1、26无穷小与无穷大的比较基础知识导学1、无穷小的比较定义1 设、是某一极限过程中的两个无穷小,若 (c为常数)则(1)当c 0时,称在此极限过程中与是同阶无穷小; (2)当c = 0时,称在此极限过程中是的高阶无穷小,记作=o()(读作小欧); (3)当c = 1时,称在此极限过程中与是等价无穷小,记作。 2、无穷大的比较定义2 设Y、Z是同一极限过程中的两个无穷大量, (1)如果= c 0,则称Y与Z是同阶无穷大量; (2)如果= 时,则称Z是Y的高阶无穷大量; (3)如果= c 0(k0),则称Z是关于(基本无穷大量)Y的k阶无穷大量。3、无穷小的阶与主部 定义3 把某极限过程中的无穷小作
2、为基本无穷小,如果与(k0)是同阶的无穷小,即= c 0,则称是关于的k阶无穷小。重点难点突破1关于无穷小的比较要确定两个无穷小量是同阶、高阶和等价的关系,其实就是求这两个无穷小量比的极限,再根据定义判断两个无穷小的关系。注意 (1)符号=O()与的含义=O()表示是的高阶无穷小,即;表示与是等价无穷小,即(1) 同阶不一定等价,等价一定同阶。(2) 利用等价无穷小求极限 等价无穷小在求极限的过程中可以进行如下替换:若,且存在,则=无穷小量的比较表设在自变量的变化过程中,均是无穷小量无穷小的比较定 义记 号()()2关于无穷小的阶当x0时,由恒等式()o(xn)+ o(xm)= o(xn) 0
3、nm ()o(xn) o(xm)= o(xm+n) m0, n03关于无穷小的替换定理设当时,存在,则解题方法指导1判断无穷小的阶有以下几种方法(仅供参考):例1 当x0时,下列无穷小量是x的几阶无穷小 x - 3x3 + x5 sinxtgx解:因为当x0时,在x - 3x3 + x5中3x3 与x5都是x的高阶无穷小,由恒等式() 所以,当x0时,x - 3x3 + x5是x的一阶无穷小因为当x0时,sin xx,tg xx,由恒等式()可得 sin x tg x=o(x2),即所以,当x0时,sin x tg x是x的二阶无穷小(2)先将原式变形,再判断阶数例2 当x0时,下列无穷小量是
4、x的几阶无穷小 tg x sin x解:通过分子有理化将原式变形=由此看出,当x0时,是x的一阶无穷小,事实上 通过三角函数的公式将原式变形 因为 sin xx, 1-cos xx2由此看出,当x0时,tg x sin x是x的三阶无穷小,事实上 此题错误解法:解:因为 所以,当x0时,tg x sin x是x的一阶无穷小这种解法是错误的,因为由无穷小阶的定义,与比的极限不能为零。2利用等价无穷小代换求极限常用等价无穷小有:当 时,例5 求下列函数的极限(1) , (2)解 (1)= ()(2)= () 小结 利用等价无穷小可代换整个分子或分母,也可代换分子或分母中的因式,但当分子或分母为多项式时,一般不能代换其中一项。否则会出错如上题 , 即得一错误结果