1、精品题库试题 理数1. (2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4,则C的方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1答案 1.A解析 1.由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,又=,c=1,b2=2,C的方程为+=1,选A.2. (2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是()A.5B.+C.7+D.6答案 2.D解析 2.设Q(cos ,sin ),圆心为M,由已知得M(0,6),则|MQ|=5,故|PQ|m
2、ax=5+=6.3. (2014湖北,9,5分)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.B.C.3D.2答案 3.A解析 3.解法一:设椭圆方程为+=1(a1b10),离心率为e1,双曲线的方程为-=1(a20,b20),离心率为e2,它们的焦距为2c,不妨设P为两曲线在第一象限的交点,F1,F2分别为左,右焦点,则易知解得在F1PF2中,由余弦定理得(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos 60=4c2,整理得+3=4c2,所以+=4,即+=4.设a=,b=,+=ab|a|
3、b|=,故+的最大值是,故选A.解法二:不妨设P在第一象限,|PF1|=m,|PF2|=n.在PF1F2中,由余弦定理得m2+n2-mn=4c2.设椭圆的长轴长为2a1,离心率为e1,双曲线的实轴长为2a2,离心率为e2,它们的焦距为2c,则+=.=,易知-+1的最小值为.故=.故选A.4.(2014山东,10,5分)已知ab0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()A.xy=0B.xy=0C.x2y=0D.2xy=0答案 4.A解析 4.设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2,则e1=,e2=.因为e1e2=,所以=,即=
4、,=.故双曲线的渐近线方程为y=x=x,即xy=0.5. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），9) 已知两定点和, 动点在直线: 上移动，椭圆以，为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为( ) A. B. C. D. 答案 5. B解析 5. 要使离心率最大，即使最小，即长轴最短. 由数形结合知：当直线与椭圆C相切时长轴最短，就最小. 联立椭圆方程及直线方程得：，由可解得：（舍）或，此时，选B.6. (2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，9) 如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）A. B. C. D. 答案
5、6.D解析 6. 设，因为点在椭圆上，所以，即，又四边形为矩形，所以，即，解方程组得，设双曲线的实轴长为，焦距为，则，所以双曲线的离心率为.7.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，9）三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形，已知点是椭圆的一个短轴端点，如果以为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，则椭圆的离心率取值范围是（ ）A B C D 答案 7. B解析 7. 设椭圆C的方程为：，设直线、，由题意可得直线与直线与椭圆相交所得的弦长相等，联立直线与椭圆C的方程得，所截得的弦长为，用代替k可得直线与椭圆C的方程得，所截得的弦长为，两个弦长相等得，欲使以为直角顶点的椭
6、圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，只需使方程有三个不同的正实根即可，令，则，又因为，所以只需使即可，整理得离心率的范围，又因为椭圆的离心率小于1，所以.8.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 6) 已知，是椭圆两个焦点，P在椭圆上，且当时，的面积最大，则椭圆的标准方程为( )(A) (B) (C) （D）答案 8. A解析 8. 在中，由余弦定理可得：，反解得，又因为的面积为，因为当时面积最大，故的最大角为，所以可得a=2b，又因为c=3，所以可得，椭圆方程为.9. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），6) 在同一坐标系中，离心率为的椭圆与离心率为的
7、双曲线有相同的焦点，椭圆与双曲线的一个交点与两焦点的连线互相垂直，则 ( ) (A) 2（B）3 （C） （D）答案 9. A解析 9. 依题意，设焦距为，椭圆长轴长，双曲线实轴长，令点在上去先的右支上，由椭圆的定义知，由双曲线的定义知，又，由得，即，故.10. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 9) 已知曲线上任意一点到两定点、的距离之和是4，且曲线的一条切线交、轴交于、两点，则的面积的最小值为（ ）A. 4 B. C. 8 D. 2答案 10. D解析 10. 依题意，曲线的方程为椭圆，其方程为，设切线方程为，联立方程组，消去得，由，整理得，即切线方程为，令，则，令，则，当且仅
8、当取等号.故的面积的最小值为2.11. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 11) 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 答案 11. A解析 11.椭圆：与双曲线有相同的焦点，解得，椭圆的离心率，又，故椭圆的离心率的取值范围是.12.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=_.答案 12.12解析 12.由椭圆方程知椭圆C的左焦点为F1(-,0),右焦点为F2(,0).则M(m,n)关于F1的对称点为A(-2-m,-n),关
9、于F2的对称点为B(2-m,-n),设MN中点为(x,y),所以N(2x-m,2y-n).所以|AN|+|BN|=+=2+,故由椭圆定义可知|AN|+|BN|=26=12.13. (2014重庆,21,12分)如图,设椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,点D在椭圆上,DF1F1F2,=2,DF1F2的面积为.()求椭圆的标准方程;()设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.答案 13.查看解析解析 13.()设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2.由=2得|DF1|=c.从而=|DF1|
10、F1F2|=c2=,故c=1.从而|DF1|=,由DF1F1F2得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=,因此|DF2|=.所以2a=|DF1|+|DF2|=2,故a=,b2=a2-c2=1.因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1.()如图,设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y10,y20,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1F2P2.由圆和椭圆的对称性,易知x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|.由()知F1(-1,0),F2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1).再由F1P1F2P2得-(
11、x1+1)2+=0.由椭圆方程得1-=(x1+1)2,即3+4x1=0,解得x1=-或x1=0.当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在.当x1=-时,过P1,P2分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.由F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1F2P2,知CP1CP2.又|CP1|=|CP2|,故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=.14. (2014四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(ab0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.()求椭圆C的标准方程;()设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C
12、于点P,Q.(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);(ii)当最小时,求点T的坐标.答案 14.查看解析解析 14.()由已知可得解得a2=6,b2=2,所以椭圆C的标准方程是+=1.()(i)由()可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m).则直线TF的斜率kTF=-m.当m0时,直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式=16m2+8(m2+3)0.所以y1+y2=
13、,y1y2=,x1+x2=m(y1+y2)-4=.所以PQ的中点M的坐标为.所以直线OM的斜率kOM=-,又直线OT的斜率kOT=-,所以点M在直线OT上,因此OT平分线段PQ.(ii)由(i)可得,|TF|=,|PQ|=.所以=.当且仅当m2+1=,即m=1时,等号成立,此时取得最小值.所以当最小时,T点的坐标是(-3,1)或(-3,-1).15. (2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(ab0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.答案 15.查看解析解析 15.(
14、1)由题意知c=,e=,a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆C的标准方程为+=1.(2)设两切线为l1,l2,当l1x轴或l1x轴时,l2x轴或l2x轴,可知P(3,2).当l1与x轴不垂直且不平行时,x03,设l1的斜率为k,且k0,则l2的斜率为-,l1的方程为y-y0=k(x-x0),与+=1联立,整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,直线l1与椭圆相切,=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,(-9)k2-2x0y0k+-4=0,k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一个根,同理,-是方程(-9)
15、x2-2x0y0x+-4=0的另一个根,k=,整理得+=13,其中x03,点P的轨迹方程为x2+y2=13(x3).检验P(3,2)满足上式.综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.16. (2014湖南,21,13分)如图,O为坐标原点,椭圆C1:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为e1;双曲线C2:-=1的左、右焦点分别为F3、F4,离心率为e2,已知e1e2=,且|F2F4|=-1.()求C1,C2的方程;()过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.答案 16.查看解析解析 16.()因为e1e
16、2=,所以=,即a4-b4=a4,因此a2=2b2,从而F2(b,0),F4(b,0),于是b-b=|F2F4|=-1,所以b=1,所以a2=2.故C1,C2的方程分别为+y2=1,-y2=1.()因为AB不垂直于y轴,且过点F1(-1,0),故可设直线AB的方程为x=my-1.由得(m2+2)y2-2my-1=0,易知此方程的判别式大于0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是上述方程的两个实根,所以y1+y2=,y1y2=.因此x1+x2=m(y1+y2)-2=,于是AB的中点M的坐标为.故直线PQ的斜率为-,则PQ的方程为y=-x,即mx+2y=0.由得(2-m2)x2=4
17、,所以2-m20,且x2=,y2=,从而|PQ|=2=2.设点A到直线PQ的距离为d,则点B到直线PQ的距离也为d,所以2d=,因为点A,B在直线mx+2y=0的异侧,所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)0,于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|,从而2d=.又因为|y1-y2|=,所以2d=.故四边形APBQ的面积S=|PQ|2d=2 .而02-m2b0,y0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.()求a,b的值;()过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若APA
18、Q,求直线l的方程.答案 17.查看解析解析 17.()在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左,右顶点.设C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.a=2,b=1.()解法一:由()知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y0).易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)设点P的坐标为(xP,yP),直线l过点B,x=1是方程(*)的一个根.由求根公式,得xP=,从而yP=,点P的坐标为.同理,由得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k)
19、.=(k,-4),=-k(1,k+2).APAQ,=0,即k-4(k+2)=0,k0,k-4(k+2)=0,解得k=-.经检验,k=-符合题意,故直线l的方程为y=-(x-1).解法二:若设直线l的方程为x=my+1(m0),比照解法一给分.18.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连结BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F1C.(1)若点C的坐标为,且BF2=,求椭圆的方程;(2)若F1CAB,求椭圆离心率e的值.答案 18.查看解析解析 18.设椭圆的焦距为2
20、c,则F1(-c,0),F2(c,0).(1)因为B(0,b),所以BF2=a.又BF2=,故a=.因为点C在椭圆上,所以+=1,解得b2=1.故所求椭圆的方程为+y2=1.(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,所以直线AB的方程为+=1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为=,直线AB的斜率为-,且F1CAB,所以=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=.19.(2014天津,18,13分)设椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F
21、2|.()求椭圆的离心率;()设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.答案 19.查看解析解析 19.()设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.所以椭圆的离心率e=.()由()知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c0,故有x0+y0+c=0.又因为点P在椭圆上,故+=1.由和可得3+4cx0=0.而点P不
22、是椭圆的顶点,故x0=-c,代入得y0=,即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1,y1),则x1=-c,y1=c,进而圆的半径r=c.设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得=r,即=c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4.所以直线l的斜率为4+或4-.20.(2014北京,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.()求椭圆C的离心率;()设O为原点.若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OAOB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.答案 20.查看解析解析 20.()由题意知,椭圆C的标准方程为+=1.所以a2=4,b2=2,从而c
23、2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e=.()直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x00.因为OAOB,所以=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.当x0=t时,y0=-,代入椭圆C的方程,得t=,故直线AB的方程为x=.圆心O到直线AB的距离d=.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.当x0t时,直线AB的方程为y-2=(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.圆心O到直线AB的距离d=.又+2=4,t=-,故d=.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.21.(2014课表全国，20，12分)已
24、知点A(0,-2),椭圆E:+=1(ab0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.()求E的方程;()设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当OPQ的面积最大时,求l的方程.答案 21.查看解析解析 21.()设F(c,0),由条件知,=,得c=.又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.()当lx轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当=16(4k2-3)0,即k2时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=,
25、所以OPQ的面积SOPQ=d|PQ|=.设=t,则t0,SOPQ=.因为t+4,当且仅当t=2,即k=时等号成立,且满足0,所以,当OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.22.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，21）（原创）如图所示，椭圆：的左右焦点分别为，椭圆上的点到的距离之差的最大值为2，且其离心率是方程的根。(1) 求椭圆的方程；(2) 过左焦点的直线与椭圆相交于两点，与圆相交于两点，求的最小值，以及取得最小值时直线的方程。答案 22.查看解析解析 22. (1) 设是椭圆上任意一点，则，故。解方程得或。因，故，因此，从而。所以椭圆的方程为；(2) 法一：焦准距，
26、设，则，故。易知，故。令，则。令，则，故在单调递增，从而，得，当且仅当即时取等号。所以的最小值为，取得最小值直线的方程为。法二：当轴时易知，有。当与轴不垂直时，设：，代入并整理得，故。圆心到的距离，故，令，则。令，且，则。因，故，因此，从而，可知。综上知的最小值为，取得最小值直线的方程为。23.(2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，22) 椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点求证：直线过定点，并求出该定点的坐标答案 23.查看解析解析 23.（1）
27、由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：，椭圆的标准方程为 4分（2）设联立得，则 8分又因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，即解得：，且均满足当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点所以，直线过定点，定点坐标为 14分24. (2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，21) 已知椭圆的离心率为，椭圆的中心关于直线的对称点落在直线上(1) 求椭圆C的方程；(2) 设是椭圆上关于轴对称的任意两点，连接交椭圆于另一点，求直线的斜率范围并证明直线与轴相交顶点。答案 24.查看解析解析 24.解：(I) 由题意知故1分 又设椭圆中心关于直线的对称点为，于是方程为2分由得线段的中点为（
28、2，-1），从而的横坐标为4故椭圆的方程为=16分（II）由题意知直线存在斜率，设直线的方程为并整理得 8分由，得又不合题意10分设点，则由知11分直线方程为12分令得，将代入整理得 ，再将，代入计算得直线轴相交于顶点（1，0），14分25. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，20) 抛物线C1：的焦点与椭圆C2：的一个焦点相同. 设椭圆的右顶点为A，C1, C2在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且的面积为. (1) 求椭圆C2的标准方程；（2）过A点作直线交C1于C, D两点，连接OC, OD分别交C2于E, F两点，记，的面积分别为, . 问是否存在
29、上述直线使得，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.答案 25.查看解析解析 25. （1）焦点即1分又 2分代入抛物线方程得. 又B点在椭圆上得，椭圆C2的标准方程为. 4分（2）设直线的方程为，由得设，所以6分又因为直线的斜率为，故直线的方程为，由得，同理所以则，10分所以，所以，故不存在直线使得 12分26. (2014山西太原高三模拟考试（一），20) 已知中心在原点O，左右焦点分别为F1，F2的椭圆的离心率为（I）若直线AB与以原点为圆心的圆相切，且OAOB, 求此圆的方程；答案 26.查看解析解析 26.27. (2014山东青岛高三第一次模拟考试, 21) 设, 分别是椭圆
30、：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于, 两点, 到直线的距离为, 连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为. （）求椭圆的方程；（）已知点，设是椭圆上的一点，过、两点的直线交轴于点, 若, 求的取值范围；（）作直线与椭圆交于不同的两点, , 其中点的坐标为, 若点是线段垂直平分线上一点, 且满足, 求实数的值.答案 27.查看解析解析 27.（）设, 的坐标分别为, 其中，由题意得的方程为: ，因到直线的距离为, 所以有, 解得，所以有由题意知: , 即联立解得: ，所求椭圆的方程为. （4分）（）由() 知椭圆的方程为，设, ，由于, 所以有，又是椭圆上的一点, 则，所以，解得：或. （9分
31、）（）由, 设根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为, 则直线的方程为，把它代入椭圆的方程, 消去, 整理得: ，由韦达定理得, 则, ，所以线段的中点坐标为，(1) 当时, 则有, 线段垂直平分线为轴，于是，由, 解得: ，（11分）(2) 当时, 则线段垂直平分线的方程为，因为点是线段垂直平分线的一点，令, 得，于是，由, 解得，代入, 解得 ，综上, 满足条件的实数的值为或. （14分 ）28. (2014安徽合肥高三第二次质量检测，19) 已知椭圆E：的右焦点为F （1，0) ，设左顶点为，上顶点为，且，如图所示 （）求椭圆的方程； （）若点与椭圆上的另一点C（非右顶点）关于直线l
32、对称，直线l上一点N（0，y0）满足，求点的坐标答案 28.查看解析解析 28. （）由已知，因为，所以，又，所以，解得，所以，所以椭圆的标准方程为. （4分）（）记，且，则线段的中点，易知，则，则，令得，因为，所以，即，所以，联立方程组消去得，解得或（舍去），所以，即或. （13分）29. (2014重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，21) 已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，到焦点的距离的最大值为，且的最大面积为1. （）求椭圆的方程；（）点的坐标为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于，两点对于任意的，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由答案 29.查看解析解析
33、29.（）依题意，因为，所以，所以所求椭圆的标准方程为. （5分）（）设直线的方程为，又，联立方程组，消去得，（8分）所以，因为，所以. （12分）30. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试，21) 设是圆上的任意一点，过作垂直于轴的垂线段，为垂足，是线段上的点，且满足，当点在圆上运动时，记点的轨迹是曲线. （）求曲线的方程；（）过曲线的左焦点作斜率为的直线交曲线于、，点满足，是否存在实数，使得点在曲线上，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.答案 30.查看解析解析 30.（）如图，设，则由可得，即又，即为曲线C的方程. （6分）（）设由，（8分）设，即P点坐标为将点代入，得（负舍去）存在
34、当时，点在曲线C上 . （13分）31. (2014河北唐山高三第一次模拟考试，20) 为圆: 上的动点，点. 线段的垂直平分线与半径相交于点，记点的轨迹为. （）求曲线的方程； （）当点在第一象限，且时，求点的坐标.答案 31.查看解析解析 31.（）圆的圆心为，半径等于.由已知，于是，故曲线是以，为焦点，以为长轴长的椭圆，曲线的方程为.（5分）（）由，得.（8分）于是直线方程为.由，解得，由于点在线段上，所以点坐标为.（12分）32. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 20) 已知椭圆: 的长轴、短轴、焦距分别为、，且是与等差中项 . （）求椭圆C1的方程；（）若曲线C2的方程为，过
35、椭圆左顶点的直线与曲线相切，求直线被椭圆截得的线段长的最小值.答案 32.查看解析解析 32.解：(I) 由题意得，（），所以，解得，故椭圆的方程为. （6分）(II) 由(I) 得椭圆的左顶点坐标为，设直线的方程为，由直线与曲线相切得，整理得又因为即解得，联立消去整理得，直线被椭圆截得的线段一端点为，设另一端点为，解方程可得点的坐标为 ，所以，令，则，考查函数的性质知在区间上是增函数，所以时，取最大值，从而. （12分）33. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试，20) 已知椭圆为其右焦点，过垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2. () 求椭圆的方程；() 设直线与椭圆相交于、两点，
36、以线段, 为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点，求的取值范围.答案 33.查看解析解析 33.解：() 由题意，解得，所以所求的椭圆方程为. (4分）() 当时，在椭圆上，所以，解得，所以，当时，则由消去化简整理得，由设，则，（8分)由于点在椭圆上，所以，从而，化简得，经检验满足式.因为，则，所以，又，因为，故.综上所述，的取值范围是. （13分）34. （2014广东汕头普通高考模拟考试试题，19）已知椭圆的方程为，如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为. () 求椭圆的离心率；() 若椭圆与无公共点，求的取值范围；() 若椭圆与相交于不同的两点，分别为、, 求面积的最
37、大值.答案 34.查看解析解析 34.() 由已知可得, , , 即椭圆的离心率为, (4分)() 由图可知当椭圆在直线的左下方或在椭圆内时, 两者便无公共点(5分) 当椭圆在直线的左下方时将: 即代入方程整理得,由即 0解得由椭圆的几何性质可知当时, 椭圆在直线的左下方, (7分) 当在椭圆内时, 当且仅当点在椭圆内可得, 又因为, 综上所述, 当或时, 椭圆与无公共点, (9分)() 由() 知当时, 椭圆与相交于不同的两个点,又因为当时, 椭圆的方程为, 此时椭圆恰好过点, 当时, 在线段上, 显然的, 此时, 当且仅当分别与重合时等号成立,当时, 点分别在线段, 上, 易得, ,，令,
38、 则，所以= 综上可得面积的最大值为1. (14分)35. (2014广东广州高三调研测试，21) 如图，已知椭圆的方程为，双曲线的两条渐近线为. 过椭圆的右焦点作直线，使，又与交于点，设与椭圆的两个交点由上至下依次为，.() 若与的夹角为60，且双曲线的焦距为4，求椭圆的方程；() 求的最大值.答案 35.查看解析解析 35.解：() 因为双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为.因为两渐近线的夹角为且，所以.所以.所以.因为，所以，所以，.所以椭圆的方程为. （4分）() 因为，所以直线与的方程为，其中.因为直线的方程为，联立直线与的方程解得点.设，则. （7分）来源:学_科_网因为点，设点
39、，则有.解得，.因为点在椭圆上，所以.即.等式两边同除以得（10分）所以，.所以当，即时，取得最大值.故的最大值为. （14分）36. (2014北京东城高三第二学期教学检测，19) 椭圆：() 的离心率为，其左焦点到点的距离为. （）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以 为直径的圆过椭圆的右顶点. 求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.答案 36.查看解析解析 36.（）由题：； 左焦点到点的距离为：.所以.所以所求椭圆C的方程为：. （5分）（）设，由得 ，.以为直径的圆过椭圆的右顶点，解得，且满足.当时，直线过定点与已知矛盾；当时，直线过定点综上可知，直线
40、过定点，定点坐标为（14分）37.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，20）已知双曲线C：的焦距为，其一条渐近线的倾斜角为，且以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E( I ) 求椭圆E的方程；() 设点A是椭圆E的左顶点，P、Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP、AQ的斜率之积为，问直线PQ是否恒过定点? 若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由答案 37.查看解析解析 37.38.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，20）已知椭圆的离心率为, 椭圆C过点（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点作圆的切线交椭圆于A，B两点, 记为坐标原点)
41、的面积为, 将表示为m的函数，并求的最大值.答案 38.查看解析解析 38.（2）由题意知，.易知切线的斜率存在, 设切线的方程为由得设A、B两点的坐标分别为，则6分 , (当且仅当时取等号)所以当时，的最大值为1. 13分39.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，20）如图，F1，F2是离心率为的椭圆C：（ab0）的左、右焦点，直线l：x=将线段F1F2分成两段，其长度之比为1：3设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上（） 求椭圆C的方程；（） 求的取值范围答案 39.查看解析解析 39. （）设F2（c，0），则=，所以c=1因为
42、离心率e=，所以a=，所以b=1所以椭圆C的方程为-4分（）当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x=，此时P（，0）、Q（，0），-6分当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M（，m） （m0），A（x1，y1），B（x2，y2）由得（x1+x2）+2（y1+y2）=0，则1+4mk=0，k=-8分此时，直线PQ斜率为k1=4m，PQ的直线方程为，即y=4mxm联立消去y，整理得（32m2+1）x2+16m2x+2m22=0所以， -10分于是=（x11）（x21）+y1y2=x1x2（x1+x2）+1+（4mx1+m）（4mx2+m）=令t=1+32m2，由得1t29，则又1t29，所以综上，的取值范围为1，）-13分40.（2014吉林实验
