弹塑性材料的 Prandtl Reuss 理论或简写形式 式中：是一个与加载历史有关的大于零的比例系数增量理论之二适用于理想刚塑性材料的Levy Mises 理论或简写形式 综上所述，塑性力学与弹性力学的主要区别就在于物理关系的不同。线弹性力学的物理关系是以广义虎克定律为基础的,由于它具有线性性质,在求解
15、具体问题时使用起来非常方便。然而在塑性力学中,物理关系应包括屈服条件、塑性本构方程以及塑性强化条件而且塑性本构关系与塑性变形程度有关,它们的表达式是非线性的。尽管塑性力学中本构方程类型很多,但它们之间存在着一定的内在联系, 由前面的分析可以得出如下结论：考虑弹性应变增量时,可由Levy-Mises理论的本构方程得到Prandtl-Reuss理论的本构方程；在比例变形的条件下,由增量理论的本构方程进行积分便可以得到形变理论的本构方程。例如将Prandtl-Reuss方程进行积分便可得到Hencky方程, 将Levy-Mises方程在比例变形条件下进行积分并采用对数应变则可以得到Nadai物理方程，依留申本构方程与Hencky方程的区别在于前者将弹性应变与塑性应变作为总应变反映在本构方程中, 而后者则分别加以考虑。
