1、 求极限的方法与技巧张道强陇东学院 数学与统计学院，甘肃 庆阳 745000 【摘要】 极限思想贯穿整个高等数学得课程之中，极限的求解方法是我们我们学习的难点之一，掌握求极限的思想与方法是学好微积分的前提条件，结合学习实际，本文对常用求极限的方法进行了归纳和延伸。【关键词】 极限 方法 数列 函数 【 abstract 】 limit thought to higher mathematics course throughout the entire, limits of solving method of learning is our one difficulty of master th
2、e ideas and methods for limit the premise condition is to do well in calculus, combining with actual, this paper is to study the method used for limits are summed up and extension. 【 keywords 】 limit method sequence function 一：引言极限是数学重要概念。在数学中，所谓的极限就是如果某个变化的量无限的逼近一个确定的数值，那么该定值就叫做变化的量的极限。常用的求极限的方法有以下
3、几种：1.利用极限的四则运算法则2.利用等价无穷小求极限3.利用夹逼准则求极限4.利用两个重要极限求极限5.利用函数的定义求极限6.利用洛比达法则求极限7.利用函数的连续性求极限8.利用导数的定义求极限9.利用单调有界求极限10.利用级数收敛的必要条件求极限本文对其中一些常用方法在具体应用中进行技巧上的完善，以及补充其他求极限的方法如：1.无穷大除分法2.利用逐项消去法求极限3利用递推数列的通项求极限. 二.预备知识1.利用极限四则运算法则： 若假设，及则有对和差积商形式的函数求极限，自然用四则运算法则，法则简单，但为了能够使用法则，往往需要对函数做恒等变形（常见的变形有：约分，通分，分式的分
4、解，分子和分母有理化，三角函数的恒等变换，以及某些求和或求积公式的适当变量替换）。例1.求极限 解：由于而， ， 由极限的四则运算得： = = = =22.利用等价无穷小求极限 有限个无穷小的和时无穷小，有界函数与无穷小数相乘积为0，用等价无穷小替换求极限常常行之有效。注：在和差的极限计算中，不能用等价无穷小作替换。例1： 解：利用时原式= = 3.利用夹逼准则求极限例如：证明证明：作单位元如图所示：取，于是有.由图得： ,即得，从而有 上述不等式是当时得到的，但又因为当用代换时，,都不变号，因此当为负时，关系式也成立。因为由极限的夹逼准则知 4.利用两个重要的极限两个重要的极限为或，使用这两
5、个重要的极限来球极限如：求极限其中,a,b,c为常数解：这是一个形如的函数求极限的问题，并且底数，指数，应当将这个极限与极限联系起来，因为，只需要将底数改写为：于是令，则得故=注1：使用它们求极限是最重要的是对所给的函数或输了做适当的变形，使之具有相应的形式。5利用极限的定义求极限求极限：我们以函数极限定义为例，定义如下：定义：设为定义在上的函数，A为定数，若对任给的，存在正数M（）得当时有: 则称函数当时以A为极限，记作：例：证：任给由于 等价于而此不等式的左半部分对任何都成立，所以只考虑，其右半部分的变化范围，为此先限制则有： 故对任给的正数只须取，则当时便有上式成立，则原式得证。注1：利
6、用函数极限的定义适用于极限的证明，而数列极限的定义比较适用于求简单极限，如：当时，无限趋近于2，则 6.利用洛比达法则求极限洛必达法则为：假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：（1）和的极限都是0或都是无穷大；（2）和都可导，且的导数不为0；（3）存在（或是无穷大），则极限也一定存在，且等于，即= 。论文格式。利用洛必达法则求极限，由于分类明确，规律性强，且可连续进行运算，可以简化一些较复杂的函数求极限的过程，但运用时需注意条件。例14 求解：原式7.利用函数的连续性求极限由函数f(x)在x0点连续定义知，由于初等函数在定义区间内处处连续，所以求初等函数在定义区间内任意点处的
7、极限值，只要求其函数在该点处的函数值,因此可直接代入计算 。例6 解：因为是函数的一个连续点，所以 原式= 。8.利用导数的定义求极限 若函数f(x)在x0点可导，则，利用这个定义，若所求极限的函数具有函数导数的定义式或可化为导数的定义式，则可利用导数的定义求极限。例1. = = =9.利用单调有界求极限单调有界原理：单调有界函数必有极限（在实数系中）例1:数列的极限解：， 为单调递增数列有又 ，则的上界为1 则注1：单调有界准则是证明数列极限常用的准则。10.利用级数收敛的必要条件求极限是级数收敛的必要条件例1. 求极限解：考虑级数，因为=故级数收敛，从而=0三.主要内容1无穷大除分法=注1
8、：此法较适用于多项式的商例1.解：原式=2利用逐项消去法求极限例：解：因为 = =. =因为=注1：逐项消去法可以用来求（极限）数列的前项和无穷级数的和，也可以用来求有限项乘积和无限项乘积，操作时注意观察，逐项消去将复杂数列变为简单的数列。3. 利用递推数列的通项求极限 利用数列的数列的递推公式求数列通项公式的方法很多，例如递推法逐项相消法，代换法等，一旦求出数列通项，就可求的数列极限。例1设数列满足且求 解：由 得 则令则，故数列是首项为，得等差数列，故有：即， 解得：因此=3参考文献：【1】华东师大数学分析第三版（上册）高等教育出版社 【2】华东师大数学分析第三版（下册）高等教育出版社【3】华东师大数学分析同步辅导第三版（上册）高等教育出版社
