1、领袖培训 个性化一对一辅导专家第十三章 轴对称1本章知识结构本章知识结构如下图所示：2教科书内容本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，了解轴对称在现实生活中的广泛应用，并利用轴对称变换，探索等腰三角形的性质，学习等腰三角形的判定方法，并进一步学习等边三角形的性质轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，是密切数学与现实联系的重要内容在本章第小节“轴对称”中，教科书立足于学生的生活经验和数学活动经历，从观察现实生活中的对称现象开始，引出轴对称图形和图形的轴对称的概念，概括出轴对称的特征结合探索对称点的关系，归纳得出对应点连线被对称轴垂直平分的性质，并结合这一性质的得出，讨论了垂
2、直平分线的性质定理及其逆定理接下来，在第节“画轴对称图形”中，首先通过操作对轴对称的性质进行了归纳，然后通过例题给出了画简单平面图形关于给定对称轴的对称图形的一般方法，最后用坐标从数量关系的角度刻画了轴对称教科书从观察和实验入手，归纳得出坐标平面上一个点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律，并进一步探讨了如何利用这种规律在平面直角坐标系中画出一个图形关于x轴或y轴对称的图形等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质等腰三角形的许多特殊性质，又都和它是轴对称图形有关，这也是教科书把这部分内容安排在本章的一个重要原因在本章第3小节“等腰三角形”中，利用等腰三角
3、形的轴对称性，得出了“等边对等角”“三线合一”等性质，并进一步讨论了等腰三角形的判定方法以及等边三角形的性质与判定方法等内容本章第节是“课题学习最短路径问题”教科书在这一节中安排了两个问题，分别是“牧马人饮马问题”和“造桥选址问题”，解决这两个问题的关键是通过轴对称和平移等变化把问题转化为关于“两点之间，线段最短”的问题，在解决这两个问题的过程中渗透了化归的思想轴对称的性质是本章的重点，轴对称的应用、用坐标表示轴对称等都是围绕这一性质进行的，要注意让学生掌握另外，等腰三角形的性质和判定也是本章的重点，它们是证明线段和角相等的重要根据，应用也比较广泛，也要注意让学生掌握按照整套教科书对于推理证明
4、的安排，上一章“全等三角形”已经要求让学生会用符号表示推理（证明）在这一章，对于一些图形的性质（如线段垂直平分线的性质、等腰（边）三角形的性质与判定等），仍要求学生加以证明学生刚开始接触用符号表示推理，虽然教科书控制了证明难度，但是相对于上一章，推理的依据多了，图形、题目的复杂程度也增加了，因此会使部分学生感到无处下手，这是本章教学的一个难点要克服这个难点，关键是要加强对问题分析的教学，帮助学生分析证明问题的思路，这时可以结合所要求证的结论一起考虑，即“两头凑”，帮助学生克服这一难点3本章学习目标（1）通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性
5、质（2）探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形（3）理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上（4）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理；探索等边三角形的性质定理及等边三角形的判定定理（5）能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习兴趣二、编写时
6、考虑的几个问题1注意联系实际 本章的内容具有丰富的实际背景，在现实世界中也有着广泛的应用，因此在编写本章时我们注意联系实际，从实际出发引入概念，并将所学知识应用到实际生活中轴对称现象在生活中很常见，教科书选用了故宫的鸟瞰图作为章头图，在第1节的开头，也举出了如自然景观、分子结构、建筑物、艺术作品、日常生活用品、窗花等实际例子，让学生感受对称现象的无处不在，通过观察这些图形，引出轴对称的概念除了注意从实际例子引出轴对称内容的学习以外，教科书也给出了一些应用轴对称的例子，如利用轴对称的观点来解释现实生活中的有关现象、解决最短路径问题、利用轴对称设计图案，等等，要注意这方面内容的教学，体现知识的应用
7、，体现具体抽象具体的过程2注意知识间的联系，有机地整合相关内容本章的内容较多，课程标准中图形的性质、图形的变化、图形与坐标各个部分的内容在本章都有涉及，在本章编写时我们注意把握各个部分内容之间的联系，有机地进行整合教科书在“画轴对称图形”一节中，从数的角度刻画了轴对称的内容，包括关于坐标轴对称的点的坐标的关系这里的关键是要让学生感受图形轴对称之后点的坐标的变化，把“形”和“数”紧密地结合在一起，把坐标思想和图形变化的思想联系起来等腰三角形的是一种轴对称图形，教科书将等腰三角形的相关内容安排在轴对称之后，就是要利用轴对称研究等腰三角形的有关性质，并进一步利用三角形的全等证明这些性质教科书中有关等
8、腰三角形性质的探究，都是结合轴对称来进行的，教学中要充分注意到这一点，将图形的变化与图形的性质有机整合，利用图形的变化得到图形的性质，再通过推理证明这些结论3注意让学生经历观察、实验、归纳、论证的过程在内容处理上，教科书加强了实验几何的成分，将实验几何与论证几何有机结合推理论证在培养逻辑思维能力方面起着重要作用，而几何实验则是发现几何命题和定理的有效途径，在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着很大的作用对于本章中的一些概念、性质、公理和定理，教科书大多是通过留空、设问、设置 “思考” “探究”“归纳”以及“数学活动”等栏目，让学生通过画图、折纸、剪纸、度量等活动，探索发现几何结论，经历知识的“
9、再发现”过程，在探究活动的过程中发展创新思维能力，改变学生的学习方式在发现结论的基础上，再经过推理证明这些结论，使得推理证明成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，使图形的认识与图形的证明有机整合例如，对于等腰三角形“等边对等角”“三线合一”的性质的得出，教科书通过设置 “探究”栏目，让学生剪出等腰三角形，并进一步利用轴对称的性质思考其中相等的线段和相等的角，进而发现等腰三角形的性质接下来，从上面的操作过程启发，通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等证明等腰三角形的这两个性质这种处理，将实验几何与论证几何有机地整合在一起，使学生经历了一个观察、实验、探究、归
10、纳、推理、证明的认识图形的全过程，完成好由实验几何到论证几何的过渡三、对教学的几个建议1教学中要注意联系实际 人们生活在三维空间，丰富多彩的图形世界给“图形与几何”内容的学习提供了大量真实的素材在本章的教学中，可以结合当地实际选择一些轴对称图形的例子，这些素材不仅应包括人们所习惯的标准几何图形，更应包括丰富多彩的现实世界中的二、三维图形，使学生欣赏现实世界中与轴对称有关的图案，并能够从中发现轴对称的特征2教学中要注意通过对比加深概念的理解本章从认识轴对称图形开始，又进一步介绍了两个图形关于某条直线对称（两个图形成轴对称），教学中要注意通过对比加深这两个概念的理解这两个概念间的区别：轴对称图形指
11、的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合，说的是一个具有特殊形状特点的图形，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合它们的联系：定义中都有一条直线，图形沿这条直线折叠能互相重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两个图形就是关于这条直线成轴对称，反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形从运动的角度来看，成轴对称的两个图形的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换得到，一个轴对称图形由它的一部分为基础，经过轴对称变换拓展而成3满足学生多样化的学习需求，为学生提供个性化学习的时间和空间 本章内容中有许多需要发挥
12、学生想象和个性的活动，如欣赏轴对称图案，利用轴对称进行图案设计，探究对称轴是与坐标轴平行（垂直）时轴对称的坐标特点，发现等腰三角形中相等的线段，等等，这些内容都为学生个性化的学习提供了空间教学中应有意识地满足学生多样化的学习需求，真正为学生提供个性化学习的时间和空间例如，对于利用轴对称设计图案，不同学生会有不同的创意，也会有不同的操作方法（如折叠、剪纸、扎眼、计算机等）完成自己的创意，教师应该鼓励学生大胆想象、大胆尝试，不能用唯一的标准判断学生的成果，要把关注点放在活动中的数学层面上，看学生是否真正理解了轴对称的特点4重视现代信息技术工具的应用信息技术的使用为学生的数学学习提供了有力的工具利用
13、信息技术工具，可以很容易地制作图形，并让图形动起来，许多软件还具有测量功能，这也有利于我们发现图形的的位置关系和数量关系，有利于发现图形的性质，使传统的数学教学做不到或做不好的事情成为可能，或做得更好在这一章，信息技术工具大有用武之地。许多图形软件可以方便地用于画轴对称图形，并研究图形的性质。教科书专门安排了一个“信息技术应用”的选学栏目，利用软件探索轴对称的性质，探索轴对称点的坐标的关系，探索线段垂直平分线的性质，利用计算机软件进行图案设计等有条件的学校，应尽可能多地使用计算机或图形计算器等信息技术工具，帮助学生的数学学习第十四章轴对称 练习【课标要求】考点课 标 要 求知识与技能目标了解理
14、解掌握灵活应用图形的对称认识轴对称，探索它的基本性质对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴探索基本图形(等腰三角形，矩形。菱形等腰梯形，正多边形，圆)的轴对称性及其相关性质欣赏现实生活中的轴对称图形欣赏物体的镜面对称利用轴对称进行图案设计对应点连线平行且相等的性质按要求作出简单平面图形平移后的图形利用平移进行图案设计【知识梳理】掌握这部分内容，首先弄明白轴对称及轴对称图形之间的区别与联系；以及中心对称与中心对称图形之间的区别与联系。知道哪些图形是轴对称图形，哪些图形是中心对称图形，中考中常以填空、选择形式出
15、现。【能力训练】一填空题1轴对称图形的对称轴是一条_。2等腰三角形的一个内角为70，则其它两个内角为_度。3写出6个是轴对称图形的英文字母：_ 。4写出五个具有轴对称性质的汉字：_ 。5等腰三角形有_条对称轴；五角星有_条对称轴；角的对称轴是这个角的_；。6平面上不重合的两点的对称轴是_ _，线段是轴对称图形，它有_条对称轴。7一个等腰三角形有两边分别为4和8厘米，则周长是_ _厘米。8举出生活中具有轴对称性质的事物（至少三个）：_。9若AC是等腰ABC的高，则AC也是_ _，还是_ _。10等边三角形的周长是30厘米，一边上的高是8厘米，则三角形的面积为_ _。 二选择题1下列图形中，不是轴
16、对称图形的是( )A等边三角形 B等腰直角三角形C不等边三角形 D线段2下列说法中，正确的是（ ）A关于某直线对称的两个三角形是全等三角形B全等三角形是关于某直线对称的C两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧D有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称3在线段、两条相交直线、等腰三角形和圆四个图形中，是轴对称图形的个数是（ ）A1个 B2个 C4个 D3个4下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A有两条边相等的三角形B有一个角为的Rt C有一个角为的等腰三角形D一个内角为，一个内角为的三角形 5当你看到镜子中的你在用右手往左梳理你的头发时，实际上你是（ ）A右手
17、往左梳 B右手往右梳 C左手往左梳 D左手往右梳6下列说法正确的是( )A等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B顶角相等的两个等腰三角形全等C等腰三角形一边不可以是另一边的二倍D等腰三角形的两个底角相等7如图，在RtABC中，ACB90，BAC的平分线AD交BC于点D，DEAC，DE交AB于点E ，M为BE的中点，连结DM 在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是 （写出一个即可）8如下图所示，直线，表示三条相互交叉公路，现要建一个货物中转站，求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址共有（ ）处A1 B4 C6 D7B D CEMA9王明是班上公认的“小马虎”在做作业时，将点A
18、的纵横坐标次序颠倒，写成A（a，b）,小华也不细心，将点B的坐标写成关于y轴的对称点的坐标，写成B（b，a），则A、B两点原来的位置关系是（）A关于y轴对称B关于x轴对称CA和B重合D以上都不对10.在直角坐标系中，已知A（-3，3），在y轴上确定一点P，使AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）.A2个 B3个 C4个 D5个BCA三、作图题1、已知：如图，已知ABC，（1）分别画出与ABC关于轴、轴对称的图形A1B1C1 和A2B2C2 ；（2）写出 A1B1C1 和A2B2C2 各顶点坐标；（3）求ABC的面积2.如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段AB的两个端点都在格点上，直
19、线MN经过坐标原点。（1）写出点A的坐标 , B的坐标 .（2）利用尺规作出线段AB关于直线MN的对称图形（保留作图痕迹，不写作法）。3如图，A、B两村在一条小河的的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹 .B A . 4开放与探究：（1）观察图中中阴影部分所构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个特征；（2）借助图中的网格，请你设计一个新图案，使该图案同时具有你解答（1）中所写的两个共同的特征四、解答题1如图，在等边中，点分
20、别在边上，且，与交于点（1）求证：；（2）求的度数2如图所示，BACABD,ACBD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点试判断OE和AB的位置关系,并给出证明3如图, ABC中, D、E分别是AC、AB上的点, BD与CE交于点O. 给出下列三个条件：EBODCO；BEOCDO；BECD. 上述三个条件中, 哪两个条件可判定ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)； 选择第小题中的一种情形, 证明ABC是等腰三角形.4 如图所示，RtABC中，C=90，A=30，AB=8，CD是斜边AB上的高，CE是中线，求DE长。ACBDE 5如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是ABC的平分线
21、，AFDC，连接AC、CF，求证：CA是DCF的平分线。6已知：如图所示，在和中，且点在一条直线上，连接分别为的中点CENDABM求证：；是等腰三角形OABECF7如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线交于点O，过O点作EFBC，交AB于E，交AC于F，BE=5cm，CF=3cm，求EF的长 8已知：如图，在RtABC和RtBAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E(1) 求证：AE=BE；(2) 若AEC=45，AC=1，求CE的长 9已知：如图， AF平分BAC，BCAF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M(1)求证：AB=CD；(2)若BAC=2MPC，请你判断F与MCD的数量关系，并说明理由 10图，已知在ABC中，AB=AC，BAC=120o，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F求证：BF=2CFABCDE11，ABD、AEC都是等边三角形，求证：BE=DC 12所示，在等边三角形ABC中，B、C的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，试用你所学的知识说明BE=EF=FC的道理 13：如图ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE，求证：AH=2BD
