1、数列的极限一、知识要点1数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数（即|ana|无限地接近于0），那么就说数列以为极限记作（注：a不一定是an中的项）2几个重要极限： （1） （2）（C是常数）（3）（4）3. 数列极限的运算法则:如果那么4无穷等比数列的各项和公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和，当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做二、方法与技巧只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限.运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）求数列极限最后往往转化为或型的极限.
2、求极限的常用方法：分子、分母同时除以或.求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限.利用已知数列极限（如等）.含参数问题应对参数进行分类讨论求极限.,00,等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限题型讲解 例1 求下列式子的极限：； ； ； ; （2） （n）;（3）（+）例2 的（ ）A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件例3 数列an和bn都是公差不为0的等差数列，且=3,求的值为 例4 求 （a0);例5 已知,求实数a,b的值;例6 已知等比数列an的首项为a1,公比为q,且有（qn）=,求a1的取值范围例7 已知数列an是由正
3、数构成的数列，a13，且满足lganlgan1lgc，其中n是大于1的整数，c是正数（1）求数列an的通项公式及前n和Sn；（2）求的值数列极限课后检测1下列极限正确的个数是（ ）=0（0） qn=0 =1 C=C（C为常数）A2B3 C4 D都不正确3下列四个命题中正确的是（ ）A若an2A2，则anA B若an0，anA，则A0C若anA，则an2A2 D若（anb）0，则anbn5若数列an的通项公式是an=,n=1,2,则 （a1+a2+an）等于（ ） A B C D6数列an中,的极限存在，a1=,an+an+1=,nN*,则（a1+a2+an）等于（ ）A B C D7=_ =_
4、 n（1）（1）（1）（1）= 8已知a、b、c是实常数，且=2, =3,则的值是（ ）9 an中a1=3，且对任意大于1的正整数n,点（,）在直线xy=0上，则=_10等比数列an公比q=,且（a1+a3+a5+a2n1）=,则a1=_11已知数列an满足（n1）an+1=（n+1）（an1）且a2=6,设bn=an+n（nN*）（1）求bn的通项公式；（2）求（+）的值12已知an、bn都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且 =,求极限 （+）的值例题解析答案例1 分析：的分子有界，分可以无限增大，因此极限为0； 的分子次数等于分母次数，极限为两首项(最高
5、项)系数之比； 的分子次数小于于分母次数，极限为0 解：； ； 点评：分子次数高于分母次数，极限不存在；分析:（4）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（5）因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（6）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限解:（1）=（2） （n）= =（3）原式=（1+）=1点评：对于（1）要避免下面两种错误：原式=1,（2n 2+n+7）, （5n2+7）不存在，原式无极限对于（2）要避免出现下面两种错误：（n）= n=0;原式=n=不存在对于（3）要避免出现原式=+=0+0+0=0这样的错误例
6、2 B例3 数列an和bn都是公差不为0的等差数列，且=3,求的值为解：由=3d1=3d2 ，= 点评：化归思想例4 求 （a0);解：=点评：注意分类讨论例5 已知,求实数a,b的值;解：=1， a=1,b=1例6 已知等比数列an的首项为a1,公比为q,且有（qn）=,求a1的取值范围解: （qn）=,qn一定存在0|q|1或q=1当q=1时，1=,a1=3当0|q|1时，由（qn）=得=,2a11=q0|2a11|10a11且a1综上,得0a11且a1或a1=3 例7 已知数列an是由正数构成的数列，a13，且满足lganlgan1lgc，其中n是大于1的整数，c是正数（1）求数列an的
7、通项公式及前n和Sn；（2）求的值解:（1）由已知得anan1,an是以a13，公比为c的等比数列，则an3n1Sn（2） 当c=2时，原式;当2时，原式;当02时，原式=点评：求数列极限时要注意分类讨论思想的应用试卷解析1 答案:B3解析:排除法，取an（）n，排除A；取an，排除；取anbnn，排除D答案:C5 解析:an=即an=a1+a2+an=（21+23+25+）+（32+34+36+）（a1+a2+an）=+=答案:C6 解析:2（a1+a2+an）=a1+（a1+a2）+（a2+a3）+（a3+a4）+（an1+an）+an=+an原式=+an=（+an）an+an+1=,an
8、+an+1=0an=0 答案:C7 解析:原式=0 = 解析: n（1）（1）（1）（1）=n=2 答案:C8解析: 答案:D 由=2,得a=2b由=3,得b=3c,c=b=6= =69析:由题意得= （n2）是公差为的等差数列，=+（n1）=nan=3n2=310析:q=, （a1+a3+a5+a2n1）=a1=211 解:（1）n=1时，由（n1）an+1=（n+1）（an1）,得a1=1n=2时，a2=6代入得a3=15同理a4=28,再代入bn=an+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想bn=2n2要证bn=2n2,只需证an=2n2n当n=1时，a1=2121=1成立假设当n=k时，ak=2k2k成立那么当n=k+1时，由（k1）ak+1=（k+1）（ak1）,得a k+1=（ak1）=（2k2k1）=（2k+1）（k1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）2（k+1）当n=k+1时，an=2n2n正确，从而bn=2n2（2）（+）=（+）=+=1+=1+=12 解:an、bn的公差分别为d1、d22b2=a2+a3,即2（2+d2）=（3+d1）+（3+2d1）,2d23d1=2又=,即d2=2d1,d1=2,d2=4an=a1+（n1）d1=2n+1,bn=b1+（n1）d2=4n2=（）原式=（1）=
